Leonardo Fibonači

Leonardo Fibonači (ital. Leonardo Fibonacci, ?1170—1250), takođe poznat i kao Leonardo iz Pize, Leonardo Pizano, Leonardo Bonači ili Leonardo Pizano Bigolo, bio je italijanski matematičar iz Pize koji je smatran „najtalentovanijim zapadnim matematičarem srednjeg veka”. Ime Fibonači (Fibonacci), po kome je danas poznat, nastalo je 1838. godine, a osmislio ga je francuski matematičar Gijom Libri i predstavlja skraćenicu od filius Bonacci (sin Bonačija).

Leonardo Fibonači
Lični podaci
Datum rođenja	oko 1170.
Mesto rođenja	Piza, Republika Piza
Datum smrti	oko 1250.
Mesto smrti	Piza, Republika Piza
Naučni rad
Polje	Matematika
Poznat po	Fibonačijev niz

Fibonači je u svom radu iz aritmetike i algebre: Račun, tj. Knjiga o abakusu (Liber abaci, 1202), glorifikovao hindu-arapski sistem brojeva. Jedan iz njegovog dugog niza problema je Fibonačijev niz. U kasnijem radu, Knjizi o kvadratnim brojevima (Liber quadratorum, 1225) učinio je prvi napredak zapadne civilizacije u aritmetici, od vremena Diofanta.

Biografija

Fibonači je rođen oko 1175. godine od oca Guljelma, bogatog italijanskog trgovca i, prema nekim navodima, konzula u Pizi. Guljelmo je upravljao pograničnom trgovačkom kućom u Buđiji, luci u sultanatu dinastije Almohada u Severnoj Africi. Fibonači je kao mali često putovao s ocem u Buđiju (danas Bedžaja, Alžir), gde je i stekao svoja znanja o hindu-arapskom brojnom sistemu.

Postavši svestan superiornosti arapskih brojeva (sa decimalnim numeričkim sistemom, pozicionom notacijom i postojanjem cifre nulte vrednosti — nule), Leonardo je ekstenzivno putovao mediteranskom obalom, susrećući se sa brojnim trgovcima i matematičare i zajedno sa njima proučavao njihove sisteme i aritmetiku, da bi se, shvativši sve prednosti hindu-arapskog sistema, vratio u Pizu 1200. godine. Dve godine kasnije, u 32. godini života, završio je i u knjizi Liber Abaci (Knjiga o abakusu ili Knjiga računa), objavio sve ono što je tokom putovanja naučio. Ova knjiga popularizovala je hindu-arapske brojeve u Evropi i pokazala značaj novog sistema numerisanja njegovom primenljivošću u komercijalnom računovodstvu, konverziji težine u mere, računu, kamatama, razmeni valuta i drugim numeričkim primenama. U ovoj knjizi opisao je nulu kao broj koji u arapskom brojnom sistemu nije postojao, pozicionu notaciju, dekompoziciju na primarne faktore, kao i kriterijume deljivosti. Knjiga je u Evropi primljena sa oduševljenjem među obrazovanom javnošću i ima veliki uticaj na potonju evropsku matematičku misao.

Od svog povratka u Pizu, bio je u stalnoj prepisci sa raznim matematičarima, među kojima je bilo i dvorskih matematičara cara Fridriha II, a izdvajaju se Majkl Skot, dvorski astrolog, Teodor Antiohijski, dvorski filozof, i Dominik Hispanski, koji je predložio caru da upozna Fibonačija kada je Fridrih posetio Pizu oko 1225. godine. Jovan Palermski, carev matematičar, zadao je brojne probleme kao izazove koje je Fibonači trebalo da reši. Tri od ovih problema Fibonači je rešio, zapisao u svojoj knjizi Flos i poslao Fridrihu. Leonardo je potom postao gost cara Fridriha II, koji je uživao i bio veoma zainteresovan za matematiku i nauku uopšte. Godine 1225. objavio je svoju četvrtu knjigu, koja je danas najpoznatija od svih — Liber Quadratorum ili Knjiga o kvadratnim brojevima, koja se oslanja na i rešava izazove sa kojima se susretao Teodor Antiohijski, takođe matematičar na dvoru Fridriha II, koji je predložio nalaženje takvog kvadrata koji bi, kada mu se doda ili oduzme broj pet, u oba slučaja kao rezultat dao kvadrat.

Fibonači je kao osnovu iskoristio ono što su stari Grci nazivali kvadratnim brojevima i postepeno napredovao, rešavajući razne probleme kako bi dao odgovor na problem neodređene forme koja inicijalno pokrenuta kao izazov.

U svom delu on uvodi neke brojeve koje naziva kongruentima i koje, današnjom terminologijom, definiše kao $c=m\times n(m^{2}-n^{2})$, gde su $m$ i $n$ brojevi takvi da je $m>n$. Na ovaj način, manji od njih je 24, a može se pokazati da je proizvod kongruentnog broja i kvadrata takođe kvadrat. Ove brojeve je kasnije koristio kao sredstva za svoje teorije, kao i u identitetu koji je danas poznat kao Fibonačijeva jednačina: ${\frac {1}{2}}\left(m^{2}+n^{2}\right)\pm mn\left(m^{2}-n^{2}\right)=\left[{\frac {1}{2}}\left(m^{2}-n^{2}\right)\pm mn\right]^{2}$

Godine 1240, Republika Piza odala je priznanje Fibonačiju (nazvavši ga Leonardo Bigolo), dodelivši mu platu dekretom koji je priznao usluge koje je on pružio gradu kao savetnik za računovodstvena pitanja i za obuku građana.

Datum Fibonačijeve smrti nije poznat, ali se procenjuje da je preminuo između 1240. i 1250. godine, najverovatnije u Pizi.

Dela

• Liber Abaci (1202, knjiga računa)
• Practica Geometriae (1220, zbirka tehnika merenja i podela površina i zapremina i drugih tema iz oblasti praktične geometrije)
• Flos (1225, rešenja problema koje je postavio Jovan Palermski)
• Liber quadratorum (o Diofantovim jednačinama, posvećena Fridrihu II)
• Di minor guisa (o trgovačkoj aritmetici; izgubljena)
• Tumačenje ’Knjige X’ Euklidovih elemenata (izgubljena)

Liber Abaci

Liber Abaci, Knjiga o abakusu ili Knjiga računa napisana je 1202, a revidirana i značajno dopunjena 1228. godine. U ovoj knjizi je Fibonači uveo modus Indorum (metod Indijaca), danas poznat kao hindu-arapski numerički sistem. Knjiga zagovara i podržava upotrebu numeracije sa ciframa 0—9 i poziciona vrednost, a takođe prikazuje i praktičnu upotrebu i vrednost novog brojnog sistema.

Knjiga je podeljena na 15 poglavlja, a prvo poglavlje predstavlja uvod u hindu-arapski brojni sistem i poredi ovaj sa ostalim brojnim sistemima, među kojima i sa rimskim brojevima, a prikazuje i metode za konverziju između brojnih sistema. Zamena rimskog brojnog sistema i njegovog egipatskog metoda množenja brojeva hindu-arapskim brojevima i abakusom kao spravom za računanje predstavljala je veliki napredak koji je omogućio da trgovačke kalkulacije postanu brže i lakše, što je dovelo do širenja bankarstva i računovodstva širom Evrope.

Drugo poglavlje objašnjava upotrebu hindu-arapskih brojeva u biznisu, na primer za konverziju valuta i računanje profita i kamata, što je bilo veoma važno za ondašnju bankarsku industriju. Fibonači takođe u knjizi razmatra iracionalne i proste brojeve, kao i linearne jednačine.

Problem kojim se Fibonači bavio u trećem poglavlju knjige vodio je do uvođenja Fibonačijevih brojeva i Fibonačijevog niza, po čemu je danas on najpoznatiji. Pored ovog, u knjizi se bavio i problemima savršenih brojeva, kineskom teoremom ostataka i problemima koji uključuju aritmetičku progresiju i geometrijske serije.

Četvrto poglavlje bilo je posvećeno iracionalnim brojevima, koje je Fibonači predstavio kako racionalnim aproksimacijama, tako i geometrijskim konstrukcijama.

Practica Geometriae

Delo je napisano 1220. godine i posvećeno je Dominiku Hispanskom. Sadrži veliku kolekciju geometrijskih problema podeljenih u osam glava sa teoremama baziranim na Euklidovim delima Elementi i O deljenju figura. Pored geometrijskih teorema sa preciznim dokazima, knjiga sadrži i praktične informacije za geodete, uključujući i poglavlje o tome kako izračunati visine visokih objekata uz pomoć sličnih trouglova. Poslednje poglavlje predstavlja ono što je Fibonači nazivao geometrijskom veštinom, a tiče se izračunavanja dužina stranica pentagona i dekagona uz pomoć prečnika opisanog i upisanog kruga i obrnuto, ali i jednakostraničnih trouglova, pravougaonika i kvadrata upisanih u pomenuti i algebarskog izračunavanja njihovih stranica.

Flos

U ovoj knjizi Fibonači daje preciznu aproksimaciju korena jednačine $10x+2x^{2}+x^{3}$, koja je bila od izazova koji mu je zadao Jovan Palermski. Palermski zapravo nije sam izmislio problem, već ga je preuzeo iz knjige o algebri Omara Hajama, gde je rešen uz pomoć preseka kruga i hiperbole. Fibonači je pokazao da koren jednačine nije ni ceo broj, ni razlomak, niti kvadratni koren razlomka i navodi da:

I pošto nije bilo moguće rešiti ovu jednačinu na bilo koji od gorenavedenih načina, radio sam na tome da rešenje svedem na aproksimaciju.

Ne objašnjavajući svoje metode, Fibonači je potom dao približno rešenje u seksagezimalnom brojnom sistemu kao 1.22.7.42.33.4.40 (odnosno 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Prevedeno u decimalni zapis, koren jednačine po njemu iznosi 1,3688081075, što predstavlja izuzetno dostignuće, pošto je je rešenje tačno do devete decimale.

Liber quadratorum

Liber quadratorum, napisano 1225. godine, iako ne delo po kome je najpoznatiji, predstavlja Fibonačijev najimpresivniji rad. U prevodu s latinskog, ime knjige znači Knjiga o kvadratnim brojevima i predstavlja delo koje se tiče teorije brojeva koje, između ostalog, ispituje metode za pronalaženje Pitagorinih trojki. Fibonači prvo navodi da kvadratni brojevi mogu biti konstruisani kao sume neparnih brojeva, u suštini opisujući induktivnu konstrukciju koristeći formulu $n^{2}+(2n+1)=(n+1)^{2}$.

Pored toga, Fibonači je u ovoj knjizi dokazao još dosta zanimljivih teorema iz teorije brojeva, među kojima su i:

• ne postoje $x$ i $y$ takvi da su $x^{2}+y^{2}$ i $x^{2}-y^{2}$ oba kvadratna broja i
• $x^{4}-y^{4}$ ne može biti kvadratni broj.

Definisao je pojam kongruuma, broja oblika $ab(a+b)(a-b)$, ako je $a+b$ parno, odnosno oblika $4ab(a+b)(a-b)$, ako je $a+b$ neparno. Pokazao je da kongruum mora biti deljiv sa 24, kao i da, ako su $x$ i $c$ takvi da su $x^{2}+c$ i $x^{2}-c$ oba kvadratni brojevi, onda je $c$ kongruum. Takođe je dokazao da kvadratni broj ne može biti kongruum.

Nasleđe

Spomenik posvećen Fibonačiju (Đovani Paganuči, 1863. godine), postavljen na groblju Kamposanto u Pizi

U 19. veku je u Pizi izgrađena i postavljena statua Fibonačija, koja je danas smeštena u zapadnoj galeriji Kompozanto, istorijskom groblju na Trgu čuda.

Postoji mnogo matematičkih koncepata koji su dobili ime po Fibonačiju, uglavnom zbog njihove povezanosti sa Fibonačijevim brojevima, a među njima su Bramagupta-Fibonačijeva jednačina, Fibonačijeva tehnika pretraživanja i Pisano periodičnost. Pored matematike, po Fibonačiju je nazvan i asteroid 6765 Fibonači i art-rok bend The Fibonaccis.

Literatura

• Vogel, K. (1970). Fibonacci, Leonardo, or Leonardo of Pisa. Encyclopedia.com. New York: Complete Dictionary of Scientific Biography. Pristupljeno 11. 05. 2018. 
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95419-6. 
• Tanton, James Stuart (2005). Encyclopédia of Mathematics. Infobase Publishing. str. 192. ISBN 9780816051243. 
• Koshy, Thomas (2011). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley & Sons. str. 3. ISBN 9781118031315. 
• Devlin, Keith (2017). Finding Fibonacci: The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World. Princeton University Press. str. 24. 
• Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6 izd.). Brooks Cole. str. 261. ISBN 978-0-03-029558-4. 

Spoljašnje veze

• "Fibonacci, Leonardo, or Leonardo of Pisa." Complete Dictionary of Scientific Biography. 2008. Encyclopedia.com. (April 20, 2015). [1]
• Fibonacci at Convergence
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Leonardo Pisano Fibonacci”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Fibonacci (2 vol., 1857 & 1862) Il liber abbaci and Practica Geometriae Arhivirano na sajtu Wayback Machine (8. decembar 2019) - digital facsimile from the Linda Hall Library
• Fibonacci, Liber abbaci Bibliotheca Augustana