Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са а симболи друге врсте са . У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.
Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у вектор има вредност а у некој тачки
вредност Ако вектор транспортујемо до он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за Укупна разлика два вектора постаје онда:
Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености и под углом Нека вектор има координате ,
односно налази се на удаљеност од центра и из центра се види под углом .
Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему.
У поларном систему вектора остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:
Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:
Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:
а ту је контраваријантни приказ метричкога тензора, а представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом .
Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као:
Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;
С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:
Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.
Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:
и
Ту је |g| детерминанта од , односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом .