Fermi-Dirakova statistika

Fermi-Dirakova statistika u kvantnoj fizici, je funkcija koja opisuje energetsku raspodelu čestica u sistemu neinteragujućih (ili vrlo slabo interagujućih) fermiona. Za razliku od fermiona, neinteragujući bozoni opisani su Boze-Ajnštajnovom statistikom.

Fermi-Dirakova raspodela na različitim temperaturama

Posledica Fermi-Dirakove statistike je Paulijev princip isključenja koji se odnosi samo na fermione, odnosno čestice polucelog spina kao što su elektroni, protoni, neutrina, kvarkovi, itd, a ne odnosi se na bozonske čestice kao što su fotoni, mezoni, itd.

Na visokim temperaturama i Fermi-Dirakova i Boze-Ajnštajnova statistika daju iste klasične rezultate u skladu sa Bolcmanovom statistikom.

Istorija

Fermi-Dirakova statistika nazvana je po fizičarima Enriku Fermiju i Polu Diraku koji su je formulisali nezavisno jedan od drugog 1926. godine. U to vreme bio je poznat samo spin elektrona, mada ne i potpuno prihvaćen kao novi kvantni broj, dok spin nijedne druge čestice nije bio poznat.

Veza između spina i statistike otkrivena je tek 1940. godine u teoremi o spinu i statistici koju su predložili Fjerz i Pauli koja fermionima sa neparnom talasnom funkcijom pripisuje Fermi-Dirakovu statistiku, a bozonima sa parnom talasnom funkcijom pripisuje Boze-Ajnštajnovu statistiku. Teorema o spinu i statistici za bozone je eksperimentalno potvrđena 1995. godine, a za fermione 1999. godine.

Otkriće da čestice polucelog spina zadovoljavaju Fermi-Dirakovu statistiku dovelo je do formulisanja kvantne mehanike u drugoj kvantizaciji, što je značajno olakšalo račun termodinamičkih kvantno-mehaničkih veličina u višečestičnim kvantnim sistemima. Fermi-Dirakova raspodela je objasnila veliki broj fenomena od transportnih osobina u metalima, do fenomena u astrofizici.

Fermijeva funkcija

Fermi-Dirakova raspodela opisana je Fermijevom funkcijom $f(E)$ koja daje verovatnoću da će fermion imati energiju $E$ na temperaturi $T$:

$f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-\mu (T)}{k_{B}T}}}}$,

gde je $\mu$ hemijski potencijal koji zavisi od temperature, a $k_{B}$ Bolcmanova konstanta.

Fermijeva funkcija na različitim temperaturama

Limit na niskim temperaturama

Na niskim temperaturama hemijski potencijal (koji zavisi od temperature) je približno jednak hemijskom potencijalu na nultoj temperaturi $\mu \approx \mu (T=0)$, tako da Fermijeva funkcija $f(E)$ ima pojednostavljen oblik:

$f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{B}T}}}}$,

gde je $E_{f}$ Fermijeva energija (energija poslednjeg popunjenog energetskog nivoa na temperaturi apsolutne nule) koja je po definiciji jednaka hemijskom potencijalu na nultoj temperaturi $E_{f}\equiv \mu (T=0)$.

Vrednost Fermijeve funkcije na energijama $E\ll E_{f}$ je 1, što znači da su najniži energetski nivoi potpuno popunjeni. Na Fermijevoj energiji $f(E_{f})={\frac {1}{2}}$. Na energijama koje su nekoliko puta veće od Fermijeve energije, Fermijeva funkcija eksponencijalno opada, što znači da opada verovatnoća da će energetskih nivoi iznad Fermijevog nivoa biti popunjeni.

Na temperaturi apsolutne nule $T=0K$ Fermijeva funkcija ima oblik step funkcije:

$f(E)={\begin{cases}1,\quad E<E_{f},\\{\frac {1}{2}},\quad E=E_{f}\\0,\quad E>E_{f}\end{cases}}$

Limit na visokim temperaturama

Na visokim temperaturama hemijski potencijal, koji takođe zavisi od temperature, je $\mu <0$ i važi $|\mu |\gg k_{B}T$, tako da Fermi-Dirakova raspodela prelazi u Bolcmanovu raspodelu:

$[e^{\frac {E-\mu }{k_{B}T}}+1]^{-1}\simeq [e^{\frac {E-\mu }{k_{B}T}}]^{-1}=e^{\frac {\mu }{k_{B}T}}e^{\frac {-E}{k_{B}T}}\approx e^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}$

Prva i druga kvantizacija

Pod prvom kvantizacijom kvantne mehanike podrazumeva se istorijski prvi opis kvantno-mehaničkih sistema, preko talasne funkcije.

Osobine fermionske i bozonske talasne funkcije

Fermi-Dirakova statistika izvedena je iz osobine talasne funkcije koja opisuje fermione. Fermionska talasna funkcija mora biti neparna funkcija na zamenu mesta česticama, odnosno:

$\Psi (x_{1},x_{2})=-\Psi (x_{2},x_{1})$

za razliku od bozonske talasne funkcije koja je parna funkcija na zamenu mesta, tako da zamena mesta česticama ne menja talasnu funkciju:

$\Psi (x_{1},x_{2})=\Psi (x_{2},x_{1})$

Vidi još

• Boze-Ajnštajnova statistika
• Fermioni
• Paulijev princip