Kvadratni koren iz 2

	Zapis kvadratnog korena iz 2 u različitim; sistemima i verižnim razlomkom.
Binarni	1.01101010000010011110…
Dekadni	1.4142135623730950488…
Heksadecimalni	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Verižni razlomak

Kvadratni koren iz 2 (matematička oznaka je $\sqrt 2$ ili $2 1 ⁄ 2$ ) je pozitivan algebarski broj koji pomnožen sa samim sobom daje broj 2. Tehnički gledano, postoje dva broja koja pomnožena samim sobom daju rezultat 2. Međutim, pozitivan broj koji ispunjava ovaj uslov naziva se glavna vrednost korena da bi se razlikovala od negativnog broja sa istim svojstvima.

Geometrijski, kvadratni koren iz 2 je dužina dijagonale jediničnog kvadrata što sledi iz Pitagorine teoreme. Pretpostavlja se da je to prvi poznati iracionalni broj.

Racionalna aproksimacija kvadratnog korena iz dva, 665,857/470,832, izvedena je iz četvrtog koraka vavilonskim algoritmom počevši od $a 0 = 1$ , premašuje pravu vrednost za 6988160000000000000♠1,6×10⁻¹²: njen kvadrat je 7000200000000000450♠2,0000000000045…

Često korišćena racionalna aproksimacija je 99/70 (≈ 1.41429). Uprkos tome što je imenilac samo 70, od prave vrednosti odstupa za manje od 1/10,000 (približno 6995720000000000000♠+0,72×10⁻⁴). Pošto je u pitanju konvergentan verižni razlomak kvadratnog korena iz dva, svaka bolja racionalna aproksimacija ima imenilac veći od 169, budući da je 239/169 konvergentan razlomak sa približnom greškom od 3004880000000000000♠−0,12×10⁻⁴.

Numerička vrednost za kvadratni koren iz dva, skraćena na 65 decimala, je:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… (sekvenca A002193 u OEIS).

Istorija uredi

Vavilonska glinena pločica (YBC 7289) sa napomenama. Pored toga što prikazuje zapis kvadratnog korena iz 2 u šezdesetičnom brojevnom sistemu (1 24 51 10), pločica daje i primer gde je jedna stranica kvadrata 30, a dijagonala je onda 42 25 35. U šezdesetičnom brojevnom sistemu, cifra 30 može označavati 0 30 = 12, i u tom slučaju 0 42 25 35 ima približnu vrednost 0.7071065.

Vavilonska glinena pločica (YBC 7289) (oko 1800-1600. p. n. e.) daje aproksimaciju $\sqrt 2$ sa četiri cifre šezdesetičnog sistema, 1 24 51 10, što odgovara tačnosti oko šest cifara u dekadnom sistemu^[1] i to je najpreciznija moguća reprezentacija $\sqrt 2$ sa tri decimale u šezdesetičnom brojevnom sistemu:

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.

Još jedna približna aproksimacija data je u drevnim indijskim matematičkim tekstovima u Sulba Sutri (engl. Sulba Sutras) (oko 800-200. p. n. e.) na sledeći način: Uvećanje dužine (stranice) za trećinu i tu trećinu za svoju četvrtinu umanjenu za trideset-četvrti deo te četvrtine.^[2] Dakle,

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.

Ova aproksimacija je sedma u nizu sve preciznijih aproksimacija baziranih na nizu Pelovih brojeva, koja se može izvesti iz ekspanzije verižnog razlomka od $\sqrt 2$ . Uprkos tome što ova aproksimacija ima manji imenilac, neznatno je manje preciznosti od vavilonske.

Pitagorejci su otkrili da dijagonala kvadrata nije samerljiva sa stranicom, što u savremenom jeziku ima značenje da je kvadratni koren iz dva iracionalan broj. Ne zna se sa sigurnošću kada je ovo otkriveno i pod kakvim okolnostima, ali se u vezi sa ovim otkrićem često pominje Hipas iz Metaponta. Jedan period, Pitagorejci su ovo otkriće tretirali kao službenu tajnu, i prema legendi, Hipas je ubijen zbog otkrivanja te tajne.^[3]^[4]^[5] Kvadratni koren iz dva se ponekad naziva "Pitagorin broj" ili "Pitagorina konstanta"; na primer, kod Konveja i Gaja u njihovoj knjizi Knjiga brojeva.^[6]

Kompjuterski algoritmi uredi

Postoji veliki broj algoritama za približno računanje $\sqrt 2$ , koji za aproksimaciju koriste samo odnos celih ili decimalnih brojeva. Najčešći takav algoritam koji se koristi kao osnova u mnogim računarima i kalkulatorima je vavilonski algoritam (vavilonska metoda)^[7] što je samo jedna od mnogih metoda za računanje kvadratnih korena. Algoritam ide ovako:

Najpre, odaberemo proizvoljno $a 0 > 0$ ; ova vrednost utiče samo na broj iteracija potrebnih da bi se postigla određena tačnost. Zatim, koristimo $a 0$ , kao početnu vrednost u sledećem rekurzivnom izračunavanju:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.

Što više iteracija kroz algoritam (tj. što više izračunavanja i što je veće " $n$ "), dobićemo bolju aproksimaciju kvadratnog korena iz 2. Svaka iteracija otprilike udvostručuje broj tačnih cifara. Počevši sa $a 0 = 1$ , dobijaju se sledeće aproksimacije:

3/2 = 1.5
17/12 = 1.416...
577/408 = 1.414215...
665857/470832 = 1.4142135623746...

Japanski matematičar Jasumasa Kanada je zajedno sa svojim timom 1997. godine izračunao 137.438.953,444 decimala za $\sqrt 2$ .

Reference uredi

^ Fowler & Robson. str. 368.
Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Arhivirano na sajtu Wayback Machine (13. avgust 2012)
High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
^ Henderson, David. „Square Roots in the Sulbasutra”. http://www.math.cornell.edu/. Pristupljeno 4. 2. 2017. Spoljašnja veza u |work= (pomoć)
^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem", Dept. of Math. Ed., University of Georgia.
^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio ...", Nrich.org, November 2004.
^ von Fritz, Kurt (1945). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. Annals of Mathematics. 46 (2): 242—264. JSTOR 1969021. doi:10.2307/1969021.
^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, str. 25
^ Iako se termin "vavilonska metoda" često koristi u modernoj upotrebi, ne postoje direktni dokazi koji pokazuju kako su Vavilonjani računali aproksimaciju $\sqrt 2$ koja se vidi na pločici YBC 7289. Fouler i Robson ponudili su detaljnije pretpostavke .
Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.

Literatura uredi

Apostol, Tom M. (2000), „Irrationality of the square root of two – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841—842, JSTOR 2695741, doi:10.2307/2695741 .
Analytica priora|authorlink=Aristotle, eBooks@Adelaide, 2007
Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X .
Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), „Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context”, Historia Mathematica, 25 (4): 366—378, doi:10.1006/hmat.1998.2209 .
Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), „The generalized serial test and the binary expansion of $\sqrt 2$ ”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102—107, JSTOR 2344040, doi:10.2307/2344040 .
Henderson, David W. (2000), „Square roots in the Śulba Sūtras”, Ur.: Gorini, Catherine A., Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, str. 39—45, ISBN 978-0-88385-164-7 .

Spoljašnje veze uredi

Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), „Pythagoras' Constant: $\sqrt 2$ ”, Numbers, Constants and Computation, Arhivirano iz originala 08. 12. 2008. g., Pristupljeno 02. 02. 2017 .
Weisstein, Eric W. „Pythagoras's Constant”. MathWorld.
The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
Grime, James; Bowley, Roger. „The Square Root $\sqrt 2$ of Two”. Numberphile. ^{[mrtva veza]}Brady Haran. Arhivirano iz originala 22. 05. 2017. g. Pristupljeno 02. 02. 2017.

[1] Fowler & Robson. str. 368.
Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Arhivirano na sajtu Wayback Machine (13. avgust 2012)
High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection

[2] Henderson, David. „Square Roots in the Sulbasutra”. http://www.math.cornell.edu/. Pristupljeno 4. 2. 2017. Spoljašnja veza u |work= (pomoć)

[3] Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem", Dept. of Math. Ed., University of Georgia.

[4] Brian Clegg, "The Dangerous Ratio ...", Nrich.org, November 2004.

[5] von Fritz, Kurt (1945). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. Annals of Mathematics. 46 (2): 242—264. JSTOR 1969021. doi:10.2307/1969021.

[6] Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, str. 25

[7] Iako se termin "vavilonska metoda" često koristi u modernoj upotrebi, ne postoje direktni dokazi koji pokazuju kako su Vavilonjani računali aproksimaciju $\sqrt 2$ koja se vidi na pločici YBC 7289. Fouler i Robson ponudili su detaljnije pretpostavke .
Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]