Velika kružnica

Velika kružnica, takođe poznata kao ortodrom, sfere (lopte) je kružnica koja se dobija presekom sfere sa ravni koja prolazi kroz njen centar. Poluprečnik velike kružnice sfere jednak je poluprečniku sfere na kojoj ona leži. Kroz svake dve tačke sfere koje nisu krajevi njenog prečnika prolazi samo jedna velika kružnica sfere. Bilo koje dve velike kružnice sfere seku se u dvema dijametralno suprotnim tačkama sfere. Velika kružnica je najveći krug koji se može nacrtati na bilo kojoj datoj sferi. Bilo koji prečnik bilo koje velike kružnice poklapa se sa prečnikom sfere, te stoga sve velike kružnice imaju isto središte i obim jedna sa drugom. Ovaj poseban slučaj kružnice sfere je u suprotnosti sa malom kružnicom, odnosno presekom sfere i ravni koja ne prolazi kroz centar. Svaki krug u Euklidskom 3-prostoru je veliki krug tačno jedne sfere.

Velika kružnica deli sferu na dve jednake hemisfere

Za većinu parova različitih tačaka na površini sfere postoji jedinstvena velika kružnica kroz dve tačke. Izuzetak je par antipodnih tačaka, za koje postoji beskrajno mnogo velikih krugova. Mali luk velikog kruga između dve tačke je najkraći površinski put između njih. U tom smislu, mali luk je analogan „pravim linijama“ u Euklidskoj geometriji. Dužina manjeg luka velikog kruga uzima se kao rastojanje između dve tačke na površini sfere u Rimanskoj geometriji gde se takve velike kružnice nazivaju Rimanovskim kružnicama. Ove velike kružnice su geodezici sfere.

Disk omeđen velikom kružnicom naziva se veliki disk: to je presek lopte i ravni koja prolazi kroz njeno središte. U višim dimenzijama, velike kružnice na n-sferi presek su n-sfere i 2-ravni koje prolaze kroz koordinatni početak u Euklidskom prostoru R^{n + 1}.

Izvođenje najkraćih staza

Vidi još: Rastojanje velike kružnice

Da bi se dokazalo da je manji luk velikog kruga najkraći put koji povezuje dve tačke na površini sfere, na njega se može primeniti varijacioni račun.

Razmotrimo klasu svih pravilnih putanja od tačke $p$ do druge tačke $q$. Mogu se uvesti sferne koordinate tako da se $p$ poklapa sa severnim polom. Bilo koja kriva na sferi koja ne preseca nijedan pol, osim možda na krajnjim tačkama, može se parametrizovati pomoću

$\theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b$

pod uslovom da se dopusti da $\phi$ poprimi proizvoljne realne vrednosti. Infinitezimalna dužina luka u ovim koordinatama je

$ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.$

Stoga, dužina krive $\gamma$ od $p$ do $q$ je funkcional kriva data sa

$S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.$

Prema Ojler-Lagranžovoj jednačini, $S[\gamma ]$ je minimizovan ako i samo ako

${\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C$,

pri čemu je $C$ konstanta nezavisna od $t$, i

${\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.$

Iz prve od ove dve jednačine se može se dobiti da

$\phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}$.

Integrišući obe strane i uzimajući u obzir granični uslov, realno rešenje za $C$ je nula. Stoga,$\phi '=0$ i $\theta$ mogu biti bilo koje vrednosti između 0 i $\theta _{0}$, što znači da kriva mora ležati na meridijanu sfere. U kartezijanskim koordinatama ovo je

$x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0$

što je ravan kroz koordinatni početak, tj. centar sfere.

Primene

Neki primeri velikih krugova na nebeskoj sferi uključuju nebeski horizont, nebeski ekvator, i ekliptiku. Velike kružnice se takođe koriste kao prilično precizne aproksimacije geodezika na površini Zemlje za vazdušnu ili morsku navigaciju (iako to nije savršena sfera), kao i za sferoidna nebeska tela.

Ekvator idealizovane zemlje je veliki krug i svaki meridijan i njegov suprotni meridijan čine veliki krug. Još jedan veliki krug je onaj koji deli kopnenu i vodenu hemisferu. Velika kružnica deli zemlju na dve hemisfere i ako velika kružnica prolazi kroz tačku ona mora proći kroz antipodalnu tačku.

Fankova transformacija integriše funkciju duž svih velikih krugova sfere.

Vidi još

• Rastojanje velike kružnice
• Navigacija velike kružnice
• Loksodroma

Literatura

• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] izd.). New York: Dover Publications. str. 50–62. ISBN 0-486-20630-0. 
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley. 
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] izd.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman. 
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. 
• Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press. 
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press. 
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8. 
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces). 
• Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapter 14: The Hypersphere). 
• Marsaglia, G. (1972). „Choosing a Point from the Surface of a Sphere”. Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645—646. doi:10.1214/aoms/1177692644. 
• Huber, Greg (1982). „Gamma function derivation of n-sphere volumes”. Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301—302. JSTOR 2321716. MR 1539933. doi:10.2307/2321716. 
• Barnea, Nir (1999). „Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction”. Phys. Rev. A. 59 (2): 1135—1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135. 
• Tarasashvili MV, Sabashvili ShA, Tsereteli SL, Aleksidze NG (26. 3. 2013). „New model of Mars surface irradiation for the climate simulation chamber 'Artificial Mars'”. International Journal of Astrobiology. 12 (2): 161—170. Bibcode:2013IJAsB..12..161T. doi:10.1017/S1473550413000062. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• „Equal length of day and night on Saturn: the start of spring in the northern hemisphere”. German Aerospace Center. Pristupljeno 1. 2. 2021. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

Spoljašnje veze

• Great Circle – from MathWorld Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Great Circles on Mercator's Chart by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project.
• Navigational Algorithms Архивирано на сајту Wayback Machine (16. октобар 2018) Paper: The Sailings.
• Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.