Инфинитезимални рачун

Инфинитезимални рачун је грана математике која се бави функцијама, изводима, интегралима, лимесима и бесконачним низовима. Проучава разумевање и описивање промена мерљивих варијабли. Средишњи концепт којим се описује промена варијабле је функција. Две главне гране су диференцијални рачун и интегрални рачун. Инфинитезимални рачун је основа математичке анализе. Користи се у науци, економији, инжењерству итд. Служи за решавање многих математичких проблема, који се не могу решити алгебром или геометријом. Инфинитезимални рачун се на латинском језику каже „calculus infinitesimalis" и из тога је произашао назив „калкулус", који се користи у једном делу света. Реч „infinitesimalis" значи "бескрајно мала величина".

Инфинитезимални рачун су независно развили крајем 17. века Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц. Каснији рад, укључујући кодификацију идеје о границама, ставио је овај развој на чвршће концептуалне основе. Данас, рачун има широку употребу у науци, инжењерству и друштвеним наукама.

Историја

Исак Њутн

Готфрид Вилхелм Лајбниц

У античком раздобљу било је идеја сличних инфинитезималном рачуну. Египћани су рачунали запремину зарубљене пирамиде. Грци Еудокс и Архимед користили су методу исцрпљивања којом се површина неког облика израчунава тако што се у њега убацује низ многоуглова чије површине конвергирају према површини целог облика. Ту методу користио је и Кинез Лиу Хуи у 3. веку, да би израчунао површину круга. У 5. веку Чу Чунгџи користио је методу која ће касније бити названа Кавалијеријев принцип за запремину лопте.

Године 499. индијски математичар Ариабхата I. је рачунао инфинитезималаним рачуном и записао астрономски проблем у облику диференцијалне једначине. На основу те једначине је у 12. веку Бхаскара развио неку врсту извода. Око 1000. године Ибн ал-Хаитам је осмислио формулу за све врсте четвртих степена и тиме припремио пут за интегрални рачун. У 12. веку персијски математичар Шараф ал-Дин ал-Туси открио је правило за одвајање кубног полинома. У 17. веку јапански математичар Шинсуке Секи Кова дошао је до основних спознаја инфинитезималног рачуна.

Инфинитезимални рачун открили су независно један од другог у отприлике исто време Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц. Они су открили законе диференцијалног и интегралног рачуна, извода (деривације) и апроксимација полиномних низова. Њихов рад наставили су математичари Огистен Луј Коши, Бернхард Риман, Карл Вајерштрас, Хенри Лион Лебеск и др.

Древни претходници

Египат

Прорачун запремине и површине, један од циљева интегралног рачуна, може се наћи у египатском московском папирусу (око 1820 пне), али формуле су једноставна упутства, без назнака како су добијене.

Главна поглавља

Извод

Извод (деривација) функције $f$ је гранична вредност коефицијента пораста функције и прираста аргумента када прираст аргумента тежи нули.

Интеграл

За дату функцију f(x) реалне променљиве x и интервал [a,b] на правцу реалних бројева, интеграл

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

представља површину подручја у равни xy ограниченог графом од f, x-осом и вертикалним цртама x=а и x=б.

Лимес

Поглавље лимеса функције развило се из проблема како израчунати вредност функције у случајевима када функција није добро дефинисана, нпр. дељење нулом. Лимес функције f у тачки a је број коме се придружује функцијска вредност f(x), када вредност x тежи a.

$\lim _{x\to a}f(x)$

нпр.

$\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}\ =1$

Својства лимеса

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}$

Погледајте још

• Лајбниц-Њутн рачунска контроверза

Литература

• МцQуаррие, Доналд А. (2003). Матхематицал Метходс фор Сциентистс анд Енгинеерс. Университy Сциенце Боокс. ИСБН 978-1-891389-24-5. 
• Стеwарт, Јамес (2008). Цалцулус: Еарлy Трансценденталс. 6тх ед., Броокс Цоле Ценгаге Леарнинг. ИСБН 978-0-495-01166-8. 
• Роберт А. Адамс. 1999. ISBN 978-0-201-39607-2.. Цалцулус: А цомплете цоурсе.
• Јохн Лане Белл (1998). А Пример оф Инфинитесимал Аналyсис. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-62401-5.  Усес сyнтхетиц дифферентиал геометрy анд нилпотент инфинитесималс.
• Тхомас/Финнеy. 1996. ISBN 978-0-201-53174-9.. Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
• Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Crowell, B. (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
• Гарретт, П. (2006). "Нотес он фирст yеар цалцулус" Университy оф Миннесота., Приступљено 6. 5. 2007. фром http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
• Фараз, Х. (2006). "Ундерстандинг Цалцулус", Приступљено 6. 5. 2007. фром Ундерстандинг Цалцулус, УРЛ http://www.understandingcalculus.com/ (ХТМЛ онлy)
• Мауцх, С. (2004). "Сеан'с Апплиед Матх Боок" Цалифорниа Институте оф Тецхнологy., Приступљено 6. 5. 2007. фром https://web.archive.org/web/20070614183657/http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
• Слоугхтер, Дан (2000). "Дифференце Еqуатионс то Дифферентиал Еqуатионс: Ан интродуцтион то цалцулус"., Приступљено 17. 3. 2009. фром http://synechism.org/drupal/de2de/
• Строyан, К.D. (2004). "А бриеф интродуцтион то инфинитесимал цалцулус" Университy оф Иоwа., Приступљено 6. 5. 2007. фром https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (ХТМЛ онлy)
• Странг, Г. (1991). "Цалцулус" Массацхусеттс Институте оф Тецхнологy., Приступљено 6. 5. 2007. фром http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
• Смитх, Wиллиам V. (2001). "Тхе Цалцулус", Приступљено 4. 7. 2008. [1] Архивирано на сајту Wayback Machine (30. октобар 2017) (HTML only).}-
• Albers, Donald J.; Anderson, Richard D.; Loftsgaarden, Don O., ур. (1986). Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985–1986 Survey. Mathematical Association of America. 
• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2002). Calculus. John Wiley and Sons Pte. Ltd. ISBN 978-81-265-1259-1. 
• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1. 
• Apostol, Tom M. (1969). Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5. 
• Boelkins, M. (2012). Active Calculus: a free, open text (PDF). Архивирано из оригинала 30. 5. 2013. г. Приступљено 1. 2. 2013. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Boyer, Carl Benjamin (1959) [1949]. The History of the Calculus and its Conceptual Development (Dover изд.). Hafner. ISBN 0-486-60509-4. 
• Cajori, Florian (септембар 1923). „The History of Notations of the Calculus”. Annals of Mathematics. 2nd Series. 25 (1): 1—46. JSTOR 1967725. doi:10.2307/1967725. hdl:2027/mdp.39015017345896 . CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Courant, Richard (3. 12. 1998). Introduction to calculus and analysis 1. ISBN 978-3-540-65058-4. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Gonick, Larry (2012). The Cartoon Guide to Calculus. William Morrow. ISBN 978-0-061-68909-3. OCLC 932781617. 
• Keisler, H.J. (2000). Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Retrieved 29 August 2010 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Архивирано 1 мај 2011 на сајту Wayback Machine
• Ландау, Едмунд (2001). Дифферентиал анд Интеграл Цалцулус. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 0-8218-2830-4. 
• Лебедев, Леонид П.; Цлоуд, Мицхаел Ј. (2004). „Тхе Тоолс оф Цалцулус”. Аппроxиматинг Перфецтион: а Матхематициан'с Јоурнеy инто тхе Wорлд оф Мецханицс. Принцетон Университy Пресс. Бибцоде:2004апмј.боок.....L. 
• Ларсон, Рон; Едwардс, Бруце Х. (2010). Цалцулус (9тх изд.). Броокс Цоле Ценгаге Леарнинг. ИСБН 978-0-547-16702-2. 
• Пицковер, Цлифф (2003). Цалцулус анд Пизза: А Матх Цоокбоок фор тхе Хунгрy Минд. ИСБН 978-0-471-26987-8. 
• Салас, Сатурнино L.; Хилле, Еинар; Етген, Гаррет Ј. (2007). Цалцулус: Оне анд Северал Вариаблес (10тх изд.). Wилеy. ИСБН 978-0-471-69804-3. 
• Спивак, Мицхаел (септембар 1994). Цалцулус. Публисх ор Перисх публисхинг. ИСБН 978-0-914098-89-8. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Стеен, Лyнн Артхур, ур. (1988). Цалцулус фор а Неw Центурy; А Пумп, Нот а Филтер. Матхематицал Ассоциатион оф Америца. ИСБН 0-88385-058-3. 
• Тхомас, Георге Бринтон; Финнеy, Росс L.; Wеир, Маурице D. (1996). Цалцулус анд Аналyтиц Геометрy, Парт 1. Аддисон Wеслеy. ИСБН 978-0-201-53174-9. 
• Тхомас, Георге Б.; Wеир, Маурице D.; Хасс, Јоел; Гиордано, Франк Р. (2008). Цалцулус (11тх изд.). Аддисон-Wеслеy. ИСБН 978-0-321-48987-6. 
• Тхомпсон, Силванус П.; Гарднер, Мартин (1998). Цалцулус Маде Еасy. ИСБН 978-0-312-18548-0. 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Цалцулус”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Calculus”. MathWorld. 
• Topics on Calculus at PlanetMath.org.
• Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
• Calculus on In Our Time at the BBC. (listen now)
• Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• The Role of Calculus in College Mathematics Архивирано на сајту Wayback Machine (26. јул 2021) фром ЕРИЦДигестс.орг
• ОпенЦоурсеWаре Цалцулус фром тхе Массацхусеттс Институте оф Тецхнологy
• Инфинитесимал Цалцулус – ан артицле он итс хисторицал девелопмент, ин Енцyцлопедиа оф Матхематицс, ед. Мицхиел Хазеwинкел.
• Даниел Клеитман, МИТ. „Цалцулус фор Бегиннерс анд Артистс”. 
• Цалцулус траининг материалс ат имоматх.цом Архивирано на сајту Wayback Machine (9. јул 2023)
• Тхе Еxцурсион оф Цалцулус, 1772