Pitagorino drvo

Pitagorino drvo je ravanski fraktal konstruisan pomoću kvadrata. Dobio je ime po Pitagori zato što svaka trojka susednih kvadrata svojim zajedničkim temenima određuje pravougli trougao, u obliku koji se tradicionalno koristi za prikaz Pitagorine teoreme.

Ako je stranica prvog kvadrata dužine 1, celo Pitagorino drvo može stati u pravougaonik veličine 6×4. Sitniji detalji drveta podsećaju na Levijevu C krivu.

Fraktal je prvi konstruisao holandski matematičar Albert Bosman (hol. Albert E. Bosman) 1942. godine.

Konstrukcija

Konstrukcija Pitagorinog drveta počinje kvadratom. Nad njim se konstruišu dva manja kvadrata, sa koeficijentom sličnosti ½√2, tako da svaki kvadrat ima po jedno zajedničko teme sa preostala dva. Isto se ponavlja rekurzivno nad dva manja kvadrata, ad infinitum. Sledeće ilustracije prikazuju prvih nekoliko iteracija u postupku konstrukcije.

Konstrukcija Pitagorinog drveta, nivo 1	Nivo 2	Nivo 3	Nivo 4
Nivo 0	Nivo 1	Nivo 2	Nivo 3

Površina

n-ta iteracija u konstrukciji dodaje 2ⁿ kvadrata površine (½√2)²ⁿ, sa ukupnom površinom jednakom 1. Zato se čini da se površina drveta beskonačno uvećava kada n→∞. Ipak, kako se neki od kvadrata preklapaju počevši od pete iteracije, drvo ima konačnu površinu, s obzirom da je smešteno u pravougaonik 6×4.

Lako je pokazati da za površinu A Pitagorinog drveta važi 5 < A < 18, a uz dodatni napor ona se može i preciznije ograničiti. Međutim, sama vrednost A je nepoznata.

Varijacije

Ako se umesto dva ista kvadrata, u novom koraku oni konstruišu tako da je jedan veći od drugog (odnosno da pravougli trougao određen temenima tri susedna kvadrata ne bude jednakokraki), rezultat će biti „Pitagorino drvo na vetru“.

Nivo 0	Nivo 1	Nivo 2	Nivo 5
Nivo 0	Nivo 1	Nivo 2	Nivo 5

Spoljašnje veze

• Galerija slika Pitagorinog drveta
• Java aplet koji iscrtava Pitagorino drvo