Električni potencijal

Električni potencijal ili električni skalarni potencijal je potencijal koji odgovara električnom polju. Električni potencijal je osobina koja karakteriše svaku tačku u prostoru, a njena kvantitativna vrednost jednaka je količniku potencijalne električne energije po jedinici naelektrisanja koje se nalazi se u statičkom (vremenski nepromenljivom) električnom polju. Električni potencijal je skalarna veličina, uobičajeno izražena u voltima. U elektromagnetizmu, električni potencijal se uvodi kao skalarna funkcija čiji je negativni gradijent jednak vektoru električnog polja: ${\vec {E}}=-\mathbf {\nabla } \phi$.

Električni potencijal
Električni potencijal oko dve suprotno naelektrisane provodne sfere. Ljubičasta predstavlja najveći potencijal, žuta nula, a cijan najmanji potencijal. Prikazane su električne linije polja koje napuštaju upravno na površinu svake sfere.
Uobičajeni simboli	V, φ
SI jedinica	volt
Druge jedinice	Statvolt
U SI baznim jedinicama	V = kg⋅m2⋅s−3⋅A−1
SI dimenzija	M L2 T−3 I−1
Ekstenzivne?	da

Naziv električni skalarni potencijal se koristi u elektrodinamici kada električno polje u kom se posmatrano naelektrisanje nalazi nije statičko, već je vremenski promenljivo. Reč skalarni u nazivu naglašava da je potencijal opisan jednom komponentom, za razliku od magnetnog vektorskog potencijala za čije opisivanje je potrebno tri komponente. Električni potencijal i vektor magnetnog potencijala formiraju četvorovektor potencijala, tako da su ova dva potencijala spregnuti, a njihove transformacije definisane su Lorencovim transformacijama.

Električno polje

Poznato je da neki predmeti mogu imati električni naboj odnosno naelektrisanje. Električno polje vrši pomeranje naelektrisanih čestica, ubrzavajući ih u smeru vektora električnog polja, odnosno u smeru ili nasuprot smeru vektora električnog polja, u zavisnosti od vrste naelektrisanja. Ukoliko je naelektrisana čestica naelektrisana pozitivnim naelektrisanjem, sila delovanja i ubrzanja te čestice će biti u smeru sa električnim poljem, a vrednost sile koja deluje, određena je veličinom naelektrisanja čestice i vrednošću električnog polja.

Električna sila i električna potencijalna energija su u direktnom odnosu. Kako se čestica kreće u smeru u kojem ga sila ubrzava, njena potencijalna energija se smanjuje. Takav odnos imaju i druge vrste sila i njima odgovarajućih potencijalnih energija. Na primer, kako objekat pada usled privlačenja gravitacione sile, njegova gravitaciona potencijalna energija se smanjuje.

Potencijal električnog polja se naziva električni potencijal i najčešće se označava sa $\phi$, $\phi _{\mathrm {E} }$ ili V. Razlika električnog potencijala između dve tačke u prostoru, naziva se napon.

Formalna definicija

Električni skalarni potencijal $\phi _{\mathrm {E} }$ se uvodi preko električnog polja $\mathbf {E}$. Električni skalarni potencijal je skalarna funkcija čiji je negativni gradijent jednak vektoru električnog polja:

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi _{\mathrm {E} }$

Kako je rotor stacionarnog električnog polja jednak nuli, $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =0$, dat linijski integral ne zavisi od specifične putanje C, već samo od krajnjih tačaka i odavde se dobija da je električni potencijal jednak:

$\phi _{\mathrm {E} }=-\int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell }$

gde je C putanja po kojoj se integrali, a koja povezuje izvor električnog polja i tačku za koju se potencijal izračunava.

Ako je poznata potencijalna električna energije $U_{\mathrm {E} }$ čestice q, potencijal se može izraziti i kao:

$U_{\mathrm {E} }=q\phi$

Iz Gausove teoreme koja u integralnom obliku tvrdi da je fluks elektrostatičkog polja u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak količniku ukupnog naelektrisanja koje se nalazi u zapremini obuhvaćenom tom površi i dielektrične konstante vakuuma. Odavde sledi da potencijal zadovoljava Poasonovu jednačinu:

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \left(-\mathbf {\nabla } \phi _{\mathrm {E} }\right)=-\nabla ^{2}\phi _{\mathrm {E} }=\rho /\varepsilon _{0}$

gde je ρ ukupna gustina naelektrisanja koja obuhvata i slobodna i vezana naelektrisanja.

Uvod u elektromagnetizam

U slučaju kada rotor električnog polja nije nula, $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq 0$, tj. ako polje nije stacionarno, električni potencijal se ne može neposredno izraziti kao:

$\phi _{\mathrm {E} }=-\int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } ,$

jer tada električno polje nije više konzervativno i integracija zavisi od konkretne putanje. Tada se skalarni električni potencijal mora definisati zajedno sa magnetnim vektorskim potencijalom $\mathbf {A}$.

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi _{\mathrm {E} }$

$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} ,$

gde je $\mathbf {B}$ gustina fluksa magnetskog polja (takođe poznat kao magnetna indukcija ili magnetsko polje). Uvek se može pronaći takvo $\mathbf {A}$ zato što $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0$ (odsustvo magnetnog monopola). Vrednost $\mathbf {F} =\mathbf {E} +\partial \mathbf {A} /\partial t$ je konzervativno polje određeno Faradejevim zakonom i može se pisati:

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

gde je φ skalarni potencijal opisan konzervativnim poljem $\mathbf {F}$.

Elektrostatički potencijal, jednostavno je poseban slučaj ove definicije gde je $\mathbf {A}$ vremenski nepromenljiva vrednost. Sa druge strane, za vremenski promenljiva polja važi sledeće $\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \neq \phi (b)-\phi (a)$.

Obratite pažnju da ova definicija φ zavisi od normiranja potencijalne funkcije za vektor potencijala $\mathbf {A}$ (gradijent bilo kojeg skalarnog polja može biti dodat $\mathbf {A}$ bez menjanja $\mathbf {B}$). Jedan način je da #Kulonov kalibracioni uslov (za potencijal) Normiranje potencijalne funkcije, u kojem ćemo izabrati uslov da je $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =0$. U ovom slučaju, dobijamo $-\nabla ^{2}\phi =\rho /\varepsilon _{0}$, gde je ρ gustina naelektrisanja. Drugi način je Lorencov kalibracioni uslov, u kojem usvajamo $\mathbf {A}$ da bi zadovoljili $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$.

Posebni slučajevi i primeri izračunavanja

Električni potencijal u tački $\mathbf {l}$ u konstantnom električnom polju $\mathbf {E}$ može se predstaviti:

$\phi _{\mathrm {E} }=-\int \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$

Električni potencijal oko tačkastog naelektrisanja q, na udaljenosti r od naelektrisanja, računa se:

$\phi _{\mathbf {E} }={\frac {q}{4\pi \epsilon _{o}r}}.$

Ukupan potencijal niza punktualnih naelektrisanja jednak je sumi pojedinačnih potencijala svih naelektrisanja. Ova činjenica pojednostavljuje proračun u velikoj meri, zbog toga što je sabiranje potencijala (skalarno) polja mnogo jednostavnije nego sabiranje vektora električnog polja.

Električni potencijal nastao od trodimenzionalnog sferno simetričnog Gausovog naelektrisanja gustine $\rho (r)$ se računa sledećim izrazom:

$\rho (r)={\frac {q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$

gde je q količina naelektrisanja, dobijen je rešavanjem Poasonove jednačine:

$\nabla ^{2}\phi _{\mathbf {E} }=-4\pi \rho .$

rešenje je preko:

$\phi _{\mathbf {E} }(r)={\frac {q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$

gde je erf(x) funkcija greške. Ovo rešenje se može proveriti opreznom ručnom evaluacijom $\nabla ^{2}\phi _{\mathbf {E} }$. Obratite pažnju, da za r mnogo veće od σ, erf(x) potencijal $\phi _{\mathbf {E} }$ postaje po vrednosti bliži potencijalu punktualnog naelektrisanja ${\frac {q}{r}}$.

Primena u elektronici

Električni potencijal, uobičajeno meren u voltima, obezbeđuje jednostavan način analiziranja električnih kola bez prethodnog poznavanja oblika kola ili polja u njima.

Električni potencijal obezbeđuje jednostavan način analize električnih kola uz pomoć Kirhofovih zakona, bez potpunog rešavanja Maksvelovih jednačina za statička električna polja.

Jedinice

SI jedinica za električni potencijal je volt (u čast Alesandro Volta), i u toliko širokoj upotrebi je da su termini napon i električni potencijal postali sinonimi. Starije jedinice su retke. Varijante jedinice električnog potencijala su statvolt (= 299.792 458 V) i abvolt koji je ≡ 1×10⁻⁸ V.

Literatura

• Politzer, Peter; Truhlar, Donald G. (1981). Chemical Applications of Atomic and Molecular Electrostatic Potentials: Reactivity, Structure, Scattering, and Energetics of Organic, Inorganic, and Biological Systems. Boston, MA: Springer US. ISBN 978-1-4757-9634-6. 
• Sen, Kalidas; Murray, Jane S. (1996). Molecular Electrostatic Potentials: Concepts and Applications. Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-444-82353-3. 
• Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd. izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 
• Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3rd. izd.). USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Wangsness, Roald K. (1986). Electromagnetic Fields (2nd., Revised, illustrated izd.). Wiley. ISBN 978-0-471-81186-2. 
• Sears, Francis; et al. (1982), University Physics (6th izd.), Addison Wesley, ISBN 0-201-07199-1 
• Umashankar, Korada (1989), Introduction to Engineering Electromagnetic Fields, World Scientific, str. 77—79, ISBN 9971-5-0921-0 
• Morely & Hughes (1970), Principles of Electricity (5th izd.), str. 73, ISBN 0-582-42629-4 
• Tou, Stephen (2011). Visualization of Fields and Applications in Engineering. John Wiley and Sons. str. 64. ISBN 9780470978467. 
• Griffiths, David J. (1999). Introduction to electrodynamics (3rd izd.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. OCLC 40251748. 
• Browne, Michael (2011). Physics for Engineering and Science (2nd izd.). McGraw-Hill, Schaum, New York. ISBN 978-0-07-161399-6. 
• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5. 
• Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X. 
• Larmor Joseph (1897). „On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium. Part 3, Relations with material media”. Phil. Trans. R. Soc. 190: 205—300. 
• Lorentz Hendrik (1899). „Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems”. Proc. Acad. Science Amsterdam. I: 427—443. 
• Lorentz Hendrik (1904). „Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light”. Proc. Acad. Science Amsterdam. IV: 669—678. 
• Henri Poincaré (1900) "La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction", Archives Néerlandaises, V, 253–278.
• Henri Poincaré (1902) "La Science et l'Hypothèse".
• Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–1508.
• Catt, Walton and Davidson. "The History of Displacement Current" Arhivirano 2008-05-06 na sajtu Wayback Machine. Wireless World, March 1979.

Spoljašnje veze

• Introduction to Electric Potential Konceptualni uvod
• Electric field in "Electricity and Magnetism", R Nave – Hyperphysics, Georgia State University
• Frank Wolfs's lectures at University of Rochester, chapters 23 and 24
• Fields Arhivirano na sajtu Wayback Machine (27. maj 2010) – a chapter from an online textbook