Википедија

Сличност (геометрија)

Два геометријска објекта се називају сличним ако имају исти облик, или један има исти облик као лик у огледалу другог. Прецизније, један се може добити од другог равномерним скалирањем (увећавањем или смањивањем), и по потреби са додатном транслацијом, ротацијом и рефлексијом. То значи да се оба објекта могу рескалирати, репозиционирати и рефлектовати, тако да се тачно поклапају с другим објектом. Ако су два објекта слична, сваки од њих је подударан са резултатом одређеног равномерног скалирања другог.

Фигуре које су приказане истом бојом су сличне

На пример, сви кругови су слични једни другима, сви квадрати су међусобно слични, а сви једнакостранични троуглови су међусобно слични. С друге стране, елипсе нису сличне једна другој, правоугаоници нису сви међусобно слични, а једнакокраки троуглови нису сви слични један другом.

Ако два угла троугла имају мере једнаке мерама два угла другог троугла, онда су троуглови слични. Одговарајуће стране сличних полигона су пропорционалне, а одговарајући углови сличних полигона имају исту меру.

У овом чланку се претпоставља да скалирање може имати фактор скале од 1, тако да су сви подударни облици такође слични, мада неки школски уџбеници експлицитно искључују конгруентне троуглове из њихове дефиниције сличних троуглова инсистирајући да се величине морају разликовати, ако су троуглови квалификују као слични.

Слични троуглови

уреди

У геометрији два троугла, △АБЦ и △А′Б′Ц′, су слична ако и само ако кореспондирајући углови имају исту меру: то значи да су слични ако и само ако су дужине одговарајућих страна пропорционалне.[1] Може се показати да су два троугла која имају конгруентне углове (једнакоугаони троуглови) слични, односно може се доказати да су одговарајуће стране пропорционалне. То је познато као ААА теорема сличности.[2] Неопходно је напоменути да је „ААА” мнемоничка конструкција: свако од три „А” односи се на један угао. Услед ове теореме, неколико аутора поједностављује дефиницију сличних троуглова да би се само захтевало да су одговарајућа три угла конгруентна.[3]

Постоји неколико тврдњи од којих је свака неопходна и довољна да би два троугла била слична:

  • Троуглови имају два конгруентна угла,[4] који у еуклидској геометрији подразумевају да су сви њихови углови конгруентни.[5] Другим речима:
Ако је ∠БАЦ једнаке мере са ∠Б′А′Ц′, и ∠АБЦ једнаке мере са ∠А′Б′Ц′, онда се из тога подразумева да је ∠АЦБ једнаке мере ∠А′Ц′Б′ и да су троуглови слични.
  • Све кореспондирајуће стране имају дужине истог односа:[6]
АБ/А′Б′ = БЦ/Б′Ц′ = АЦ/А′Ц′. Ово је еквивалентно тврдњи да је један троугао (или његов одраз у огледлу) увећање другог.
  • Две стране имају дужине истог односа, и углови између ових страна имају исту меру.[7] На пример:
АБ/А′Б′ = БЦ/Б′Ц′ и ∠АБЦ има исту меру са ∠А′Б′Ц′.

Ово је познато као САС критеријум сличности.[8] „САС” је мнемоничка конструкција: сваки од два „С” се односи на страницу (енгл. side), док се „А” односи на угао (енгл. angle) између страница.

Кад су два троугла △АБЦ и △А′Б′Ц′ слична, пише се[9]‍:п. 22

△АБЦ ∼ △А′Б′Ц′.

Постоји неколико елементарних резултата који се тичу сличних троуглова у еуклидској геометрији:[10][11]

Полазећи од троугла △АБЦ и линијског сегмента ДЕ, може се помоћу лењира и шестара пронаћи тачка Ф таква да је △АБЦ ∼ △ДЕФ. Тврдња да тачка Ф задовољава овај услов постоји као Валисов постулат[13] и логички је еквивалентна Еуклидовом постулату паралелности.[14] У хиперболичкој геометрији (где је Валисов постулат не важи) слични троуглови су конгурентни.

У аксиоматском третману еуклидске геометрије који је дао Г.D. Биркоф (погледајте Биркофове аксиоме),[15][16][17] САС критеријум сличности наведен горе је кориштен да се замени Еуклидов постулат паралелности и САС аксиом, што је омогућило драматично скраћивање Хилбертових аксиома.[8]

Слични троуглови пружају основу за многе синтетичке (без употребе координата) доказе у еуклидској геометрији.[18][19] Међу елементарним резултатима који се могу доказати на овај начин су: теорема угаоне симетрале,[20] теорема геометријске средине, Чевова теорема, Менелајева теорема[21][22] и Питагорина теорема. Слични троуглови такође пружају освно за тригонометрију правог троугла.[23]

У еуклидском простору

уреди

Сличност (која се назива и трансформација сличности или упоређење) еуклидског простора је бијекција ф из простора на себе која множи све удаљености са истим позитивним реалним бројем р, тако да за било које две тачке x и y постоји

 

где је „д(x,y)” еуклидско растојање од x до y.[24] Скалар р има много имена у литератури укључујући; однос сличности, фактор растезања и коефицијент сличности. Када је р = 1, сличност се назива изометрија (ригидна трансформација). Два скупа се називају сличнима ако је један слика другог под сличношћу.

Као мапа ф : ℝн → ℝн, сличност односа р има облик

 

где је А ∈ Он(ℝ) једна н × н ортогонална матрица и т ∈ ℝн је транслациони вектор.

Сличности чувају равни, праве, перпендикуларност, паралелизам, средине, неједнакости између растојања и сегмената правца.[25] Сличности чувају углове, али не чувају нужно оријентацију, директне сличности чувају оријентацију, а супротне сличности је мењају.[26]

Сличности еуклидског простора чине групу под операцијом композиције која се назива група сличности С.[27] Директне сличности формирају нормалну подгрупу од С и еуклидска група Е(н) изометрија такође формира нормалну подгрупу.[28] Група сличности С је сама по себи подгрупа афине групе, тако да је свака сличност афина трансформација.[29][30]

Еуклидска раван се може посматрати као комплексна раван,[31] односно као дводимензионални простор над реалним. 2Д трансформације сличности се тада могу изразити у контексту комплексне аритметике и дате су са ф(з) = аз + б (директне сличности) и ф(з) = аз + б (супротне сличности), где су а и б комплексни бројеви, а ≠ 0. Када је |а| = 1, ове сличности су изометрије.

Референце

уреди
  1. ^ Сиблеy 1998, п. 35
  2. ^ Стахл 2003, п. 127. Тхис ис алсо провед ин Еуцлид'с Елементс, Боок VI, Пропоситион 4.
  3. ^ Фор инстанце, Венема 2006, п. 122 анд Хендерсон & Таимиṇа 2005, п. 123
  4. ^ Еуцлид'с елементс Боок VI Пропоситион 4.
  5. ^ Тхис статемент ис нот труе ин Нон-еуцлидеан геометрy wхере тхе триангле англе сум ис нот 180 дегреес.
  6. ^ Еуцлид'с елементс Боок VI Пропоситион 5
  7. ^ Еуцлид'с елементс Боок VI Пропоситион 6
  8. ^ а б Венема 2006, п. 143
  9. ^ Посаментиер, Алфред С. анд Лехманн, Ингмар. Тхе Сецретс оф Трианглес, Прометхеус Боокс, 2012.
  10. ^ Јацобс 1974, пп. 384 - 393
  11. ^ Памбуцциан, Вицтор; Сцхацхт, Целиа (2021), „Тхе Цасе фор тхе Ирредуцибилитy оф Геометрy то Алгебра”, Пхилосопхиа Матхематица, 29 (4), дои:10.1093/пхилмат/нкаб022 
  12. ^ Хадамард, Јацqуес (2008), Лессонс ин Геометрy, Вол. I: Плане Геометрy, Америцан Матхематицал Социетy, Тхеорем 120, п. 125, ИСБН 9780821843673 
  13. ^ Намед фор Јохн Wаллис (1616–1703)
  14. ^ Венема 2006, п. 122
  15. ^ Биркхофф, Георге Давид (1932), „А Сет оф Постулатес фор Плане Геометрy (Басед он Сцале анд Протрацторс)”, Анналс оф Матхематицс, 33 (2): 329—345, ЈСТОР 1968336, дои:10.2307/1968336, хдл:10338.дмлцз/147209   
  16. ^ Биркхофф, Георге Давид; Беатлеy, Ралпх (2000) [фирст едитион, 1940], Басиц Геометрy (3рд изд.), Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-2101-5 
  17. ^ Келлy, Паул Јосепх; Маттхеwс, Гордон (1981), Тхе нон-Еуцлидеан, хyперболиц плане: итс струцтуре анд цонсистенцy, Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-90552-9 
  18. ^ Ернст Кöттер (1901). Дие Ентwицкелунг дер Сyнтхетисцхен Геометрие вон Монге бис ауф Стаудт (1847) (ПДФ). Архивирано из оригинала (ПДФ) 04. 03. 2016. г. Приступљено 27. 06. 2023.  (2012 Репринт ас ISBN 1275932649)
  19. ^ Памбуцциан, Вицтор; Сцхацхт, Целиа (2021), „Тхе Цасе фор тхе Ирредуцибилитy оф Геометрy то Алгебра”, Пхилосопхиа Матхематица, 29 (4), дои:10.1093/пхилмат/нкаб022 
  20. ^ Алфред С. Посаментиер: Адванцед Еуцлидеан Геометрy: Еxцурсионс фор Студентс анд Теацхерс. Спрингер, 2002, ISBN 9781930190856, пп. 3-4
  21. ^ Бенитез, Јулио (2007). „А Унифиед Прооф оф Цева анд Менелаус' Тхеоремс Усинг Пројецтиве Геометрy” (ПДФ). Јоурнал фор Геометрy анд Грапхицс. 11 (1): 39—44. 
  22. ^ Моусса, Али (2011). „Матхематицал Метходс ин Абū ал-Wафāʾ'с Алмагест анд тхе Qибла Детерминатионс”. Арабиц Сциенцес анд Пхилосопхy. Цамбридге Университy Пресс. 21 (1): 1—56. С2ЦИД 171015175. дои:10.1017/С095742391000007X. 
  23. ^ Венема 2006, п. 145
  24. ^ Смарт 1998, стр. 92.
  25. ^ Yале 1968, стр. 47 Тхеорем 2.1.
  26. ^ Педое 1988, стр. 179–181.
  27. ^ Yале 1968, стр. 46.
  28. ^ Педое 1988, стр. 182.
  29. ^ Номизу, Катсуми; Сасаки, Такесхи (1994). Аффине Дифферентиал Геометрy: Геометрy оф Аффине Иммерсионс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-44177-3. 
  30. ^ Бергер, Марцел; Цоле, M. (1987). Геометрy I. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-3-540-11658-5. 
  31. ^ Тхис традитионал терм, ас еxплаинед ин итс артицле, ис а мисномер. Тхис ис ацтуаллy тхе 1-дименсионал цомплеx лине.

Литература

уреди

Спољашње везе

уреди
 
Сличност на Викимедијиној остави.
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Sličnost_(geometrija)&oldid=27675652”