Polinom

U matematici, polinom je izraz koji je sačinjen od jedne ili više promenljivih i konstanti, korišćenjem operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, i stepenovanja pozitivnim celim stepenima. Na primer, $x^{3}+10x+(-9)\,$ je polinom. Treba imati u vidu da deljenje i korenovanje izrazom koji sadrži promenljivu u opštem slučaju nije dozvoljeno kod polinoma.

Pregled

Polinomi su sačinjeni od gradivnih elemenata koji se nazivaju monomi, a oni se sastoje od konstante (koja se naziva koeficijentom), pomnožene jednom ili više promenljivih (koje se obično predstavljaju slovima). Svaka promenljiva može imati konstantan pozitivan ceo broj kao eksponent. Eksponent nad promenljivom u monomu je jednak stepenu te promenljive u monomu. Kako je $x=x^{1}$, stepen promenljive bez zapisanog eksponenta je jedan. Monom bez promenljivih se naziva konstantnim monomom, ili prosto konstantom. Stepen konstante je 0. Koeficijent monoma može biti bilo koji broj, uključujući razlomke, iracionalne i negativne brojeve.

Na primer,

$-5x^{2}y\,$

je monom. Koeficijent je -5, a promenljive su x i y. Stepen promenljive x je dva, a stepen promenljive y je jedan.

Stepen celog monoma je zbir stepeni svake promenljive u njemu. U gornjem primeru je stepen jednak 2 + 1 = 3.

Polinom predstavlja zbir jednog ili više monoma. Na primer, ovo je jedan polinom:

$3x^{2}-5x+4\,.$

Sastoji se od tri monoma: prvi je stepena dva, drugi je stepena jedan, a treći je stepena nula.

Polinom se obično zapisuje tako da monomi višeg stepena dolaze pre onih nižeg stepena. U prvom monomu, koeficijent je 3, promenljiva je x, a eksponent je dva. U drugom monomu, koeficijent je -5. Treći je konstanta. Stepen polinoma je najveći stepen nekog njegovog monoma. Na primer, gornji polinom ima stepen dva.

Polinom stepena jedan se naziva linearni, polinom stepena dva se naziva kvadratni, a onaj stepena tri se naziva kubni.

Polinom sačinjen od jednog monoma se i sam naziva monom. Polinom sačinjen od dva monoma je binom, dok je onaj sačinjen od tri monoma naziva trinom.

Polinom čiji term najvišeg stepena ima koeficijent 1 je moničan.

Izraz koji se može transformisati u polinom kroz niz primena komutativnih, asocijativnih, i distributivnih zakona se obično i sam smatra polinomom.

Na primer

${\frac {x^{3}}{12}}$

se smatra polinomom, jer je ekvivalentno ${\tfrac {1}{12}}x^{3}$. Koeficijent je ${\tfrac {1}{12}}$.

Ali,

${1 \over x^{2}+1}\,$

nije polinom, jer uključuje deljenje promenljivom, kao što u opštem slučaju nije ni

$(5+y)^{x}\,$

jer ima promenljivu za eksponent.

Kako se oduzimanje može posmatrati kao sabiranje sabiraka suprotnog znaka, a stepenovanje konstantnim pozitivnim brojem se može posmatrati kao ponovljeno množenje, polinomi se mogu konstruisati od konstanti i promenljivih primenom samo operacija sabiranja i množenja.

Polinomijalna funkcija je funkcija definisana vrednošću polinoma. Na primer, funkcija f definisana kao

$f(x)=x^{3}-x\,$

je polinomijalna funkcija. Polinomijalne funkcije su važna klasa glatkih funkcija. Izraz glatko dolazi iz matematičke analize. Znači da je uvek moguće naći izvod polinomijalne funkcije, koliko god puta, i koliko god često. Glatka funkcija opisuje izgled grafika polinomijalne funkcije.

Elementarna svojstva polinoma

1. Zbir dva polinoma je polinom
2. Proizvod dva polinoma je polinom
3. Izvod polinoma je polinom
4. Primitivna funkcija polinoma je polinom

Polinomi se koriste da aproksimiraju druge funkcije, kao što su sinus, kosinus, i eksponencijalna funkcija.

Svi polinomi imaju prošireni oblik, u kome se koristi distributivni zakon da se uklone sve zagrade. Neki polinomi imaju rastavljen oblik u kome je polinom zapisan kao proizvod polinoma sa realnim koeficijentima. Na primer, polinom

$x^{2}-2x-3\,$

je jednak, i predstavlja prošireni oblik polinoma

$(x-3)(x+1)\,$,

koji je zapisan u rastavljenom obliku.

Svaki polinom jedne promenljive je ekvivalentan polinomu oblika

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$.

Ovo se nekad uzima za definiciju polinoma jedne promenljive.

Računanje vrednosti polinoma se sastoji od dodeljivanja neke brojevne vrednosti svakoj promenljivoj, i izvršavanja odgovarajućih množenja i sabiranja. Ovo računanje se ponekad efikasnije sprovodi korišćenjem Hornerove šeme

$((\ldots (a_{n}x+a_{n-1})x+...+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}\,$.

U elementarnoj algebri, se izučavaju metodi za rešavanje svih polinomijalnih jednačina jedne promenljive prvog i drugog stepena. Kada su u pitanju polinomijalne jednačine, promenljiva se često naziva nepoznatom. Broj rešenja polinomijalne jednačine ne može da premaši stepen polinoma, i tačno je jednak ovom stepenu ako se ubroji multiplicitet rešenja, kao i kompleksna rešenja. Ova činjenica je osnovna teorema algebre.

Operacije

Sabiranje i oduzimanje

Polinomi se mogu sabirati korišćenjem asocijativnog zakona sabiranja (grupujući sve njihove članove u jedan zbir), nakon čega eventualno sledi preuređenje (koristeći komutativni zakon) i kombinovanje sličnih članova. Na primer, ako

$P=3x^{2}-2x+5xy-2$ and $Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$

zatim se zbir

$$P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$$

može preurediti i pregrupisati kao

$$P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)$$

a zatim uprošćeno na

$$P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.$$

Kada se polinomi saberu, rezultat je još jedan polinom.

Oduzimanje polinoma je slično.

Množenje

Polinomi se takođe mogu množiti. Da bi se proizvod dva polinoma proširio u zbir članova, distributivni zakon se više puta primenjuje, što rezultira u tome da se svaki član jednog polinoma pomnoži sa svakim članom drugog. Na primer, ako je

$${\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}$$

onda je

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}$$

Izvođenje množenja u svakom članu proizvodi

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}$$

Kombinovanje sličnih termina daje

$${\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}$$

što se može pojednostaviti na

$$PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.$$

Kao u gornjem primeru, proizvod polinoma je uvek polinom.

Kompozicija

Za dati polinom $f$ jedne promenljive i drugi polinom g od bilo kog broja promenljivih, kompozicija $f\circ g$ se dobija zamenom svake kopije promenljive prvog polinoma sa drugi polinom. Na primer, ako je $f(x)=x^{2}+2x$ i $g(x)=3x+2$ onda je

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).$$

Kompozicija se može proširiti na zbir pojmova koristeći pravila za množenje i deljenje polinoma. Kompozicija dva polinoma je još jedan polinom.

Deljenje

Deljenje jednog polinoma drugim nije tipično polinom. Umesto toga, takvi odnosi su opštija porodica objekata, koji se nazivaju racionalni razlomci, racionalni izrazi ili racionalne funkcije, u zavisnosti od konteksta. Ovo je analogno činjenici da je odnos dva cela broja racionalan broj, a ne nužno ceo broj. Na primer, razlomak 1/(x² + 1) nije polinom i ne može se napisati kao konačan zbir stepena promenljive x.

Za polinome u jednoj promenljivoj postoji pojam euklidskog deljenja polinoma, koji generalizuje euklidovo deljenje celih brojeva. Ovaj pojam deljenja a(x)/b(x) rezultira sa dva polinoma, količnikom q(x) i ostatkom r(x), takvim da je a = b q + r i degree(r) < degree(b). Količnik i ostatak mogu da se izračunaju bilo kojim od nekoliko algoritama, uključujući polinomsku dugu podelu i sintetičko deljenje.

Kada je imenilac b(x) moničan i linearan, odnosno b(x) = x − c za neku konstantu c, tada teorema polinomskog ostatka tvrdi da je ostatak deljenja a(x) sa b(x) evaluacija a(c). U ovom slučaju, količnik se može izračunati po Rafinijevom pravilu, posebnom slučaju sintetičke podele.

Vidi još

• Monom
• Binom
• Trinom
• Homogeni polinom
• Simetrični polinom
• Karakteristični polinom
• Bezuov stav
• Binomna teorema

Literatura

• Selby, Peter H.; Slavin, Steve (1991). Practical algebra: a self teaching guide. Wiley. ISBN 978-0-471-53012-1. 
• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1). 1965. ISBN 978-0-07-002655-1..
• Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. Springer. ISBN 978-0-387-40627-5. 
• Bronstein, Manuel; et al., ur. (2006). Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications. Springer. ISBN 978-3-540-27357-8. 
• Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997). Integer-Valued Polynomials. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0388-2. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 . This classical book covers most of the content of this article.
• Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. ISBN 9789622092716. 
• Mayr, K. Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. Monatshefte für Mathematik und Physik vol. 45, (1937) pp. 280–313.
• Prasolov, Victor V. (2005). Polynomials. Springer. ISBN 978-3-642-04012-2. 
• Sethuraman, B.A. (1997). „Polynomials”. Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra Via Geometric Constructibility. Springer. ISBN 978-0-387-94848-5. 
• Umemura, H. Solution of algebraic equations in terms of theta constants. In D. Mumford, Tata Lectures on Theta II, Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston, 1984.
• von Lindemann, F. Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften, vol. 7, 1884. Polynomial solutions in terms of theta functions.
• von Lindemann, F. Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen II. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, 1892 edition.

Spoljašnje veze

• Besplatni onlajn kalkulator za polinome
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Polynomial”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• „Euler's Investigations on the Roots of Equations”. Arhivirano iz originala 24. 9. 2012. g. 
• Weisstein, Eric W. „Polynomial”. MathWorld.