Konačna razlika

Konačna razlika je matematički izraz oblika f(x + b) − f(x + a). Ako konačnu razliku podelimo sa b − a dobija se koeficijent razlike. Aproksimacija izvoda konačnim razlikama igra centralnu ulogu metodama konačnih razlika za numeričko rešavanje diferencijalnih jednačina, posebno problemima graničnih vrednosti.

Pojedini periodični odnosi mogu biti napisani kao jednačine razlika zamenom notacije iteracija sa konačnom razlikama.

Danas se termin "konačna razlika" često koristi kao sinonim za aproksimacije izvoda konačnim razlikama, naročito u kontekstu numeričkih metoda. Konačno različne aproksimacije su koeficijenti konačnih razlika u gore korištenoj terminologiji.

Konačne razlike su takođe bile tema studija kao apstraktni samostojeći matematički objekati, na primer u delima Džordža Bula (1860), LM Milne-Tomson (1933), i [[Karolj Jordan|Karolja Jordana}] (1939), i njigovo poreklo se može pratiti sve od Isaka Njutna i drugih. Sa tog gledišta, formalni račun konačnih razlika je alternativa infinitezimalnom računu.

Prednje, zadnje i centralne razlike

Tri oblika se obično mogu uzeti u obzir: prednje, zadnje, i centralne razlike.

Prednja razlika je izraz oblika

$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).\$

U zavisnosti od primene, razmak H može biti promenljiv ili konstantni. Kada je izostavljen, za H se uzima 1:$\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)$.

Zadnja razlika koristi vrednosti funkcija na X i X - H, umesto vrednosti na k + h i h:

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).\$

Konačno, centralna razlika daje

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h)~.$

Odnos sa derivatima

Izvod funkcije f na tački k je definisan limesom

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Ako je h fiksna (ne-nula) vrednost umesto približno nuli, onda bi desna strana gornje jednačine bila

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$

Stoga, prednju razliku podelimo sa h približno derivatu kada je h mala. Greška u ovom približavanju se mogu izvesti iz Tejlorove teoreme. Pod pretpostavkom da je f diferencijabilna, imamo

${\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}(h\to 0).$

Ista formula važi i za zadnju razliku:

${\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}(h\to 0).$

Međutim, centralna (takođe poznata sredina) razlika daje precizniju aproksimaciju. Ako je f diferencijabilna dva puta,

${\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).\!$

Međutim, glavni problem sa metodom centralne razlike, je da osciliranje funkcije može da dovede do vrednosti derivata nula. Ako je f (NH) = 1 za n neparan, i f (NH) = 2 za n čak, tada je f'(NH) = 0 ako se računa sa centralnom razlikom. Ovo je posebno problematično ukoliko je domen f diskretan.

Autori za koje konačne razlike znače konačne razlike aproksimacije definisali su prednje / zadnje / centralne razlike kao količnike date u ovom odeljku (umesto zapošljavanja definicije date u prethodnom odeljku).

Razlike višeg reda

Na analogan način se može dobiti konačnia razlika aproksimacije derivata višeg reda i diferencijalnih operatora. Na primer, korišćenje formule centralne razlike za f'(k + H / 2) i f'(k-h / 2) i primena formule centralne razlike za derivata f' sa X, dobijamo centralnu razliku aproksimacije drugog derivata f:

Drugog reda centralna razlika

$f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

Slično se mogu primeniti i druge diferencijalne formule u rekurzivnom načinu.

Drugog reda prednja razlika

$f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$

Uopšteno govoreći, n-ti red prednje, zadnje, i centralne razlike su date, kao,

Prednje

$\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),$

ili za h=1,

$\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)$

Zadnje

$\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$

Centralne

$\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

Ove jednačine koriste binomne koeficijente posle znaka sabiranja prikazanog kao \ \binom{n}{i}. Svaki red Paskalovog trougla daje koeficijent za svaku vrednost i.

Imajmo na umu da će centralna razlika, za neparno n, imati h kojim množimo brojeve koji nisu prirodni. Problem može biti otklonjen uzimanjem proseka od \delta^n[f](x - h/2) i  \delta^n[f](x + h/2).

Praćenje razlika postavljenih u nizovima se ponekad nazivaju nizovi binomnih transformacija i imaju niz interesantnih kombinatornih svojstava. Praćenje razlika može biti se ocenjeno pomoću Nørlund-Rice integrala. Predstavljanje ove vrste serija je interesantno, jer se integral često može proceniti korišćenjem asimptotskog proširenja ili opterećenjem tehničke tačke; nasuprot tome, praćenje razlika serija može biti izuzetno teško brojčano proceniti, jer binomski koeficijenti brzo rastu za veliko n.

Odnos ovih razlika višeg reda i odgovarajućih derivata je jednostavan,

${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2}).$

Razlike višeg reda se takođe mogu koristiti za konstrukciju bolje aproksimacije. Kao što je pomenuto, razlika prvog reda aproksimira izvod prvog reda  do člana reda h. Međutim, kombinacija

${\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}$

približna f '(k) do člana reda h2. Ovo se može dokazati proširenjem izraza u Tejlorov red, ili pomoću računanja konačnih razlika, što je objašnjeno u nastavku.

Ako je potrebno, konačna razlika može biti centrirana oko bilo koje tačke mešanjem prednjih, zadnjih, i centralnih razlika.

Proizvoljna veličine zrna

Koristeći malo linearnu algebru, možemo prilično lako izgraditi aproksimacije, što uzrokuje proizvoljan broj bodova levo i (eventualno drugačije) broj bodova desno od centralne tačke, za bilo koji red izvoda. To podrazumeva rešavanje linearnog sistem kao što je Tejlor proširio zbir tih tačaka, oko centralne tačke, i tako ćemo biti bliži proširenju željenog izvoda.

Ovo je korisno za razlikovanje funkciju u koordinatnim sistemima, gde, ako se jedna približava ivici mreže, onda manji uzorak i manja tačka moraju biti na istoj strani.

Detalji su navedeni u tim beleškama. 

Podešavanja

• Za sve pozitivne k i n

$\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h).$

• Leibniz pravilo:

$\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$

Metode konačnih razlika

Važna primena konačnih razlika je u numeričkoj analizi, naročito u numeričkim diferencijalnim jednačinama, koje se svode na numeričkim rešenjima redovnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina. Ideja je da se zamene izvodi koji se pojavljuju u diferencijalnim jednačinama konačnim razlikama koje su približne. Dobijene metode se nazivaju metode konačnih razlika.

Zajednička primena metoda konačnih razlika je u računarskoj nauci i inženjerskim disciplinama, kao što su energetika, mehanike fluida, itd

Njutnove serije

Njutnove serije su sastavljene od Njutnovih  jednačina prednjih razlika, nazvanih po Isaku Njutnu; u suštini, to je Njutnova formula interpolacije, koju je prvi put objavio u svojim Principima matematike 1687. godine, to jest odvojena analogija beskonačne Teilorove ekspanzije,

koja važi za bilo koju funskciju polinoma f i za većinu (ali ne sve) analitičkih funkcija. Ovde, izraz

${x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}$

je binomni koeficijent, i

$(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$

je "padajući faktorijal" ili "niži faktorijal”, dok se prazan proizvod (h) 0  definiše 1. U ovom konkretnom slučaju, postoji pretpostavka koraka za promene u vrednosti X, H = 1 od generalizacije ispod.

Obratimo pažnju na formalnu prepisku ovaog rezultata iz Tejlorove teoreme. Istorijski, ovo je kao i Ču-Vandermonda identitet,

$(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(x)_{n-k}~(y)_{k}~,$

(iz toga, i prepiski binomnih teorema), se uključuje u zapažanja koja su sazrela u sistemu Umbral kalkulus.

Da bi ilustrovali kako se može koristiti Njutnova formula u praksi, uzimamao u obzir prvih nekoliko uslova udvostručenog Fibonačijevog niza f = 2, 2, 4, ... Može se naći polinom koji reprodukuje te vrednosti, prvo računanjem razlika, a zatim supstitucijom razlike koje odgovaraju k0 (podvučena) u formulu kao što sledi,

${\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}$

Za slučaj različitih vrednosti k, Njutn izračunava podeljene razlike,

$\Delta _{j,0}=y_{j},\quad \quad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\ \ j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\quad \quad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}$

serija proizvoda,

${P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right)~,$

i dobijeni polinom je skalarni proizvod, $f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)$ .

U analizi sa p-ADIC brojeva, Mahlerova teorema kaže da f funkcija polinoma može biti oslabljena sve do oblika u kojem je f neprekidna.

Carlsonova teorema daje potrebne i dovoljne uslove iz kojih je Njutnova serija jedinstvena, ako postoji. Međutim, Njutnova serija, generalno, ne postoji.

Nevtonova serija, zajedno sa Stirling serijama i Selberg serijama, je specijalan slučaj opštih razlika serija od kojih su sve definisane u smislu pogodnih skaliranih prednjih razlika.

U zbijenom i malo opštijem obliku i sa istim rastojanjem čvorova, formula glasi

$f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).$

Račun konačnih razlika

Prednja razlika se može smatrati kao operator razlika, koji mapira funkciju f da Δh [f]. Ovaj operater iznosi

$\Delta _{h}=T_{h}-I,\,$

gde je Th promena operator u koraku h, definisan kao Th (k) = [f] f (k + h), a I je operator identiteta.

Konačna razlika višeg reda može se definisati na rekurzivan način kao Δhn ≡ Δh (Δhn-1).

Razlika operatera Δh je linearni operator i zadovoljava posebno Lajbnic pravilo koje  je gore navedeno, Δh (f (k) g (k)) = (Δhf (h)) (k + h) + f (k) (Δhg (iks)). Slični obračuni se odnose na zaostale i centralne razlike.

Formalna primena tejlorovih serija u odnosu na h, daje formulu

$\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I~,$

gde  D označava beskonačnost izvoda operatera, mapiranje F svojim izvodom f'. Ekspanzija je važeća kada obe strane deluju na analitičke funkcije, za dovoljno male h. Tako, T_h=e^hD, i formalno invertovanjem eksponencijala donosi

$hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}+\cdots .\,$

Ova formula važi u smislu da oba operatera daju isti rezultat kada se postave kao polinomi.

Čak i za analitičke funkcije, serija na desnoj strani ne garantuje da će konvergirati; to mogu biti asimptotičke serije. Međutim, to se može koristiti za dobijanje preciznije aproksimacije izvoda. Na primer, uzimanjem prva dva uslova serije drugog reda prilazi se približno f (k) koje na kraju pominje razlike višeg reda.

Analogne formule za zaostalih i centralnih razlika operatora su

$hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\,\operatorname {arsinh} ({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}).$

Račun konačnih razlika se odnosi na Umbral račun iz kombinatorike. Ova izuzetno sistematska prepiska je dospeo do identiteta kolektora Umbral količine njihovog kbeskonačnog analoga (h → 0 limita),

Veliki broj formalnih diferencijalnih odnosa standardne matematičke funkcije uključujući f (k) kao sistematske mape Umbral konačnih razlika uključuju analoge  F (XTH-1).

Na primer, Umbral analogni jednočlan je generalizacija gore padom faktorijala (Pochhammer K-simbol),

$~(x)_{n}\equiv (xT_{h}^{-1})^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots (x-(n-1)h)$ ,

pa tako

${\frac {\Delta _{h}}{h}}~(x)_{n}=n~(x)_{n-1}~,$

iz ovog iznad Njutn uvodi formulu (uparivanjem koeficijenata u ekspanziji proizvoljne funkcije f (k) u takvim simbolima), i tako dalje.

Na primer, umbral sinus je 

$\sin(x\,T_{h}^{-1})=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots .$

Kao u beskonačnioj granici je eigenfunction od Δh / h, takođe je eksponencijalna,

${\frac {\Delta _{h}}{h}}~(1+\lambda h)^{x/h}={\frac {\Delta _{h}}{h}}~e^{\ln(1+\lambda h)~x/h}=\lambda ~e^{\ln(1+\lambda h)~x/h}~,$

i stoga furije sume beskonačnih funkcija se mogu lako mapirati umbral Fourier sums faithfully, odnosno, uključuju iste koeficijente Furije množenjem ovih Umbral baznih eksponenata. Ovaj umbral eksponencijal tako iznosi u eksponencijalnoj proizvodnoj funkciji Pochhammer simbola.

Tako, na primer, Dirak delta funkcija mapira svoje umbral prepiske, kardinalnu sinus funkciju,

$\delta (x)\mapsto {\frac {\sin {\bigl [}{\frac {\pi }{2}}(1+x/h){\bigr ]}}{\pi (x+h)}}~,$

i tako dalje. Razlika jednačine se često može rešiti sa tehnikama vrlo sličnim onima za rešavanje diferencijalnih jednačina.

Inverzni operator prednjih razlika operatera, pa onda umbralni integral je neodređeni iznos ili anti razlika operatera.

Pravila za računanje konačnih razlika operatora

Analogno pravila za pronalaženje izvoda, su:

• Pravilo konstante: ako je c konstanta, onda

$\Delta c=0{\,}$

• Linearno: ukoliko a i b su konstante,

$\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g$

Sva gore pravila važe podjednako dobro na bilo koji operator razlike, uključujući i \ nabla kao da \ Delta.

• Pravilo proizvoda:

$\Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g$

$\nabla (fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g$

• Pravilo koeficijenta

$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}$

or

$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}$

$\Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta f-f\,\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}$

• Pravila sabiranja

$\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)$

$\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)$

Pogledaj ostalo 

Generalizacija

• Generalizacija konačnih razlika se obično definiše kao

$\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),$

gde \ mu = (\ mu_0, \ ldots, \ mu_N) je njegov koeficijent vektora. Beskonačna razlika je dalja generalizacija, gde se konačna suma gore zamenjuje beskonačnom serijom. Drugi način generalizacije čine koeficijenti \ mu_k zavisi od tačke k: \ mu_k = \ mu_k (h), kojim uzimamo u obzir ponderisane konačne razlike. Takođe, može se napraviti korak h koji zavisi od tačke k: h = h (k). Takve generalizacije su korisne za konstrukciju različitih modula kontinuiteta.

• Generalizovana razlika može se posmatrati kao polinom prstenova: R [T_h]. To dovodi do razlike algebri.
• Razlika operater generalizuje Mobius inverzije preko delimično odeđenog skupa.
• Kao operator skupa: Preko formalnih incidenc algebri, razlika operatere i druge mobius inverzije može biti predstavljena skupom sa funkcijom na poset, pod nazivom Mobius funkcija m; za rukovaoca razlike, μ je sekvenca (1, -1, 0, 0, 0, ...).

Konačna razlika u nekoliko varijabli

Konačne razlike mogu biti razmatrane u više od jedne promenljive. One su analogni parcijalni izvodi u nekoliko varijabli.

Neki parcijalni izvodi približno su (koristeći centralni metod):

$f_{x}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\$

$f_{y}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\$

$f_{xx}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\$

$f_{yy}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\$

$f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}~.$

Alternativno, za aplikacije u kojima računanje f predstavlja najskuplji korak, mora se računati i prvi i drugi izvod, efikasnija formula za poslednji slučaj je

$f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}}~,$

pošto vrednosti za računanje nisu odmah potrebne za prethodne četiri jednačine su f (k + h, i + k) i (k-H, I-K).

Literatura

• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001). „Finite-difference calculus”. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 

• Wilmott, Paul; Howison, Sam; Dewynne, Jeff (1995). The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press. str. 137. ISBN 978-0-521-49789-3. 

Spoljašnje veze

• Table of useful finite difference formula generated using Mathematica
• D. Gleich (2005), Finite Calculus: A Tutorial for Solving Nasty Sums
• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points