Хиперболоид
Овај чланак је започет или проширен кроз пројекат семинарских радова. Потребно је проверити превод, правопис и вики-синтаксу. Када завршите са провером, допишете да након |проверено=. |
Хиперболоид је површ другог реда у , задата једначинама
- (једнограни)
- (двограни)
Када је , овакве површи се називају још и елиптички хиперболоиди. Када је , хиперболоид представља ротациону површ. Једнограни ротациони хиперболоид се може добити ротацијом хиперболе око симетрале дужи која спаја жиже, док двограни ротациони хиперболоид настаје ротацијом хиперболе око праве која пролази кроз жиже.
Канонска једначина
уредиЈеднограни хиперболоид
уредиАко се за директрисе узму хиперболе одређене једначинама
,
,
њихов пресек са равни су елипсе које се називају генератрисе. Скуп ових елипси чини једнограни хиперболоид. За тачке генеришућих елипси
,
и
елиминацијом параметара добија се канонска једначина једнограног хиперболоида
Двограни хиперболоид
уредиАко се за директрисе узму хиперболе одређене једначинама
и исте елипсе као за једнограни хиперболоид, аналогним поступком добија се канонска једначина двограног хиперболоида
.
Параметарске једначине
уредиЈеднограни хиперболоид
уредиАко се као параметри узму и онда се једнограни елиптички хиперболоид може параметризовати на више начина:
,
,
или
,
,
или
,
,
.
У случају кад је други наведени начин параметризације реализује једнограни хиперболоид ротацијом хиперболе, а трећи праве око осе.
Двограни хиперболоид
уредиПараметарска једначина двограног елиптичког хиперболоида је:
,
,
, где и .
Уопштење канонске једначине
уредиХиперболоид са центром у тачки , произвоњне оријентације, дефинише се једначином
,
где су и вектори димензије 3x1, а матрица је димензија 3x3 и мора бити регуларна и симетрична .
Сопствени вектори матрице дефинишу усмерење хиперболоида, а сопствене вредности су реципрочне вредности квадрата полуоса: .
Особине
уредиКружни једнограни хиперболоид је ротациона површ и може се добити ротацијом хиперболе око споредне полуосе. Ротацијом хиперболе око главне полуосе се добија двограни хиперболоид, који се још може описати као скуп тачака таквих да је , где су и жиже хиперболоида.
Кружни једнограни хиперболоид се такође може добити и ротацијом праве око полуосе, што значи да је он праволинијска површ, односно да се кроз сваку тачку на њему може наћи права која у потпуности припада хиперболоиду. Штавише, кроз сваку тачку на хиперболоиду се могу наћи две овакве праве.
У каконској једначини, променом вредности , хипербола се истеже у правцу одговарајућих оса. Најдрастичнија промена изгледа хиперболе се добија мењањем вредности параметра , чијим се повећавањем добија "стрмија" хипербола, док је за промену и супротно.
Гаусова кривина једнограног хиперболоида имплицитно је дата формулом:
,
а Гаусова кривина двограног хиперболоида:
,
где су , и полуосе.
Иако је Гаусова кривина двограног хиперболоида позитивна, одабиром погодне метрике он може бити модел хиперболичке геометрије.
Пресек са равни
уредиЈеднограни хиперболоид
уредиПресек једноградног хиперболоида и равни може бити:
Двоограни хиперболоид
уредиПресек двограног хиперболоида и равни може бити:
У просторима димензије веће од три
уредиУ математици виших димензија се често помињу имагинарни хиперболоиди. Ако се посматра псеудо-Еуклидски простор и полином
, за ,
део простора , где је константа, назива се хиперболоид.
Такође се овакви хиперболоиди називају и квази-сфере због сличности између сфере и хиперболоида.
Примена у грађевини
уредиЗбог особине да је једнограни хиперболоид праволинијска површ, могуће је направити грађевину овог облика помоћу равних металних шипки, док је за већину грађевина које имају закривљену структуру потребно правити закривљене градивне елементе што је далеко компликованије у смислу прецизности. Ово својство заједно са негативном Гаусовом кривином омогућава хиперболоидним грађевинама да буду стабилније и отпорније у односу на равне грађевине.
Оваква структура има доста неискористивог простора па се зато углавном користи за конструкцију торњева за хлађење, водених торњева, грађевина које треба да држе велику масу или ради естетике.
Референце
уредиЛитература
уреди- Т. Шукиловић, С. Вукмировић, Геометрија за информатичаре, Математички факултет, Београд, 2015, стране 135-136.
- Н. Блажић, Н. Бокан, З. Лучић, З. Ракић, Аналитичка геометрија, Математички факултет, Београд, 2003, стране 93—94.