Trostruki numerički sistem

Trostruki numerički sistem (koji se i naziva baza 3) ima tri kao svoju bazu. Analogno bitu, ternarna cifra je trojka (tri cifre). Jedan trojka je ekvivalentna log₂3 (oko 1.58496) bitova informacije.

Iako je trojni najčešće se odnosi na sistem u kojem su tri cifre 0, 1, i 2 svi ne-negativni brojevi, pridev takođe daje ime u sistemu balansirane trojke, koji se koristi u odnosu logike i trostrukih računara.

Poređenje sa drugim rasamaUredi

Tabela množenja trojki
*	1	2	10	11	12	20	21	22	100
1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
2	2	11	20	22	101	110	112	121	200
10	10	20	100	110	120	200	210	220	1000
11	11	22	110	121	202	220	1001	1012	1100
12	12	101	120	202	221	1010	1022	1111	1200
20	20	110	200	220	1010	1100	1120	1210	2000
21	21	112	210	1001	1022	1120	1211	2002	2100
22	22	121	220	1012	1111	1210	2002	2101	2200
100	100	200	1000	1100	1200	2000	2100	2200	10000

Reprezentacije celih brojeva u trojkama se ne dobijaju tako brzo kao u binarnim. Na primer, decimalno 365 odgovara binarnom 101101101 (9 cifara) a trojnom 111112 (6 cifara). Međutim, oni su i dalje daleko manje kompaktne u odnosu na odgovarajuće predstavništvo u bazama kao što su decimalni- vidi dole kompaktan način za kodiranje trojki koristeći devetku i dvadesetsedmicu.

**Brojevi 1 do 27 u standardnim trojkama**
Trojka	1	2	10	11	12	20	21	22	100
Binarni	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001
Decimalni	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Trojka	101	102	110	111	112	120	121	122	200
Binarni	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010
Decimalni	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Trojka	201	202	210	211	212	220	221	222	1000
Binarni	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011
Decimalni	19	20	21	22	23	24	25	26	27

**Stepeni trojke u trojkama**
Trojka	1	10	100	1 000	10 000
Binarni	1	11	1001	1 1011	101 0001
Decimalni	1	3	9	27	81
Stepen	3⁰	3¹	3²	3³	3⁴
Trojka	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000
Binarni	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
Decimalni	243	729	2 187	6 561	19 683
Stepen	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3⁹

Kao i kod racionalnih brojeva, trojke nudi pogodan način da predstavljaju jednu trećinu (za razliku od svog glomaznog predstavljanja kao beskrajnog niza ponavljanja brojke u decimalama); ali veliki nedostatak je to, zauzvrat, trojke ne nudi konačan prikaz za jednu polovinu (ni za jednu četvrtinu, jednu petinu, jednu osminu, jednu desetinu, itd), jer 2 nije primarni faktor baze.

Razlomci u trojkama
Razlomak	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7	1/8	1/9	1/10	1/11	1/12	1/13
Trojka	0.1	0.1	0.02	0.0121	0.01	0.010212	0.01	0.01	0.0022	0.00211	0.002	0.002
Binarni	0.1	0.01	0.01	0.0011	0.001	0.001	0.001	0.000111	0.00011	0.0001011101	0.0001	0.000100111011
Decimal	0.5	0.3	0.25	0.2	0.16	0.142857	0.125	0.1	0.1	0.09	0.083	0.076923

Suma cifara u trojkama suprotna od binarnih Uredi

Vrednost binarnog broja sa n bitova gde su svi 1 je 2ⁿ − 1.

Slično, za broj N(b,d) sa bazom b i d ciframa, gde su sve cifre maksimalne vrednosti b − 1, možemo napisati

N(b,d) = (b − 1) b^d−1 + (b − 1) b^d−2 + … + (b − 1) b¹ + (b − 1) b⁰,

N(b,d) = (b − 1) (b^d−1 + b^d−2 + … + b¹ + 1),

N(b,d) = (b − 1) M.

bM = b^d + b^d−1 + … + b² + b¹, i

−M = −b^d−1 − b^d−2 − … − b¹ − 1, pa

bM − M = b^d − 1, or

M = (b^d − 1)/(b − 1).

Onda, N(b,d) = (b − 1)M,

N(b,d) = (b − 1) (b^d − 1)/(b − 1), i

N(b,d) = b^d − 1. Za 3-cifreni trojni broj, N(3,3) = 3³ − 1 = 26 = 2 × 3² + 2 × 3¹ + 2 × 3⁰ = 18 + 6 + 2.

Kompaktna predstava trojke: baza 9 i 27Uredi

Devetke (baza 9, svaka cifra je dve trostruke cifre) ili (baza 27, svaka cifra je tri trostruke cifre) mogu da se koriste za kompaktne reprezentacije trojnog, kao i oktalnog i heksadecimalnog sistema umesto binarnog.

Praktična upotrebaUredi

Baza-tri sistem se koristi u islamu zbog zadržavanja brojanja Tašiba do 99 ili 100 na jednoj ruci za brojanje molitve (kao alternativa za Mibaha).

U određenoj analognoj logici, stanje kola se često izražava trojkom. To se najčešće vidi u tranzistoru-tranzistor logici koristeći 7406 otvorenu kolektorsku logiku. Izlaz je ili nizak (osnovan), visok, ili otvoren (visoko-z). U ovoj konfiguraciji izlaz kruga zapravo nije uopšte povezan na bilo koji referentni napon. Gde je signal obično utemeljen na određenoj referenci, ili na određenom naponskom nivou, stanja kažu da je visoka impedansa jer je otvoren i služi svoju referencu. Tako, stvarni nivo napona je ponekad nepredvidiv.

Retka "trojna tačka" se koristi da označi razlomljene delove na izmeni u bejzbolu. Jer svaka izmena se sastoji od tri izlaza, svaki se smatra trećinom od jedne izmene i označen je kao .1. Na primer, ako igrač kosi svih 4., 5. i 6. izmena, plus 2 izlaza u 7. krugu, njegova izmena baca kolonu jer bi tad igra bila navedena kao 3.2, što znači 3⅔. U toj upotrebi, samo razlomak broja napisan je u obliku trostrukog.

Trojni brojevi se mogu koristiti za prenošenje samo-sličnih struktura kao što su Sierpinski trougao ili Kantorov skup. Osim toga, ispostavilo se da je trojna reprezentacija korisna za definisanje Kantorovog skupa i srodnih tačaka kompleta, zbog načina na koji je Kantorov skup konstruisan. Kantorov skup se sastoji od tačaka od 0 do 1 koje imaju trostruki izraz koji ne sadrži neku instancu cifre 1.^[1]^[2] Svaki prestanak ekspanzija u trojnom sistemu je ekvivalentan izrazu koji je identičan do termina koji je prethodio poslednji ne nula rok praćen oznakom jedne manje nego prošle nule mandata prvog izraza, zatim beskonačnom repu od dva. Na primer.1020 je ekvivalentno .1012222. .. jer ekspanzije su iste do "dva" na prvom izrazu, dva je umanjen u drugoj ekspanziji, a završne nule su zamenjene iza dve u drugom izrazu.

Trojka je osnova celog broja sa najvećom radiks ekonomijom, zatim sledi binarni i četvorka. Koristi se za pojedine računarske sisteme zbog te efikasnosti. Takođe se koristi za predstavljanje 3 drveta opcije kao što je meni telefonskog sistema, koji omogućavaju jednostavan put ka bilo kojoj ekspozituri.

Oblik viška binarne predstave pod nazivom balansirana trojka ili označena cifra predstave se ponekad koristi u softveru niskog nivoa i hardvera za postizanje brzog dodavanja celih brojeva, jer mogu eliminisati prenos^[3]

TriteUredi

Neki trostruki računari, kao što je Setun definišu trite da budu 6 tritova ili isto kao ~ 9.5 bitova (koji ima više informacija nego de fakto binarnog bajta).^[4]

Vidi jošUredi

ReferenceUredi

^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2. str. 9–12, 2006.
^ Dhananjay Phatak, I. Koren, Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains, 1994, [1]
^ Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E.A. „Development of ternary computers at Moscow State University”. Pristupljeno 20. 1. 2010.

LiteraturaUredi

Hayes, Brian (2001). „Third base”. American Scientist. 89 (6): 490—494. doi:10.1511/2001.40.3268. .

Spoljašnje vezeUredi

Third Base
Ternary Arithmetic Arhivirano na sajtu Wayback Machine (14. maj 2011)
The ternary calculating machine of Thomas Fowler
Ternary Base Conversion includes fractional part, from Maths Is Fun
Gideon Frieder's replacement ternary numeral system
Visualization of numeral systems

[1] Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.

[2] Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2. str. 9–12, 2006.

[3] Dhananjay Phatak, I. Koren, Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains, 1994, [1]

[4] Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E.A. „Development of ternary computers at Moscow State University”. Pristupljeno 20. 1. 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]