Opisana, upisana i spolja pripisana kružnica

(преусмерено са Описани круг)

Opisana kružnica oko mnogougla je kružnica koja prolazi kroz sva temena mnogougla. Centar ove kružnice se nalazi u preseku simetrala stranica i njen poluprečnik je rastojanje centra od bilo kog temena mnogougla. Mnogougao oko koga se može opisati krug naziva se tetivni mnogougao. Svi pravilni mnogouglovi su tetivni.
Kružnica koja dodiruje sve stranice jednog mnogougla naziva se upisana kružnica tog mnogougla. Centar ove kružnice se nalazi u preseku simetrala uglova i njen poluprečnik je rastojanje centra od bilo koje stranice mnogougla. U svaki pravilni mnogougao može da se upiše kružnica.
Centar spolja pripisane kružnice pravilnog mnogougla dobijamo u preseku simetrale jednog unutrašnjeg ugla i simetrale spoljašnjih uglova kod druga dva susedna temena. Poluprečnik je rastojanje centra od stranice mnogougla koju kružnica dodiruje.

TrougaoУреди

Oko svakog trougla može da se opiše kružnica. Centar opisane kružnice je presek simetrala stranica trougla.


Teorema 1. (O centru opisanog kruga) Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački.[1]:str. 60
Dokaz: Neka je S zajednička tačka simetrale  1-stranice   i simetrale  2-stranice   trougla ∆ . Pošto   pripada simetrali  1, imamo da je   , a pošto   pripada simetrali  2, imamo da je   . Odatle sledi da je    , tj da   pripada i simetrali  3, pa je   presek svih simetrala. Kružnica sa centrom   i poluprečnikom   sadrži sva temena trougla, pa je to opisana kružnica oko trougla ∆ .

Jednakostraničan trougaoУреди

Kod jednakostraničnog trougla poluprečnik opisane kružnice iznosi   visine:  o=  ili  0= .

Površina opisanog kruga je:  .

Jednakokraki trougaoУреди

Kod jednakokrakog trougla centar opisane kružnice je na sredini visine,  , gde je  .

Površina tog kruga je:  .

Pravougli trougaoУреди

Tvrđenje 1.: Centar opisane kružnice pravouglog trougla je središte hipotenuze.

Dokaz: Neka je   središte hipotenuze. Neka je   središte  . Tada je   srednja linija trougla ∆  i   je paralelna sa   pa je   normalno na  . Tada iz podudarnosti trouglova ∆  i ∆  sledi da je   . Pošto je i    sledi da je   centar opisane kružnice, a poluprečnik je pola hipotenuze.

Površina tog kruga je  

Položaj centra u odnosu na trougaoУреди

Oštrougli Tupougli Pravougli
centar unutar trougla centar izvan trougla centar na sredini hipotenuze

U svaki trougao može da se upiše kružnica. Centar te kružnice se nalazi u preseku simetrala uglova.

Teorema 2. (O centru upisane kružnice) Simetrale uglova trougla se seku u jednoj tački[1]:str. 61

Dokaz: Neka je   presek simetrale uglova ∠  i ∠ . Neka su  ,   i   normale iz   na stranice  ,   i  . Iz podudarnosti trouglova ∆  i ∆  sledi da je   . Iz    i    sledi da je    iz čega sledi podudarnost trouglova ∆  i ∆  odakle sledi ∠ ≅∠  i   pripada preseku svih simetrala i   je centar opisane kružnice.

Teorema 3.: Simetrala jednog unutrašnjeg ugla trougla i simetrala spoljašnjih uglova kod druga dva temena seku se u jednoj tački-centru spolja pripisane kružnice.

ČetvorougaoУреди

Tangentni četvorougaoУреди

Četvorougao čije su ivice tangente jednog kruga, tj. četvorougao u koji se može upisati krug, naziva se tangentni četvorougao.

Za dokazivanje tog kriterijuma koristi se teorema o podudarnosti tangentnih duži, tj. odsečaka tangente na dati krug od tačke iz koje je ona konstruisana do tačke dodira.

Teorema 1. Tangentne duži konstruisane iz iste tačke van datog kruga su međusobno podudarne.[1]:str. 101

Teorema 2. Četvorougao   je tangentni ako i samo ako je  .[1]:str. 101–2

Dokaz:
(⇒) Pretpostavimo da je četvorougao   tangentni. Neka su   dodirne tačke ivica   sa upisanim krugom  . Kako su tangentne duži podudarne, to je   ;   ;   ;   . Na osnovu toga je:  , tj.  .

(⇐) Neka su u četvorouglu   zbirovi naspramnih ivica jednaki. Postoji krug   koji dodiruje ivice   i   tog četvorougla (njegov centar je presek simetrala unutrašnjih uglova kod temena   i   četvorougla). Neka je   presek druge tangente iz tačke   kruga   i prave  . Pretpostavimo da je   . Prema već dokazanom delu teoreme važi  , pa kako je po pretpostavci  , to je  , tj.  .

Ako je tačka   između tačaka   i   ova relacija postaje  , a to je nemoguće na osnovu nejednakosti trougla. Na sličan način dolazimo do kontradikcije i u slučaju kada   nije između tačaka   i  . Dakle,  , tj. krug   dodiruje i četvrtu ivicu četvorougla  .

Neposredna posledica ove teoreme je da se u kvadrat, romb i deltoid mogu upisati krugovi.

Tetivni četvorougaoУреди

Četvorougao oko koga se može opisati krug, tj. čije su sve ivice tetive nekog kruga naziva se tetivni četvorougao. Kao što postoji kriterijum za utvrđivanje da li je četvorougao tangentni, postoji i važna teorema koja daje neophodan i dovoljan uslov da četvorougao bude tetivni.

Teorema 1. Konveksni četvorougao je tetivni ako i samo ako su njegovi naspramni uglovi suplementni.[1]:str. 103

Dokaz:

(⇒) Pretpostavimo najpre da je četvorougao   tetivni. Kako je četvorougao konveksan, temena   i   su sa raznih strana prave određene dijagonalom  . Na osnovu posledice (Periferijski uglovi kruga nad istom tetivom, čija su temena sa raznih strana prave određene tom tetivom, su suplementni), uglovi ∠  i ∠  četvorougla su suplementni.
(⇐) Pretpostavimo sada da su naspramni uglovi četvorougla   suplementni. Neka je   krug opisan oko trougla ∆ . Tada se iz četvrtog temena   tetiva   vidi pod uglom koji je suplementan uglu kod temena  , pa tačka   pripada krugu.

Teorema 2. Ako je   konveksan četvorougao i ∠ ≅∠  tada je on tetivni četvorougao.

ReferenceУреди

  1. ^ а б в г д Mitrović, Milan; Ognjanović, Srđan; Veljković, Mihailo; Petković, Ljubinka; Lazarević, Nenad (1998). Geometrija za prvi razred Matematičke gimnazije (PDF). Beograd: Krug. Приступљено 21. 6. 2018. 

LiteraturaУреди

  • Mitrović M., Ognjanović S., Veljković M., Petković Lj., Lazarević N. (1998), Geometrija za prvi razred Matematičke gimnazije, Beograd: Krug
  • Knežević J. (2013), Značajne tačke trougla, Univerzitet u Novom Sadu, master rad