Kategorija (matematika)

структура у математици
(преусмерено са Matematički objekat)
Ovo je kategorija sa kolekcijom objekata A, B, C i kolekcijom morfizama označenih f, g, g ∘ f, a petlje su strelice identiteta. Ova kategorija se tipično označava podebljavanjem 3.

U matematici, kategorija (ponekad zvana apstraktna kategorija da bi se razlikovala od konkretne kategorije) je kolekcija „objekata” koji su povezani „strelicama”. Kategorija ima dva osnovna svojstva: sposobnost asocijativnog sastavljanja strelica i postojanje strelice identiteta za svaki objekata. Jednostavni primer je kategorija skupova, čiji su objekti skupovi i čije su strelice funkcije.

Teorija kategorija je grana matematike koja nastoji da generalizuje svu matematiku u smislu kategorija, nezavisno od toga šta predstavljaju njihovi objekti i strelice. Skoro svaka grana savremene matematike može se opisati kategorijama i to često otkriva duboke uvide i sličnosti između naizgled različitih područja matematike. Kao takva, teorija kategorija pruža alternativnu osnovu za matematiku teorije skupova i druge predložene aksiomatske temelje. Generalno, objekti i strelice mogu biti apstraktni entiteti bilo koje vrste, a pojam kategorije pruža fundamentalan i apstraktan način za opisivanje matematičkih entiteta i njihovih odnosa.

Pored formalizacije matematike, teorija kategorija se takođe koristi za formalizaciju mnogih drugih sistema u računarskoj nauci, kao što je semantika programskih jezika.

Dve kategorije su iste ako imaju istu kolekciju objekata, istu kolekciju strelica i istu asocijativnu metodu sastavljanja bilo kojeg para strelica. Dve različite kategorije mogu se takođe smatrati „ekvivalentnim“ za potrebe teorije kategorija, čak i ako nemaju potpuno istu strukturu.

Dobro poznate kategorije su označene kratkom velikim rečima ili skraćenicama u zadebljanom ili kurzivom formatu: primeri uključuju Skup, kategoriju skupova i funkcije skupova; Prsten, kategoriju prstenova i homomorfizme prstenova; i Top, kategoriju topoloških prostora i kontinuiranih mapa. Sve prethodne kategorije imaju identifikacijsku mapu kao strelice identiteta i kompoziciju kao asocijativnu operaciju na strelicama.

Klasičan i još uvek često korišten tekst u teoriji kategorija je Kategorije za radnog matematičara autora Sondersa Maka Lejna. Ostale reference su date ispod u navedenoj literaturi. Osnovne definicije u ovom članku su sadržane u prvih nekoliko poglavlja bilo koje od tih knjiga.

Bilo koja mnogostrukost se može shvatiti kao posebna vrsta kategorije (sa pojedinačnim objektom čiji su samomorfizmi predstavljeni elementima monoida), a to važi iz svaki preporedak.

IstorijaУреди

Teorija kategorija se prvi put pojavila u članku sa naslovom „Opšta teorija prirodnih ekvivalencija”, koji su napisali Samjuel Ejlenberg i Sonders Mak Lejn 1945. godine[1]

DefinicijaУреди

Postoji mnogo ekvivalentnih definicija kategorije.[2] Jedna najčešće korišćena definicija je sledeća. Kategorija C se sastoji od

  • klase ob(C) objekata
  • klase hom(C) morfizama, ili strelica, ili mapa, između objekata. Svaki morfizam f ima izvorni objekat a i ciljni objekat b pri čemu su a i b u ob(C). Piše se f: ab, i čita „f je morfizam od a do b”. Piše se hom(a, b) (ili homC(a, b) kad može da postoji konfuzija u pogledu toga na koju kategoriju hom(a, b) se odnosi) da bi se označila hom-klasa svih morfizama od a do b. (Neki autori umesto toga pišu Mor(a, b) ili jednostavno C(a, b).)
  • za svaka tri objekta a, b i c, binarna operacija hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) se naziva kompozicija morfizama; kompozicija f : ab i g : bc se piše kao gf or gf. (Neki autori koriste „dijagramatski redosled”, pišući f;g ili fg.)

tako da važe sledeći aksiomi:

  • (asocijativnost) ako f : ab, g : bc i h : cd onda h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, i
  • (identitet) za svaki objekat x, postoji morfiuam 1x : xx (neki autori pišu idx) zvani morfizam identiteta za x, tako da za svaki morfizam f : ax i svaki morfizam g : xb, važi 1xf = f i g ∘ 1x = g.

Iz ovih aksioma se može dokazati da za svaki objekat postoji tačno jedan morfizam identiteta. Neki autori koriste malu varijaciju definicije u kojoj je svaki objekt identifikovan sa odgovarajućim morfizmom identiteta.

ReferenceУреди

  1. ^ S. Eilenberg and S. Mac Lane "General Theory of Natural Equivalences", Transactions of The American Mathematical Society 01/1945; 58(2):231-231. doi:10.2307/1990284
  2. ^ Barr & Wells, Chapter 1.

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди