Berova teorema o kategoriji

Berova teorema o kategoriji je važan stav u opštoj topologiji i funkcionalnoj analizi. Ona opisuje prostore koji su u izvesnom smislu „dovoljno veliki“ da omogućavaju određene granične procese. Konkretno, u jednom od osnovnih oblika, teorema tvrdi da kompletni metrički prostori ne mogu predstavljeni kao unija prebrojivo mnogo nigde gustih skupova.

Teorema nosi ime Renea Luja Bera, koji ju je dokazao 1899. za slučaj euklidskog prostora $\mathbb {R} ^{n}$.

Iskaz

Berova teorema za kompletne metričke prostore glasi: Neka je $(X,d)$ kompletan metrički prostor i $\left(U_{n}\right)_{n\in {\mathbb {N} }}$ niz otvorenih skupova svuda gustih u X. Tada je i $\cap _{n\in {\mathbb {N} }}U_{n}$ svuda gust u X.

Opštije, za topološki prostor $(X,{\mathcal {U}})$, za skup $M\subseteq X$ kažemo da je prve kategorije u X, ukoliko postoji niz nigde gustih skupova $(M_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$, takvih da je $M=\cup _{n\in {\mathbb {N} }}M_{n}$. Za M kažemo da je druge kategorije u X, ako nije prve kategorije u X. (Za skup $Y\subseteq X$ kažemo da je nigde gust ako njegovo zatvorenje ${\bar {Y}}$ u X ne sadrži nijedan neprazan otvoren podskup od X.)

Gornji iskaz se tada može preformulisati (prelaskom na zatvorenja i primenom de Morganovih pravila) ovako:

Svaki neprazan kompletan metrički prostor je druge kategorije u sebi samom.

Još neki ekvivalentni načini da se iskaže svojstvo druge kategorije:

• Unija prebrojivo mnogo zatvorenih skupova prazne unutrašnjosti ima praznu unutrašnjost.
• Ako unija prebrojivo mnogo zatvorenih podskupova ima unutrašnju tačku, onda je mora imati i jedan od datih podskupova.

Kako je Berova teorema o kategoriji iskaz koji se tiče isključivo topoloških svojstava prostora, ona važi i za sve topološke prostore homeomorfne nekom nepraznom kompletnom metričkom prostoru (ili, opštije, homeomorfne nepraznom otvorenom podskupu kompletnog pseudometričkog prostora). Postoji puno drugih dovoljnih uslova da bi prostor bio druge kategorije. Pod imenom Berova teorema o kategoriji poznat je i sledeći iskaz:

Svaki neprazan lokalno kompaktan Hausdorfov prostor je druge kategorije u sebi samom.

Dokaz

Dokaz za slučaj lokalno kompaktnog prostora: Neka su $\left(U_{n}\right)_{n\in {\mathbb {N} }}$ svuda gusti otvoreni skupovi u X. Potrebno je dokazati da je za proizvoljan otvoren skup V ⊂ X

$V\cap \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}\neq \emptyset$.

Kako je U₁ svuda gust, V ∩ U₁ je nepreazan otvoren skup. Prema svojstvu lokalne kompaktnosti i T₂ (Hausdorfovo svojstvo) u okolini jedne njegove (proizvoljno odabrane) tačke možemo naći kompaktnu okolinu F₁ ⊂ V ∩ U₁. Kako je U₂ svuda gust, i skup U₂ ∩ int F₁ je neprazan otvoren skup, te oko neke njegove tačke možemo naći neku kompaktnu okolinu F₂ ⊂ U₂ ∩ int F₁. Nastavljajući ovaj proces dobijamo niz nepraznih kompaktnih skupova

F₁ ⊃ F₂ ⊃ ... ⊃ F_n ⊃ ...

pri čemu je $F_{n}\subset V\cap \left(\cap _{i=1}^{n}U_{i}\right)$. Kompaktni skupovi F_n imaju neprazan presek F (unija njihovih komplemenata F₁ \ F_n ne može biti ceo kompaktan skup F₁ jer bi onda to bila i neka njihova konačna unija, što je suprotno sa F_n ≠ ∅), što dokazuje našu tvrdnju obzirom na $F\subset V\cap \left(\cap _{i=1}^{\infty }U_{i}\right)$.

Dokaz za slučaj kompletnog metričkog prostora teče analogno. Možemo naći niz zatvorenih kugli B_n(x_n,r_n) tako da B₁ ⊂ V ∩ U₁, r_n → 0, B_n ⊂ U_n ∩ int B_n−1 i

B₁ ⊃ B₂ ⊃ ... ⊃ B_n ⊃ ...

Posebno, kako je | x_n+p − x_n | < r_n, niz (x_n) je Košijev, te konvergira ka nekom x. Prelaskom na graničnu vrednost kada p → 0 u prethodnoj nejednakosti sledi da

$x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}\subset V\cap \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}$.

Primeri i diskusija

Nijedan od ovih iskaza ne povlači drugi. Prostori druge kategorije u samima sebi se ponekad nazivaju i Berovim prostorima. Takvi su, na primer, prema gornjim teoremama, skup realnih brojeva $\mathbb {R}$ i svi euklidski prostori $\mathbb {R} ^{n}$ ili svaka mnogostrukost. Skup celih brojeva ${\mathbb {Z} }$ je (isprazno) druge kategorije, jer je svaki podskup u njegovoj diskretnoj topologiji otvoren. Skup racionalnih brojeva ${\mathbb {Q} }$, iako takođe prebrojiv, je međutim prve kategorije u uobičajenoj topologiji nasleđenoj iz ${\mathbb {R} }$. Kantorov skup jeste Berov (druge kategorije u sebi samom), ali je prve kategorije kao podskup intervala [0,1].

Dokaz Berove teoreme o kategoriji nužno koristi neki oblik aksiome izbora. Činjenica da je svaki kompletan pseudometrički prostor druge kategorije u sebi samom je ekvivalentna tzv. aksiomi zavisnog izbora, slabijem obliku aksiome izbora dovoljnom za razvoj najvećeg dela realne analize.

Berove kategorije nisu povezane sa teorijom kategorija, granom matematičke logike koja izučava kategorije, osnovne strukture tzv. "apstraktnog besmisla".

Primene

Berova teorema o kategoriji je od izuzetnog značaja u funkcionalnoj analizi, gde je osnova za dokaz teoreme o otvorenom preslikavanju, teoreme o zatvorenom grafiku i teoreme Banaha-Štajnahusa (principa ravnomerne ograničenosti).

Jednostavan primer

Svaki realan vektorski prostor ima bazu (u smislu linearne algebre): ovo važi za sve vektorske prostore i sledi iz teoreme o dobrom uređenju (jedan od ekvivalenata aksiome izbora). Pomoću Berove teoreme o kategoriji možemo dokazati da beskonačno-dimenzion realan vektorski prostor ne može imati prebrojivu bazu. Pretpostavimo suprotno, da je $\{b_{n}\}_{n\in {\mathbb {N} }}$ prebrojiva baza prostora V. Označimo $V_{n}=\mathrm {span} \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$. Kao konačno-dimenzioni prostori, $V_{n}$ su zatvoreni podskupovi od V. Međutim, nijedan od njih ne može sadržati nijednu kuglu (u V), jer bi to povlačilo $V_{n}=V$, suprotno pretpostavci da je V beskonačne dimenzije. Prema tome su $V_{n}$ nigde gusti skupovi i prema Berovoj teoremi $\{b_{n}\}_{n\in {\mathbb {N} }}$ nije moguće. Ovaj argument važi u svakom Banahovom prostoru.

Poređenje sa teorijom mere

U kontekstu Berovih kategorija, prostori prve kategorije igraju ulogu „malih“. Drugi pojam „malih“ skupova daje teorija mere. Na primer, prostor ${\mathbb {R} }^{n}$ ne može biti predstavljen kao unija prebrojivo mnogo skupova Lebegove mere nula, ili kao unija prebrojivo mnogo skupova Hausdorfove mere nula. I mnoga druga tvrđenja iz teorije mere važe u teoriji kategorija. Međutim, ovi pojmovi opisuju različita svojstva prostora i ne slažu se uzeti zajedno; na primer, skup ${\mathbb {R} }$ se može predstaviti kao unija jednog nigde gustog skupa (dakle prve kategorije) i jednog skupa Lebegove mere nula. Primer je skup

$\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-{\frac {1}{2^{n+m}}},r_{n}+{\frac {1}{2^{n+m}}}\right)$

gde je $\{r_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ niz svih racionalnih brojeva (koji sami čine prebrojiv skup), za koji se lako proverava da je druge kategorije u $\mathbb {R}$, ali Lebegove mere nula.