Afina transformacija

Afina transformacija ili afino preslikavanje (lat. affinis: "povezano sa") u geometriji predstavlja funkciju, koju je prvi uveo Leonard Ojler , između afinih prostora koja preslikava tačke u tačke, prave u prave i ravni u ravni. Takođe, kod afinih preslikaanja par paralelnih pravih ostaje paralelan po transformaciji, ali afina transformacija ne mora nužno da sačuva uglove između pravih ili razdaljine između tačaka, mada čuva razmeru kolinearnih tačaka. Stoga afina preslikavanja imaju relativno malu slobodu. Trougao je moguće preslikati u proizvoljan drugi trougao bez obzira na njegovu veličinu i oblik, isto tako paralelogram u proizvoljan drugi paralelogram, ali paralelogram ne možemo preslikati u proizvoljan četvorougao upravo zbog čuvanja paralelnosti.

Slika paprati nalik fraktalu koja pokazuje afinu samo-sličnost. Svaki od listova paprati se može dobiti afinom transformacijom nekog drugog lista. Na primer, crveni list može da se preslika u manji tamnoplavi list ili u veliki svetloplavi list samo kombinacijom afinih preslikavanja.

Afine transformacije imaju primenu u geometriji i računarskoj grafici.

Definicija

Neka je ${\bar {\mathit {f}}}\ :\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {V}$ linearno preslikavanje vektorskog prostora, koji je pridružen prostoru tačaka $\mathbb {E}$. Afino preslikavanje ${\mathit {f}}:\mathbb {E} \rightarrow \mathbb {E}$ je preslikavanje tačaka, koje je indukovano preslikavanjem ${\bar {\mathit {f}}}\$ vektora u smislu da je:

$f({\overrightarrow {M}})=M',\,f({\overrightarrow {N}})=N'\ \Longleftrightarrow {\bar {\mathit {f}}}\ ({\overrightarrow {MN}})\ ={\overrightarrow {M'N'}}\$

Fiksirajmo reper ${\mathit {Oe}}$ prostora $\mathbb {E}$. Ako sa $(x_{1},...,x_{n})^{T}$ i $(x'_{1},...,x'_{n})^{T}$ označimo koordinate tačke ${\mathit {M}}$ i njene slike ${\mathit {M'}}$, redom, nije teško pokazati da afino preslikavanje ${\mathit {f}}$ ima oblik:

${\begin{bmatrix}x'_{1}\\.\\.\\.\\x'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&.&.&.&a_{1n}\\.&&&&.\\.&&&&.\\.&&&&.\\a_{n1}&.&.&.&a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\.\\.\\.\\x_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\.\\.\\.\\b_{n}\end{bmatrix}}$ ,

(1)

gde matrica $A=(a_{ij})$ predstavlja linearni deo preslikavanja, a vektor $(b_{1},...,b_{n})^{T}$ je translatorni deo.

Da bi preslikavanje bilo bijekcija, treba da bude ispunjen uslov da je $detA\neq 0$. Indukovano linearno preslikavanje ${\bar {\mathit {f}}}\$ vektorskog prostora $\mathbb {V}$ u bazi ${\mathit {e}}$ zadato je upravo matricom ${\mathit {A}}$. Translatorni deo preslikavanja nema efekta na vektorima, jer translacija vektor preslikava u isti vektor. Primetimo da su afino preslikavanje i transformacije koordinata tačaka date formulama sasvim istog tipa, i da bilo koju od tih formula možemo da posmatramo na dva načina: pasivno i aktivno.

• Pasivno posmatrano: tačke su fiksirane, pasivne, a $(x_{1},...,x_{n})^{T}$ i $(x'_{1},...,x'_{n})^{T}$označavaju koordinate jedne iste tačke u reperima ${\mathit {Oe}}$ i ${\mathit {Of}}$.
• Aktivno posmatrano: koordinatni sistem ${\mathit {Oe}}$ je fiksiran, a $(x_{1},...,x_{n})^{T}$ i $(x'_{1},...,x'_{n})^{T}$ označavaju koordinate tačke ${\mathit {M}}$ i njene slike ${\mathit {M'}}$ pri afinom preslikavanju. Dakle sve tačke prostora se pomeraju, odnosno aktivne su.

Pasivno gledište afine transformacije

Aktivno gledište afine transformacije

Iz formule (1) afinog preslikavanja ${\mathit {f}}$, direktnom proverom dobijamo:

• tačka ${\mathit {O'}}$ $(b_{1},...,b_{n})$ je slika koordinatnog početka ${\mathit {O}}$ $(0,...,0)$ pri tom preslikavanju, tj. $O'=f(O)$ .
• kolone matrice ${\mathit {A}}$ su koordinate slika baznih vektora ${\bar {\mathit {f}}}$$(e_{1}),...,{\bar {\mathit {f}}}$$(e_{n})$, redom, što znači da je ${\mathit {A}}$ matrica linearnog preslikavanja ${\bar {\mathit {f}}}$ u bazi ${\mathit {e}}$ (po definiciji).

Sva afina preslikavanja čine grupu u odnosu na kompoziciju preslikavanja. Grupu afinih preslikavanja ${\mathit {n}}$-dimenzionalnog prostora označavamo sa ${\mathit {Aff_{n}}}$$\mathbb {(R)}$.

Afina preslikavanja, u opštem slučaju, ne komutiraju.

Primer kombinacija afinih transformacija: rotacija(plavo), pa skaliranje(crveno)

Primer kombinacija afinih transformacija: skaliranje(plavo), pa rotacija(crveno)

Ilustracija preslikavanja tri nekolinearne tačke A', B', O' u tri nekolinearne tačke A", B", O" redom

Osobine afinih transformacija

Postoji jedinstveno afino preslikavanje ravni koje preslikava tri nekolinearne tačke $A',B',O'$ u tri nekolinearne tačke $A'',B'',O''$, redom.

Afine transformacije imaju sledeće osobine:

• Bijekcije su.
• Preslikavaju prave na prave, a krive drugog reda na krive drugog reda.
• Čuvaju razmeru kolinearnih duži.
• Čuvaju paralelnost pravih.
• Preslikavanja za koja je $det(a_{ij})>0$ čuvaju orijentaciju, a za koja je $det(a_{ij})<0$ menjaju orijentaciju ravni.
• Odnos zapremine slike i originala jednak je:${\frac {V({\mathcal {F'}})}{V({\mathcal {F}})}}=|det(a_{ij})|$

(odnosno u ravni, odnos površine slike i originala ${\frac {P({\mathcal {F'}})}{P({\mathcal {F}})}}=|det(a_{ij})|$).

Predstavljanje afinog preslikavanja matricama

Prigodno bi bilo da se afino preslikavanje predstavi jednom jedinom matricom, umesto matricom linearnog preslikavanja i translatornim delom. Tada kompoziciji afinih preslikavanja odgovara množenje matrica.

Tako se preslikavanje ravni:

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

može predstaviti matricom formata $3\times 3$:

$A_{b}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}$,

što je ekvivalentno sa:

${\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$.

Slične formule važe za afina preslikavanja u proizvoljnoj dimenziji. Naime, ako matricu $A_{b}$ zapišemo u blok formi:

${\begin{pmatrix}A&b\\0&1\end{pmatrix}}$ ,

preslikavanja se zapisuju u obliku:

${\begin{pmatrix}X'\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X\\1\end{pmatrix}}$.

Afina preslikavanja u ravni

Neki značajniji primeri afinih preslikavanja ravni su:

• Translacija ${\mathcal {T}}_{\vec {b}}$ za vektor ${\vec {b}}(b_{1},b_{2})$.
• Rotacija ${\mathcal {R}}_{Q,\phi }$ za ugao $\phi$ oko tačke $Q(Q_{1},Q_{2})$.
• Refleksija ${\mathcal {S}}_{p}$ u odnosu na pravu $p$.
• Skaliranje ${\mathcal {H}}_{Q,\lambda _{1},\lambda _{2}}$ u pravcu koordinatnih osa sa centrom u tački $Q(Q_{1},Q_{2})$ i koeficijentima $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$.
• Smicanje ${\mathcal {S}}_{l}(\lambda )$ sa koeficijentom $\lambda$ u pravcu $x$ ili $y$ ose.

Refleksija trougla u odnosu na x-osu i y-osu

Translacija trougla za dva različita vektora

Rotacija pravougaonika oko koordinatnog početka O(0,0,0) za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)

Preslikavanja koja čuvaju dužinu u euklidskom prostoru $\mathbb {E} ^{n}$ nazivaju se izometrije.

Izometrije koje čuvaju orijentaciju zovu se kretanja.

Afine transformacije ravni, izometrije i kretanja

Afina preslikavanja u prostoru

Tačka $M(x,y,z)$ se preslikava u tačku $M'(x',y',z')$:

${\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},det(a_{ij}\neq 0)$

Preslikavanje se predstavlja matricom $4\times 4$:

$A_{b}:={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_{3}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Primeri afinih preslikavanja u prostoru

Neki značajniji primeri afinih preslikavanja u prostoru su:

• Translacija ${\mathcal {T}}_{\vec {b}}$ za vektor ${\vec {b}}(b_{1},b_{2},b_{3})$.
• Rotacija ${\mathcal {R}}_{p,\phi }$ oko prave $p$ za ugao $\phi$.
• Refleksija ${\mathcal {S}}_{\alpha }$ u odnosu na ravan $\alpha$.
• Skaliranje ${\mathcal {H}}_{Q,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ u pravcu koordinatnih osa sa centpom u tački $Q(Q_{1},Q_{2},Q_{3})$ i koeficijentima $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ i $\lambda _{3}$.

Rotacija oko x-ose u 3D prostoru za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)

Skaliranje sa centrom u koordinatnom početku O(0,0,0) u pravcu koordinatnih osa i sa koeficijentima $\scriptstyle \lambda _{1}=2$, $\scriptstyle \lambda _{2}=0,5$ i $\scriptstyle \lambda _{3}=3$ u 3D prostoru

Rotacija oko z-ose u 3D prostoru za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)

Rotacija oko z-ose u 3D prostoru, drugačija perspektiva za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)

Primena

Afine transformacije imaju široku primenu u različitim oblastima.

Jedna od najpoznatijih primena afinih preslikavanja je korekcija geometrijskih distorzija ili deformacija, koje se pojavljuju zbog neidealnog ugla snimanja.

Tako se u GIS (Geographic information systems) afine transformacije koriste za korekciju distorzije sočiva širokougaonih objekata, kreiranje panoramskih slika i georegistraciju (proces proveravanja tačnosti mape/slike). Transformacija i spajanje slika u veliki, ravni koordinatni sistem je poželjna da bi se eleminisala distorzija. To omogućava lakšu interakciju i računanje koje ne zahteva razmišljanje o distorziji slike. Transformacija koordinata se može predstaviti afinim preslikavanjem, što se koristi kako u GIS, tako i u geodeziji

Afine transformacije se primenjuju i u računarskoj grafici. Za manipulisanje slikama, smanjivanje distorzije, kopiranje slika, animaciju. Jedna od tehnika je fraktalna kompresija slika.

Afina preslikavanja se koriste i u kriptografiji. Primer je kriptografski algoritam AES Rijandael(Napredni standard enkripcije) koji se koristi za zaštitu elektronskih podataka.

Literatura

• Martin, George E. (1982). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer Science & Business Media. str. 167. ISBN 978-0-387-90636-2. 
• Šukilović, T.; Vukmirović, S. (2015). Geometrija ѕa informatičare. Matematički fakultet, Beograd. ISBN 978-86-7589-106-2. 
• Encyclopedia of Mathematcs - Computer Graphics
• University of Texas at Austin
• Nomizu, Katsumi; Sasaki, Takeshi (1994). Affine Differential Geometry: Geometry of Affine Immersions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44177-3. 
• Berger, Marcel; Cole, M. (1987). Geometry I. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-11658-5. 
• Predrag Janičić:Računarska grafika, 2014
• Wolfram

Spoljašnje veze

• Mathematical Tool GCLC (Geometry Constructions -> LaTeX Converter) by Predrag Janičić
• Demonstracija 3D Skaliranja Wolfram
• Demonstracija 3D Rotacije Wolfram
• Demonstracija 3D Smicanja Wolfram
• Demonstracija 3D Refleksije Wolfram