Ojlerovi polinomi

Ojlerovi polinomi u matematici predstavljaju polinome, koji su dobili ime prema Leonardu Ojleru, a susreću se prilikom izučavanja mnogih specijalnih funkcija, a posebno Rimanove zeta funkcije i Hurvicove zeta funkcije. Blisko su povezani sa Bernulijevim polinomima.

Opšti oblik

$E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}$,

gde su ${n \choose k}$ — binomni koeficijenti

Generirajuća funkcija i članovi

Generirajuća funkcija Ojlerovih polinoma je:

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Nekoliko prvih Ojlerovih polinoma:

$E_{0}(x)=1$

$E_{1}(x)=x-1/2$

$E_{2}(x)=x^{2}-x$

$E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}$

$E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x$

$E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}$

$E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.$

Svojstva

$E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}\,$

$E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x)\,$

$E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\,$

$E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)\,$

$(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}\,$

Integrali

$\int _{a}^{x}E_{n}(t)\,dt={\frac {E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}}$

$\int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}$

gde su $\ B_{k}$ — Bernulijevi brojevi

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0
• Ojlerovi polinomi