Отворите главни мени

Хелмхолцова једначина је елиптична парцијална диференцијална једначина:

где представља Лапласов оператор, је таласни број, а амплитуда. Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:

ИзводУреди

Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине:

  (1)

Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:

  (2)

Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:

  (3)

Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:

  (4)

и

  (5)

Преуређујући једначину (4) добијамо:

  (6)

а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције   добија се:

 

При томе k је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.

Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивихУреди

За Хелмхолцову једначину:

  (7)

Лапласијан се у поларним координатама пише као:

 

Због тога једначина (7) постаје:

  (8)

Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:

 

гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

  (9)

и

  (10)

Решења од (9) и (10) су:

 
 

где је   Беселова функција, која је решење Беселове једначине:

 

Тродимензионално решење у сферним координатамаУреди

У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:

 

где су   и   сферне Беселове функције, а :  представља сферне хармонике.

Нехомогена Хелмхолцова једначинаУреди

Нехомогена Хелмхолцова једначина:

 

рјешава се уз помоћ Гринове функције, односно:

 

Пошто је:

 

 

онда је тродимензионална Гринова функција:

 

Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:

 

а Гринова функција као:

 

Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као:  

ЛитератураУреди

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover.1965. ISBN 978-0-486-61272-0.
  • Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill.1953. ISBN 978-0-07-043316-8.
  • Хелмхолцове једначине