Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je jedna od najvažnijih funkcija u matematici. Ona ima oblik $f(x)=ab^{x},$ , gde je $b$ pozitivni realni broj, i u kome se argument $x$ javlja kao eksponent. Za realne brojeve $c$ i $d,$ funkcija oblika $f(x)=ab^{cx+d}$ je isto tako eksponencijalna funkcija, jer se može napisati kao $ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}$ . Osim ako nije drugačije naznačeno, termin se generalno odnosi na funkciju pozitivne vrednosti realne promenljive, iako se može proširiti na kompleksne brojeve ili generalizovati na druge matematičke objekte kao što su matrice ili Lijeve algebre. Eksponencijalna funkcija je nastala iz pojma eksponencijacije (ponovljeno množenje), ali moderne definicije (postoji nekoliko ekvivalentnih karakterizacija) dozvoljavaju da se rigorozno proširi na sve realne argumente, uključujući iracionalne brojeve. Njena sveprisutna pojava u čistoj i primenjenoj matematici navela je matematičara Valtera Rudina na mišljenje da je eksponencijalna funkcija „najvažnija funkcija u matematici“.^[1]^[2]

Kao funkcije realne promenljive, eksponencijalne funkcije su jedinstveno okarakterisane činjenicom da je brzina rasta takve funkcije (tj. njenog derivata) direktno proporcionalna vrednosti funkcije. Konstanta proporcionalnosti ovog odnosa je prirodni logaritam baze $b$ :

{\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.

Za $b = 1$ realna eksponencijalna funkcija je konstanta i njen izvod je nula, jer je $\log _{e}b=0,$ za pozitivno $a$ i $b > 1$ realne eksponencijalne funkcije su monotono rastuće (kao što je prikazano za $b = e$ i $b = 2$ ), jer je izvod veći od nule za sve argumente, i za $b < 1$ one su monotono opadajuće (kao što je prikazano za $b = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2$ ), jer je izvod manji od nule za sve argumente.

Prirodna eksponencijalna funkcija se označava se kao exp(x) ili e^x, pri čemu je $e = 2.71828...$ , što je zapravo Neperova konstanta, osnova prirodnog logaritma. Izvod ove funkcije je ona sama:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}.

Eksponencijalna funkcija je realna funkcija jedne promenljive, definisana za sve realne brojeve, koja je uvek pozitivna i rastuća. Nikada ne dodiruje x-osu, mada joj je x-osa jedina asimptota. Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, je definisana samo za pozitivne vrednosti promenljive x.

Budući da promena baze eksponencijalne funkcije samo dovodi do pojave dodatnog konstantnog faktora, računski je pogodno redukovati proučavanje eksponencijalnih funkcija u matematičkoj analizi na proučavanje ove određene funkcije, konvencionalno zvane „prirodna eksponencijalna funkcija”,^[3]^[4] ili jednostavno, „eksponencijalna funkcija” i označava se sa

x\mapsto e^{x}

or

x\mapsto \exp(x).

Dok su obe oznake uobičajene, prva notacija se obično koristi za jednostavnije eksponente, dok se druga oznaka obično koristi kada je eksponent komplikovan izraz.

Eksponencijalna funkcija zadovoljava fundamentalni identitet množenja

e^{x+y}=e^{x}e^{y},

for all

x,y\in \mathbb {R} .

Ovaj identitet obuhvata kompleksne eksponenata. Može se pokazati da je svako kontinuirano, nenulto rešenje funkcijske jednačine $f(x+y)=f(x)f(y)$ eksponencijalna funkcija, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto b^{x},$ with $b>0.$ Fundamentalni multiplikativni identitet, zajedno sa definicijom $e$ kao $e 1$ , pokazuje da je $e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ terms}}}$ za prirodne brojeve $n$ i povezuje eksponencijalnu funkciju sa elementarnim pojmom eksponencijacije. Argument eksponencijalne funkcije može biti bilo koji realni ili kompleksni broj ili potpuno drugačija vrsta matematičkog objekta (na primer, matrica).

Njena sveprisutna pojava u čistoj i primenjenoj matematici navela je matematičara V. Rudina na mišljenje da je eksponencijalna funkcija „najvažnija funkcija u matematici”.^[1] U primenjenim situacijama, eksponencijalne funkcije modeluju odnos u kojem konstantna promena u nezavisnoj promenljivoj daje istu proporcionalnu promenu (tj. procentualno povećanje ili smanjenje) u zavisnoj promenljivoj. Ovo je široko zastupljeno u prirodnim i društvenim naukama; stoga se eksponencijalna funkcija pojavljuje u mnoštvu različitih konteksta unutar fizike, hemije, inženjerstva, matematičke biologije i ekonomije.

Grafikon funkcije $y=e^{x}$ je nagnut nagore, i povećava se brže sa porastom $x$ . Grafikon uvek leži iznad $x$ -ose, ali može biti proizvoljno blizu negativnog $x$ ; stoga je $x$ -osa horizontalna asimptota. Nagib tangente na grafikonu u svakoj tački jednak je njenoj $y$ -koordinati u toj tački, kao što sledi iz njene funkcije izvoda (vidi gore). Njena inverzna funkcija je prirodni logaritam, označen sa $\log ,$ ^[5] $\ln ,$ ^[6] ili $\log _{e};$ zbog toga, neki stari tekstovi^[7] navode eksponencijalnu funkciju kao antilogaritam.

Formalna definicija uredi

Eksponencijalna funkcija (u plavom), i suma prvih

n + 1

članova njene serija (u crvenom).

Eksponencijalna funkcija e^x može se definisati na dosta ekvivalentnih načina, preko beskonačnih redova. Određenije, može se definisati preko stepenih redova:^[1]

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

U ovim definicijama, $n!$ označava faktorijel broja n, a x je ili proizvoljan realan broj, kompleksan broj, element Banahove algebre (na primer, kvadratna matrica). Pošto je radijus konvergencije ovih stepenih redova beskonačan, ova definicija je zapravo primenljiva na sve kompleksne brojeve $z\in \mathbb {C}$ (pogledajte dole za proširenje $\exp(x)$ na kompleksnu ravan). Konstanta $e$ se tada može definisati kao ${\textstyle e=\exp(1)=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!).}$

Diferencijacija član po član ovog stepenog reda pokazuje da je $(d/dx)(\exp x)=\exp x$ za svako realno $x$ , što dovodi do još jedne zajedničke karakterizacije $\exp(x)$ kao jedinstvenog rešenja diferencijalne jednačine

y'(x)=y(x),

zadovoljavajući inicijalni uslov $y(0)=1.$

Na osnovu ove karakterizacije, pravilo lanca^[8]^[9] pokazuje da njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, zadovoljava $(d/dy)(\log _{e}y)=1/y$ za $y>0,$ ili ${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$ Ova relacija dovodi do manje uobičajene definicije realne eksponencijalne funkcije $\exp(x)$ kao rešenja po $y$ jednačine

x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.

Pomoću binomne teoreme i definicije stepenog reda, eksponencijalna funkcija se takođe može definisati kao sledeći limit:^[10]

e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.

Svojstva uredi

Upotrebom prirodnog logaritma, može se definisati nešto generalnija eksponencijalna funkcija. Funkcija

\!\,a^{x}=e^{x\ln a}

definisana za svako a > 0, i za svaki realan broj x se naziva eksponencijalna funkcija za osnovu a.

Primetimo da gornja jednakost važi za a = e, pošto je

\!\,e^{x\ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^{x}.

Eksponencijalne funkcije „sjedinjuju“ sabiranje i množenje, što se vidi sledećim eksponencijalnim zakonima:

\!\,a^{0}=1

\!\,a^{1}=a

\!\,a^{x+y}=a^{x}a^{y}

\!\,a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}

\!\,{1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}

\!\,a^{x}b^{x}=(ab)^{x}

Gornje važi za sve pozitivne realne brojeve a i b, i za sve realne brojeve x i y. Izrazi koji uključuju razlomke i korenovanje često mogu biti uprošćeni korišćenjem eksponencijalne notacije jer:

{1 \over a}=a^{-1}

i, za svako a > 0, realan broj b, i ceo broj n > 1:

{\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}

Za svaku realnu konstantu c važi:

f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{ch}-1}{h}}=c

za $f(x)=e^{ch}$

Izvodi i diferencijalne jednačine uredi

Značaj eksponencijalne funkcije u matematici i nauci uopšte uglavnom potiče od svojstava njenog izvoda. Konkretnije,

{d \over dx}e^{x}=e^{x}

Vidi se da je e^x izvod samom sebi, što je jedinstveno svojstvo među svim realnim funkcijama. Drugi načini da se kaže isto ovo uključuju:

Nagib grafika eksponencijalne funkcije u bilo kojoj tački jednak je vrednosti funkcije u toj tački.
Stopa porasta eksponencijalne funkcije u tački x jednaka je vrednosti funkcije u toj tački.
Eksponencijalna funkcija je rešenje diferencijalne jednačine $y'=y$ .

Zapravo, ogroman broj diferencijalnih jednačina ima rešenje u eksponencijalnim funkcijama, uključujući Šredingerovu jednačinu i Laplasovu jednačinu, kao i jednačine prostog harmonijskog kretanja.

Za eksponencijalne funkcije ostalih osnova važi:

{d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}

Prema tome, svaka eksponencijalna funkcija je konstantni umnožak sopstvenog izvoda.

Ukoliko je rast ili opadanje promenljive proporcionalno njenoj veličini – kao u slučaju neograničenog rasta stanovništva, radioaktivnog raspada, složene kamate – onda se ta promenljiva može pisati kao konstanta pomnožena eksponencijalnom funkcijom vremena.

Dalje, za bilo koju diferencijabilnu funkciju f(x) važi:

{d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}

Numerička vrednost uredi

Da bismo dobili numeričku vrednost eksponencijalne funkcije, beskonačni red možemo napisati kao:

e^{x}={1 \over 0!}+x\,\left({1 \over 1!}+x\,\left({1 \over 2!}+x\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)

=1+{x \over 1}\left(1+{x \over 2}\left(1+{x \over 3}\left(1+\cdots \right)\right)\right)

Ovaj izraz brzo konvergira ukoliko je x manje od 1.

Da bismo ovo ostvarili, možemo iskoristiti sledeću jednakost.

$e^{x}\,$	$=e^{z+f}\,$
	$=e^{z}\times \left[{1 \over 0!}+f\,\left({1 \over 1!}+f\,\left({1 \over 2!}+f\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)\right]$

gde je $z$ ceo deo od $x$
gde je $f$ deo iza pokretnog zareza od $x$
sledi, $f$ je uvek manje od 1 i zbir $f$ i $z$ daje $x$ .

Vrednost konstante e^z se može prethodno izračunato množeći e samim sobom z puta.

Na kompleksnoj ravni uredi

Kada se posmatra kao funkcija kompleksne promenljive, eksponencijalna funkcija zadržava svoja bitna svojstva:

\!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}

\!\,e^{0}=1

\!\,e^{z}\neq 0

\!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}

za svako z i w.

Ovakva eksponencijalna funkcija je holomorfna, sa imaginarnom periodom $2\pi i$ i može se napisati i kao:

\!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)

gde su a i b realni brojevi. Ova formula povezuje eksponencijalnu funkciju sa trigonometrijskim funkcijama i hiperboličkim funkcijama. Ovim se vidi da se sve elementarne funkcije osim polinomijalnih potomci eksponencijalne funkcije u jednom ili drugom smislu.

Pogledajte i Ojlerovu formulu.

Matrice i Banahova algebra uredi

Definicija eksponencijalne funkcije data iznad može se koristiti i za svaku Banahovu algebru, i određenije za kvadratne matrice. U ovom slučaju imamo:

\ e^{x+y}=e^{x}e^{y}{\mbox{ if }}xy=yx

\ e^{0}=1

\ e^{x}

ima inverz i on je

\ e^{-x}

izvod

\ e^{x}

u tački

\ x

je ona matrica koja preslikava

\ u

u

\ ue^{x}

.

Reference uredi

^ ^a ^b ^v Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. str. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.
^ Weisstein, Eric W. „Exponential Function”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-28.
^ Goldstein, Lay; Schneider, Asmar (2006). Brief calculus and its applications (11th izd.). Prentice–Hall. ISBN 978-0-13-191965-5.
^ Courant; Robbins (1996). Stewart, ur. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd revised izd.). Oxford University Press. str. 448. ISBN 978-0-13-191965-5. „This natural exponential function is identical with its derivative. This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications…”
^ In pure mathematics, the notation $log x$ generally refers to the natural logarithm of $x$ or a logarithm in general if the base is immaterial.
^ The notation $ln x$ is the ISO standard and is prevalent in the natural sciences and secondary education (US). However, some mathematicians (e.g., Paul Halmos) have criticized this notation and prefer to use $log x$ for the natural logarithm of $x$ .
^ Converse; Durrell (1911). Plane and spherical trigonometry. C. E. Merrill Co. str. 12. „Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm) ...”
^ Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). „A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule”. The Mathematics Enthusiast. 7 (2): 321—332. S2CID 29739148. doi:10.54870/1551-3440.1191  . Pristupljeno 2019-08-04.
^ Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). „A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule”. The Mathematics Enthusiast. 7 (2): 321—332. S2CID 29739148. doi:10.54870/1551-3440.1191  . Pristupljeno 2019-08-04.
^ Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.

Literatura uredi

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition (McGraw–Hill, 1976), chapter 8.
Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis (Springer, 1965).

Spoljašnje veze uredi

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Exponential function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
„Complex exponential function”. PlanetMath.
„Derivative of exponential function”. PlanetMath.
Weisstein, Eric W. „Exponential Function”. MathWorld.

[rudin-1] v Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. str. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.

[:0-2] Weisstein, Eric W. „Exponential Function”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-28.

[3] Goldstein, Lay; Schneider, Asmar (2006). Brief calculus and its applications (11th izd.). Prentice–Hall. ISBN 978-0-13-191965-5.

[4] Courant; Robbins (1996). Stewart, ur. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd revised izd.). Oxford University Press. str. 448. ISBN 978-0-13-191965-5. „This natural exponential function is identical with its derivative. This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications…”

[5] In pure mathematics, the notation $log x$ generally refers to the natural logarithm of $x$ or a logarithm in general if the base is immaterial.

[6] The notation $ln x$ is the ISO standard and is prevalent in the natural sciences and secondary education (US). However, some mathematicians (e.g., Paul Halmos) have criticized this notation and prefer to use $log x$ for the natural logarithm of $x$ .

[7] Converse; Durrell (1911). Plane and spherical trigonometry. C. E. Merrill Co. str. 12. „Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm) ...”

[8] Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). „A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule”. The Mathematics Enthusiast. 7 (2): 321—332. S2CID 29739148. doi:10.54870/1551-3440.1191  . Pristupljeno 2019-08-04.

[9] Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). „A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule”. The Mathematics Enthusiast. 7 (2): 321—332. S2CID 29739148. doi:10.54870/1551-3440.1191  . Pristupljeno 2019-08-04.

[autogenerated156-10] Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]