Topologija

Za druge upotrebe pogledajte stranicu Topologija (višeznačna odrednica).

Topologija (od grčkog τόπoς „mesto“ i λόgoς „nauka, znanje, reč“) je grana matematike koja proučava globalne (geometrijske) strukture i topološke prostore. Topologija je jedna od najmlađih grana matematike, koja je nadovezujući se na matematičku analizu i teoriju skupova, svojim dinamičnim razvojem tokom 20. veka dovela do rešenja nekoliko značajnih klasičnih matematičkih problema.

Mebijusova traka je jedan od objekata koji se proučavaju u topologiji. Ona je objekat koji nema odvojenu unutrašnju i spoljašnju stranu, već ima samo jednu stranu i jednu ivicu. Model Mebijusove trake se lako može napraviti tako što se uzme papirna traka, i zarotira se po dužini za 180°, a zatim se krajevi trake zalepe.

Osnovni objekat u topologiji je topološki prostor, koji se definiše kao uređeni par (X, $\tau$) nekog skupa X i podskupa njegovog partitivnog skupa u oznaci $\tau$.

Podela

Topologija se deli na:

1. opštu topologiju, koja se bavi samim topološkim prostorima
2. algebarsku topologiju, u kojoj se proučavaju topološke invarijante, odnosno osobine topoloških prostora koje se ne menjaju pri neprekidnim preslikavanjima. U okviru algebarske topologije se nalaze još i

• geometrijska topologija, koja proučava mnogostrukosti i
• diferencijalna topologija, koja proučava diferencijalna preslikavanja.

Motivacija

Motivirajući uvid iza topologije je da neki geometrijski problemi ne zavise od tačnog oblika uključenih objekata, već pre od načina na koji su spojeni. Na primer, kvadrat i krug imaju mnoga zajednička svojstva: oba su jednodimenzionalni objekti (sa topološke tačke gledišta) i oba razdvajaju ravan na dva dela, deo unutra i deo spolja.

U jednom od prvih radova iz topologije, Leonhard Ojler je pokazao da je nemoguće pronaći rutu kroz grad Kenigsberg (danas Kalinjingrad) koja bi tačno jednom prešla svaki od njegovih sedam mostova. Ovaj rezultat nije zavisio od dužine mostova ili od njihove udaljenosti jedan od drugog, već samo od svojstava povezivanja: koji mostovi se povezuju sa kojim ostrvima ili obalama reke. Ovaj problem sedam mostova Kenigsberga doveo je do grane matematike poznate kao teorija grafova.

Kontinuirana deformacija (vrsta homeomorfizma) šolje u krofnu (torus) i krave (bez otvora) u sferu

Slično, teorema četkanja ježa algebarske topologije navodi da se „ne može raščešljati kosa na dlakavoj lopti, a da se ne stvori čuperak“. Ova činjenica je odmah ubedljiva za većinu ljudi, mada oni možda ne prepoznaju formalniju izjavu teoreme, da na sferi ne postoji neprekidno tangentno vektorsko polje. Kao i kod Kenigsberških mostova, rezultat ne zavisi od oblika sfere; primenjuje se na bilo koju vrstu glatke grudve, sve dok nema rupa.

Da bi se rešili ovi problemi koji se ne oslanjaju na tačan oblik objekata, mora biti jasno na koja se svojstva ovi problemi oslanjaju. Iz ove potrebe proizilazi pojam homeomorfizma. Nemogućnost prelaska svakog mosta samo jednom važi za bilo koji raspored mostova koji je homeomorfan onima u Kenigsbergu, a teorema o dlakavoj kugli važi za bilo koji prostor homeomorfan sferi.

Intuitivno, dva prostora su homeomorfna ako se jedan može deformisati u drugi bez sečenja ili lepljenja. Tradicionalna šala je da topolog ne može da razlikuje šolju za kafu od krofne, jer se dovoljno savitljiva krofna može preoblikovati u šolju za kafu stvaranjem udubljenja i postupnim povećanjem, dok se rupa skuplja u dršku.

Istorija

Kenigzberški mostovi, čuveni topološki problem.

Grana matematike koja se danas naziva topologijom je nastala izučavanjem određenih geometrijskih pitanja. Ojlerov rad iz 1736. o Kenigzberškim mostovima spada među prve topološke rezultate. Izraz topologija je u nemački jezik uveo Johan Benedikt Listing 1847, u radu Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Međutim, Listing je već deset godina koristio ovaj izraz u prepiskama. Moderna topologija se u velikoj meri zasniva na teoriji skupova, koju je razvio Georg Kantor krajem devetnaestog veka. Kantor je, osim što je postavio osnovne ideje teorije skupova, takođe razmatrao skupove tačaka u Euklidskom prostoru, u sklopu proučavanja Furijeovih redova. Anri Poenkare je 1895. godine objavio knjigu Analysis Situs, u kojoj je uveo koncepte homotopije i homologije, koji se danas smatraju delom algebarske topologije. Moris Freše je, objedinjujući rad Kantora, Voltere, Arcele, Adamara, Đulija Askolija i drugih, 1906. uveo metrički prostor. Metrički prostor se danas smatra posebnim slučajem opšteg topološkog prostora. 1914, Feliks Hausdorf je skovao izraz topološki prostor i dao definiciju za ono šta se danas naziva Hausdorfovim prostorom. U današnjem značenju, topološki prostor je blago uopštavanje Hausdorfovih prostora, koje je 1922. dao Kazimir Kuratovski.

Dana 14. novembra 1750, Ojler je pisao prijatelju da je shvatio važnost ivica poliedra. Ovo je dovelo do njegove formule poliedra, V − E + F = 2 (gde V, E, i F označavaju broj vrhova, ivica i lica poliedra). Neki autoriteti ovu analizu smatraju prvom teorijom koja signalizira rođenje topologije.

Dalje doprinose dali su Ogisten Luj Koši, Ludvig Šlefli, Johan Benedikt Listing, Bernhard Riman i Enriko Beti. Listing je uveo termin „topologija“ u delu Vorstudien zur Topologie, napisanom na njegovom maternjem nemačkom, 1847. godine, nakon što je tu reč koristio deset godina u prepisci pre njenog prvog pojavljivanja u štampi. Engleski oblik „topology” je korišćen 1883. u Listingovoj čitulji u časopisu Nature da se napravi razlika između „kvalitativne geometrije i obične geometrije u kojoj se uglavnom tretiraju kvantitativni odnosi”.

Njihov rad je korigovao, konsolidovao i uveliko proširio Anri Poenkare. Godine 1895, on je objavio svoj revolucionarni rad o Analizi lokacije, koji je uveo koncepte sada poznate kao homotopija i homologija, koji se sada smatraju delom algebarske topologije.

Topološke karakteristike zatvorenih 2-mnogostrukosti

Mnogostrukost	Ojlerov broj	Orijentabilnost	Betijevi brojevi			Koeficijent torzije (1-dim)
			b0	b1	b2
Sfera	2	Orijentabilna	1	0	1	nema
Torus	0	Orijentabilna	1	2	1	nema
torus sa 2 otvora	−2	Orijentabilna	1	4	1	nema
torus sa g otvora (rod g)	2 − 2g	Orijentabilna	1	2g	1	nema
Projektivna ravan	1	Neorijentabilna	1	0	0	2
Klejnova boca	0	Non-Neorijentabilna	1	1	0	2
Sfera sa c unakrsnim kapama (c > 0)	2 − c	Neorijentabilna	1	c − 1	0	2
2-Mnogostrukost sa g otvora i c unakrsnih kapa (c > 0)	2 − (2g + c)	Neorijentabilna	1	(2g + c) − 1	0	2

Moderna topologija snažno zavisi od ideja teorije skupova, koje je razvio Georg Kantor u kasnijoj polovini 19. veka. Pored utvrđivanja osnovnih ideja teorije skupova, Kantor je razmatrao skupove tačaka u Euklidskom prostoru kao deo svog proučavanja Furijeovih redova. Za dalji razvoj pogledajte topologiju skupa tačaka i algebarsku topologiju.

Abelova nagrada za 2022. dodeljena je Denisu Salivanu „za njegov revolucionarni doprinos topologiji u njenom najširem smislu, a posebno njenim algebarskim, geometrijskim i dinamičkim aspektima“.

Topološki prostor i topologija

Glavni članak: Topološki prostor

Topološki prostor je uređeni par skupa X i kolekcijom podskupova od X (podskup partitivnog skupa X) u oznaci $\tau$, koji zadovoljavaju sledeće osobine:

1. prazan skup i X nalaze se u $\tau$.
2. unija svih kolekcija skupova iz $\tau$ je takođe skup u $\tau$.
3. presek svake konačne kolekcije skupova iz $\tau$ je takođe u $\tau$.

Kolekcija $\tau$ se naziva topologijom nad X. Elementi skupa X se obično nazivaju tačkama, mada mogu biti proizvoljni matematički objekti. Topološki prostor u kome su tačke predstavljene nekim funkcijama, naziva se funkcionalni ili funkcijski prostor.

Homotopija

Glavni članak: Homotopija

Šolja i krofna (torus) su u topologiji međusobno ekvivalentne strukture. Na slici je prikazana kontinualna deformacija (homotopija) između njih.

Homotopija H dve neprekidne funkcije f i g koje slikaju topološki prostor X u topološki prostor Y je neprekidna transformacija H : X × [0,1] → Y tako da je za sve tačke x iz X, važi H(x,0)=f(x) i H(x,1)=g(x).

Vidi još

• Topološki prostor
• Homotopija

Literatura

• Fréchet, Maurice (1906). Sur quelques points du calcul fonctionnel. PhD dissertation. OCLC 8897542. 
• Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. str. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. 
• Spanier, Edwin (1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 978-0-387-94426-5. 
• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ur.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd izd.), The M.I.T. Press 
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2 
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press 
• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics. 1989. ISBN 978-3-88538-006-1..
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ur.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5. 
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids * [[John L. Kelley|Kelley, John L.]] (1975). General Topology. [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]. [[Međunarodni standardni broj knjige|ISBN]] [[Posebno:BookSources/978-0-387-90125-1|978-0-387-90125-1]]. . Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.  (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
• Wacław Sierpiński (2000). General Topology. Dover Publications. ISBN 978-0-486-41148-4. 
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.  (Provides a popular introduction to topology and geometry)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd izd.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Topology, general”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Topologija na sajtu Curlie
• The Topological Zoo Архивирано на сајту Wayback Machine (4. фебруар 2012) at The Geometry Center.
• Topology Atlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
• Topology Glossary
• Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.