Decimala

Decimala ili frakcija nenegativnog realnog broja $x$, $frac(x)$ je višak koji ostane od celog broja. Ako je taj ceo broj definisan kao najveći ceo broj koji nije veći od $x$ i nazivamo ga celim delom broja $x$ ($\lfloor x\rfloor$), njegova decimala se može zapisati kao

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0.$

Za pozitivan broj zapisan u konvencionalnom pozicionom brojevnom sistemu (kao što je binarni ili dekadni), njegova decimala odgovara ciframa koje se nalaze nakon decimalnog separatora.

Za negativne brojeve

U slučaju negativnih brojeva, međutim, postoje različiti suprotstavljeni načini proširenja funkcije frakcionog dela broja: definiše se ili na isti način kao i za pozitivne brojeve, tj. kao $\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor$ ili kao deo broja koji je desno od decimalnog separatora, $\operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor$, ili parnom funkcijom

$\operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}$

gde je $\lceil x\rceil$ najmanji ceo broj koji nije manji od $x$. Zbog toga možemo dobiti, na primer, tri različite vrednosti za decimalni die samo jednog $x$: uzmimo -1,3, njegov decimalni deo će biti 0,7 prema prvoj definiciji, 0,3 prema drugoj definiciji i -0,3 prema trećoj definiciji, čiji se rezultat može dobiti i na direktan način upotrebom

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$.

Jedinstveno razlaganje na cele i decimalne delove

Po prvoj definiciji, svi realni brojevi mogu biti zapisani u obliku $n+r$, gde je $n$ broj levo od decimalnog separatora, a preostali decimalni deo $r$ je nenegativni realan broj manji od jedan. Ako je $x$ pozitivan racionalan broj, onda se decimalni deo $x$ može izraziti u obliku $p/q$, gde su $p$ i $q$ celi brojevi i važi $0\leq p<q$. Na primer, uzmimo da je x = 1,05, onda je decimalni deo x 0,05 i može se izraziti kao 5/100 = 1/20.

Odnos sa verižnim razlomcima

Svaki realan broj može se suštinski jedinstveno predstaviti kao verižni razlomak, odnosno kao zbir njegovog celog dela i recipročne vrednosti njegovog decimalnog dela koji je napisan kao zbir njegovog celog dela i njegovog decimalnog dela, i tako dalje.