Astroida

U matematici, astroida je posebna vrsta krive: hipocikloida kod koje je odnos poluprečnika pokretne i fiksirane kružnice jednak 1/4. Posmatramo kružnicu poluprečnika $r$ koja se kotrlja po unutrašnjoj strani druge, fiksirane kružnice poluprečnika $R=4r$ . Astroida je trajektorija proivoljno izabrane tačke na manjoj kružnici. To je, takođe i super elipsa kod koje je n=2/3 i a=b.

Naziv uredi

Poreklo imena astroida može se naći u grčkoj reči za zvezdu. Ova kriva je ranije nazivana i kubocikloidom i paraciklom.

Jednačina astroide uredi

Parametarske jednačine astroide koja nastaje kada je poluprečnik fiksiranog kruga jednak $R$ dobijamo iz jednačina hipocikloide. Ako iskoristimo da je m=1/4, biće:
$x=R\cos ^{3}t,\qquad y=R\sin ^{3}t$ .
Eliminacijom parametra dobijamo često upotrebljavan oblik jednačine astroide:
$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$ .
Astroida se može predstaviti i jednačinom:
$(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0$ .

Osnovne osobine uredi

Astroida je ravna algebarska kriva sa osobinom da joj je rod jednak nuli. Spada u algebarske krive šestog reda, i ima deset singulariteta, od čega četiri u realnoj ravni, koji se nalaze u vrhovima zvezde i šest kompleksnih singulariteta (2 u beskonačnosti i 4 dvostruka).

Evoluta astroide je takođe astroida, slična datoj, sa koeficijentom sličnosti 2, dakle dvostruko veća.

Dužina luka astroide od tačke na pozitivnom delu x-ose, do proizvoljne tačke $M(t)$ jednaka je $l={\frac {3}{2}}R\sin ^{2}{\frac {t}{4}}$ . Dužina jedne grane je $l={\frac {3}{2}}R$ , a dužina cele krive $l=6R$

Duž dužine jednake poluprečniku fiksirane kružnice kojoj jedna krajnja tačka klizi po x-osi, a druga po y-osi, je tangenta astroide, pa je astroida omotač duži konstantne dužine kojima krajevi klize po dve međusobno normalne prave.

Gde se može videti astroida uredi

Stari logo kompanije U.S. Steel sadržao je tri astroide, plavu, žutu i crvenu.

Danas se može videti na zaštitnom znaku Pitsburg Stilersa, jednog od poznatijih ragbi timova.

Izvori i literatura uredi

A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.