Gama-funkcija
U matematici, gama-funkcija je funkcija definisana nesvojstvenim integralom:
Iz parcijalne integracije i izračunavanja integrala za , dobija se izraz
koji proširuje pojam faktorijela[1] na kompleksne brojeve.[2]
Definicija uredi
Gama-funkcija definisana je nesvojstvenim integralom[3][4] za kompleksne brojeve za koje je na sledeći način:
Drugim rečima, gama-funkcija je Melinova transformacija funkcije . Parcijalnim integraljenjem se pokazuje sledeće njeno osnovno svojstvo:
Kako je , kombinovanjem ove i prethodne relacije dobija se:
za sve prirodne brojeve n.
Sa druge strane, formulisana u obliku
- ,
ona daje analitičko produženje početno definisanoj -funkciji do poluravni , sa polom u , zatim do poluravni , sa još jednim polom u , itd. Tako se -funkcija produžuje do meromorfne funkcije, definisane za sve kompleksne brojeve osim polova u nepozitivnim celim brojevima Pod -funkcijom se, po pravilu, podrazumeva ovako definisano produženje.
Osnovna svojstva uredi
Gama-funkcija nije elementarna funkcija, ali su njena svojstva veoma dobro istražena zbog njene povezanosti sa faktorijelom i primene u teoriji brojeva. Među najvažnijima osobinama Gama-funkcije su funkcionalna jednačina
i Ležandrova duplikaciona formula
Gama-funkcija nema nula. U tačkama , gde je nenegativan ceo broj, gama-funkcija ima pol reda 1 sa ostatkom ; njeno ponašanje u okolini polova određeno je funkcionalnom jednačinom.
Za velike , vrednosti daje sa velikom preciznošću Stirlingova aproksimaciona formula:
Za sve z gde je gama-funkcija definisana, važi i sledeći beskonačan proizvod
gde je γ Ojlerova konstanta, koji se dobija kao Vajerštrasov proizvod funkcije , koja je cela jer gama-funkcija nema nula, i reda 1 prema Strilingovoj formuli. Nekad se zapravo za definiciju gama-funkcije uzima ovaj proizvod, ili neki od ekvivalentnih oblika
Valjda najpoznatija vrednost gama-funkcije za necelobrojne vrednosti argumenta je , što se može videti npr. korišćenjem duplikacione formule. Ovaj rezultat daje i vrednost takozvanog integrala verovatnoće
koji je od izuzetne važnosti u verovatnoći i statistici. Tako jednostavne formule nisu poznate već npr. za ( ). Za i je poznato da su transcendentni, kao i . Takođe, .
Veoma retko koriste se i alternativne oznake i . Tako je , dok je funkcija π cela.
Prema Bor-Molerupovoj teoremi, gama-funkcija je jedina logaritamski konveksna funkcija koja proširuje faktorijel na sve pozitivne brojeve.
Duplikaciona formula je specijalni slučaj sledeće Gausove teoreme o proizvodu:
Gama-funkcija je od izuzetnog značaja u matematičkoj analizi, verovatnoći i statistici, teoriji brojeva, kombinatorici i drugim oblastima matematike, te u fizici, tehnici i drugim oblastima.
Istorijat uredi
Gama-funkciju prvi je posmatrao i izučavao Leonard Ojler, koji je dokazao i funkcionalnu jednačinu. Neki je nazivaju i Ojlerovim integralom druge vrste. Oznaku je uveo Adrijan-Mari Ležandr, kome dugujemo duplikacionu formulu.
Indijski matematičar Ramanudžan dokazao je niz fascinantnih identiteta sa gama-funkcijom.
Uopštenja i veze sa drugim funkcijama uredi
U integralu kojim se definiše -funkcija, granice integracije su fiksirane. Često je poželjno posmatrati takav integral u kojem je donja ili gornja granica promenljiva (često u zavisnosti od z), tako se dobija nepotpuna gama-funkcija. Logaritamski izvod ponekad se naziva i digama-funkcijom. U statistici i drugde je od značaja višedimenziona gama-funkcija.
Sa apstraktne algebarske tačke gledišta, integral kojim se definiše gama-funkcija predstavlja konvoluciju multiplikativnog karaktera polja realnih brojeva sa jednim fiksiranim aditivnim karakterom tog polja. Na taj način svoju gama-funkciju ima, na primer, svako algebarsko brojno polje, normirano lokalno polje, itd. U teoriji brojeva, takve gama-funkcije deo su funkcionalnih jednačina L-funkcija. Vidi još Rimanova zeta-funkcija.
Aproksimacije uredi
Kompleksne vrednosti gama funkcije mogu se izračunati numerički sa proizvoljnom preciznošću koristeći Stirlingovu aproksimaciju ili Lancošovu aproksimaciju.
Gama funkcija se može izračunati sa fiksnom preciznošću za primenom parcijalne integracije u Ojlerovom integralu. Za bilo koji pozitivni broj x može se napisati gama funkcija
Kad je Re(z) ∈ [1,2] i , apsolutna vrednost zadnjeg integrala je manja od . Odabirom dovoljno velikog , ovaj poslednji izraz može se učiniti manjim od za bilo koju željenu vrednost . Tako se gama funkcija može proceniti na bita preciznosti sa gorenavedenom serijom.
E.A. Karatsuba je konstruisao brz algoritam za izračunavanje Ojlerove gama funkcije za bilo koji algebarski argument (uključujući i racionalni).[5][6][7]
Za argumente koji su celobrojni umnošci od 1/24, gama funkcija se takođe može brzo proceniti korišćenjem aritmetičko-geometrijskih srednjih vrednosti iteracija (pogledajte posebne vrednosti gama funkcije i Borwein & Zucker (1992) ).
Aplikacije uredi
Jedan autor opisuje gama funkciju kao „Argumentirano, najčešću specijalnu funkciju, ili najmanje 'posebnu' od njih. Druge transcendentalne funkcije […] nazivaju se 'posebne', jer biste neke od njih mogli izbeći držanjem podalje od mnogih specijalizovanih matematičkih tema. Sa druge strane, gama funkciju y = Γ(x) je najteže izbeći.”[8]
Vidi još uredi
Reference uredi
- ^ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. str. 111. ISBN 0-201-14236-8.
- ^ O Gama funkciji, beleške sa predavanja 1995. godine Arhivirano na sajtu Wayback Machine (2. maj 2014), Univerzitet u Olbani, Njujork, Pristupljeno: 2.5.2014.
- ^ Buck, R. Creighton (1965). Advanced Calculus (2nd izd.). McGraw-Hill. str. 133–134.
- ^ Spiegel, Murray R. (1963). Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus. McGraw-Hill. str. 260. ISBN 0-07-060229-8.
- ^ E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp. 339–360 (1991).
- ^ E.A. Karatsuba, On a new method for fast evaluation of transcendental functions. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246–247 (1991).
- ^ E.A. Karatsuba "Fast Algorithms and the FEE Method"
- ^ Michon, G. P. "Trigonometry and Basic Functions Arhivirano 2010-01-09 na sajtu Wayback Machine". Numericana. Retrieved May 5, 2007.
Literatura uredi
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1972). „Chapter 6”. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover.
- Andrews, G. E.; Askey, R.; Roy, R. (1999). „Chapter 1 (Gamma and Beta functions)”. Special Functions. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2.
- Artin, Emil (2006). „The Gamma Function”. Ur.: Rosen, Michael. Exposition by Emil Artin: a selection. History of Mathematics. 30. Providence, RI: American Mathematical Society.
- Askey, R.; Roy, R. (2010), „Gama-funkcija”, Ur.: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
- Birkhoff, George D. (1913). „Note on the gamma function”. Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1): 1—10. MR 1559418. doi:10.1090/s0002-9904-1913-02429-7.
- Böhmer, P. E. (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [Differential Equations and Definite Integrals]. Leipzig: Köhler Verlag.
- Davis, Philip J. (1959). „Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function”. American Mathematical Monthly. 66: 849—869. doi:10.2307/2309786.
- Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). „Section 6.1. Gamma Function”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd izd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Arhivirano iz originala 27. 10. 2021. g. Pristupljeno 16. 12. 2018.
- Rocktäschel, O. R. (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [Methods for Calculating the Gamma Function for Complex Arguments]. Dresden: Technical University of Dresden.
- Temme, Nico M. (1996). Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3.
- Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2.
- Amdeberhan, T.; Coffey, Mark W.; Espinosa, Olivier; Koutschan, Christoph; Manna, Dante V.; Moll, Victor H. (2011). „Integrals of powers of loggamma”. Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2): 535—545. doi:10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 .
- Borwein, J.; Bailey, D. H.; Girgensohn, R. (2003). Experimentation in Mathematics. A. K. Peters. str. 133. ISBN 978-1-56881-136-9.
- Davis, P. J. (1959). „Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function”. American Mathematical Monthly. 66 (10): 849—869. JSTOR 2309786. doi:10.2307/2309786. Arhivirano iz originala 07. 11. 2012. g. Pristupljeno 3. 12. 2016.
- Remmert, R. (2006). Classical Topics in Complex Function Theory. Prevod: Kay, L. D. Springer. ISBN 978-0-387-98221-2.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1 (Fundamental Algorithms). Addison-Wesley.
Spoljašnje veze uredi
- NIST Digital Library of Mathematical Functions:Gamma function
- Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
- C++ reference for std::tgamma
- Examples of problems involving the gamma function can be found at Exampleproblems.com.
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Gamma function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
- „Gamma”. Wolfram Functions Site.
- Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages