Magnetni moment

Magnetni moment, magnetni dipolni moment - je glavna količina koja karakteriše magnetna svojstva supstance (prema klasičnoj teoriji elektromagnetnih pojava, električni makro i mikrostruje su izvor magnetizma; zatvorena struja se smatra elementarnim izvorom magnetizma). Elementarne čestice, atomska jezgra, elektronske ljuske atoma i molekula imaju magnetni moment. Magnetni moment elementarnih čestica (elektrona, protona, neutrona i drugih), kao što je kvantna mehanika pokazala, se javlja zbog njihovog sopstvenog mehaničkog momenta - spina.

Magnetski moment μ je umnožak jačine električne struje I i površine petlje S.

Kad se kroz električnu zavojnicu pušta električna struja, ona postaje elektromagnet, koji ima svoj magnetski moment.

Fotografija koju je P. Zeman napravio objašnjavajući Zemanov učinak.

Magnetni moment se meri u A⋅m² , ili

${\text{A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}={\frac {{\text{N}}{\cdot }{\text{m}}}{\text{T}}}={\frac {\text{J}}{\text{T}}},$

gde je T - tesla, N - njutn i A - amper. Specifična jedinica elementarnog magnetnog momenta je Borov magneton.

Formule za izračunavanje magnetnog momenta

Magnetni moment se računa kao

$${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B}$$

$\mathbf {M} ={\frac {\mathbf {m} _{\Delta V}}{V_{\Delta V}}},$

gde su $\mathbf {m} _{\Delta V}$ i $V_{\Delta V}$ su magnetni dipolni moment i zapremina dovoljno malog dela magneta $\Delta V$.

Ova jednačina se može prikazati i kao:

$\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} V}},$

gde su dm osnovni magnetni momenti i dV element opsega. Mrežni magnetni moment $\mathbf {m}$ je jednak

$\mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,\mathrm {d} V,$

gde trostruki integral označava integraciju preko volumena magneta. Za ravnomernu magnetizaciju (gde su i magnituda i smer $\mathbf {M}$ ista je za ceo magnet (kao što je pravolinijski magnet), a poslednja jednačina se pojednostavljuje:

$\mathbf {m} =\mathbf {M} V,$

Magneton

Magneton je elementarni kvant magnetskoga momenta, fizička konstanta koja opisuje magnetska svojstva atoma i subatomskih čestica. Borov magneton (nazvan prema Nilsu Boru) je veličina koja označava klasično određen magnetski moment elektrona:

$\mu _{\mathrm {B} }={\frac {e\cdot \hbar }{2\cdot m_{\mathrm {e} }}}$

gde su:

μ_B - Borov magneton,

e - elementarni naboj elektrona,

ħ - redukovana Plankova konstanta,

m_e - masa elektrona,

Merena vrednost Borovog magnetona iznosi μ_e ≈ 9,285 · 10^–24 A ∙ m². Analogno se po Borovom modelu za protone u jezgri atoma dobija vrednost nuklearnog magnetona μ_p ≈ 5,051 · 10^–27A ∙ m², ali je ona zbog takozvane hiperfine strukture znatno manja i zavisi od broja protona i neutrona u jezgru.

Magnetski momenti i normalni Zemanov učinak

Glavni članci: Borov magneton i Zemanov efekat

Klasična teorija magnetskih momenata pošla je od Erstedovog otkrića da električne struje proizvode oko sebe magnetska polja. Zatvorena električna struja deluje kao magnet. Magnetski moment, stvoren vrtnjom elektriciteta, proporcionalan je umnošku jačine s površinom koju struja omeđuje. Ova važna klasična spoznaja može se primeniti i na kretanje elektrona oko atomskog jezgra. I elektron stvara „zatvorenu struju” te deluje kao magnet. Magnetski moment je određen momentom impulsa. Između magnetskog momenta i impulsa vrtnje postoji odnos:

$\mu ={\frac {e}{2\cdot m\cdot c}}\cdot p\cdot \phi$

Ovaj klasični izraz preuzela je i kvantna teorija. Međutim ovde impuls vrtnje ne može poprimiti sve vrednosti, nego samo diskretne n_φ∙h/2∙π. Uvrsti li to u gornja jednačina, dobija se:

$\mu =n_{\phi }\cdot {\frac {e\cdot h}{4\cdot \pi \cdot m\cdot c}}$

gde je: n_φ = 1, 2, 3, ….

U kvantnoj teoriji magnetski su momenti jednaki celom broju osnovne jedinice:

$\mu _{B}={\frac {e\cdot h}{4\cdot \pi \cdot m\cdot c}}=-\,9,274\cdot 10^{-24}\ {\mbox{A}}\cdot {\mbox{m}}^{2}$

Ovaj elementarni magnetni moment zove se Borov magneton. Iskustvo pokazuje da atomima zaista pripadaju magnetni momenti tih veličina. Borov magneton jedna je od temeljnih prirodnih konstanti.

Magnetski momenti atoma dolaze do izražaja kad se stave u spoljno magnetsko polje. Razmotrimo sada kako se menjaju energetski nivoi atoma u magnetskom polju. Spoljno magnetsko polje se može smatrati da je u području atoma konstantno. U magnetskom polju H ima atom potencijalnu energiju:

$E_{pot}=-\,\mu \cdot H\cdot \cos(\mu ,H)$

Potencijalna energija atoma zavisi od smera magnetnog momenta prema spoljnom magnetnom polju. Kad bi to bio bilo koji smer, potencijalna bi energija atoma poprimila kontinuirane vrednosti između - μ∙H i + μ∙H. Ta kontinuiranost morala bi se očitovati i u atomskom spektru. Međutim to se protivi činjenicama. Atomski spektri ostaju oštri linijski spektri i u magnetnom polju. Mora se, dakle, pretpostaviti da se magnetni momenti atoma postavljaju samo u određenim, diskretnim smerovima prema magnetnom polju.

Tvrdi se, a to se može i izvesti iz kvantnih uslova Zomerfelda i Vilsona, da se staza elektrona može prema spoljnom magnetskom polju samo tako orijentisati da projekcija njegovog momenta impulsa M_H i magnetskog momenta bude opet ista diskretna veličina:

$M_{H}={\frac {m\cdot h}{2\cdot \pi }}$

$\mu _{H}={\frac {e}{2\cdot m_{e}\cdot c}}\cdot m\cdot {\frac {h}{2\cdot \pi }}$

Da bi se izbegla zabuna, dodat je masi elektrona indeks e; m se zove magnetni kvantni broj i može poprimiti cele brojeve od + n_φ do - n_φ:

m = - n_φ, - n_φ + 1… , - 1, 0, + 1, … n_φ - 1, n_φ

Zadnje dve jednačina su temelj kvantne teorije atoma. Moment impulsa je vektor koji stoji normalno na ravan kretanja. Dok nema spoljašnjeg magnetnog polja, može ravan kretanja elektrona ležati po volji u prostoru. Međutim, kad se stavi atom u magnetno polje, ravan kretanja mora se tako postaviti da je projekcija momenta impulsa u smeru polja opet jednaka celom broju od h/2∙π. U kvantnoj teoriji nisu kvantizovani samo impulsi vrtnje nego i njihove projekcije u smeru magnetskog polja.

Promovisaće se sada posebni slučajevi, gde impuls vrtnje p ima redom vrednosti h/2∙π, 2∙h/2∙π, 3∙h/2∙π, … Magnetno polje ima stalan smer. Obično se uzima da je to smer odozdo prema gore:

• n_φ = 1. Moment impulsa može se postaviti samo paralelno, antiparalelno i normalno prema smeru magnetnog polja. Magnetni kvantni broj m poprima vrednosti + 1, - 1 i 0.
• n_φ = 2. Kao i pre, moment impulsa može se postaviti samo paralelno, antiparalelno i normalno. Magnetni kvantni broj m poprima vrednosti + 2, - 2 i 0. Međutim, pored toga može moment impulsa stajati gore i dole pod uglom od 60° prema magnetnom polju. Tada je cos φ = 1/2, te je projekcija momenta impulsa jednaka h/2∙π. U tim slučajevima ima magnetski kvantni broj m vrednosti + 1 i - 1.
• n_φ = 3. Moguće je 7 orijentacija: cos (p_φ, H) = ± 1, ± 2/3, ± 1/3 i

0.

Generalno je moguć paralelan, antiparalelan i normalni smer momenta impulsa s obzirom na spoljno polje. Ako je kvantni broj vrtnje veći od 1, tad su još mogući i smerovi kod kojih je kosinus ugla jednak odnosu između dva cela broja:

$\cos(\mu ,H)={\frac {m}{n_{\phi }}}$

Već pre postanka kvantne mehanike našao je P. Zeman da se spektralne linije u magnetnom polju cepaju na više komponenata. Razmotri li se neka spektralna linija, nalazi se da je njena frekvencija data Borovim postulatom:

$h\cdot \nu =E'-E''$

gde je: E' - energija početnog stanja, E" - energija konačnog stanja. Za vreme emisije neka deluje na atom jaki magnet. Tad pridolazi svakom energetskom nivou još magnetna energija: μ∙H∙cos(μ, H), što se može dalje pisati: μ_B∙H. Prema tome se vidi da atomu u magnetnom polju pridolazi potencijalna energija:

$E_{pot}=-\,\mu _{B}\cdot H\cdot m$

gde je: m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …

Pri kvantnom prelazu atoma može se magnetni kvantni broj promeniti za 1 ili 0. Energija emitovanog kvanta svetlosti (fotona) jednaka je, dakle:

$h\cdot \nu =E'-E''-\mu _{B}\cdot H\cdot \Delta m$

gde je: Δm = 0, + 1, - 1

Frekvencija emitovane spektralne linije pod delovanjem magnetnog polja jednaka je:

$\nu ={\frac {E'-E''}{h}}-{\frac {\mu _{B}\cdot H}{h}}\cdot \Delta m$

Označimo frekvenciju nesmetane linije sa ν₀ i uvrstimo za Borov magneton prethodni izraz. Tad se dobija za spektar u magnetskom polju izraz:

$\nu =\nu _{0}-{\frac {e\cdot H}{4\cdot \pi \cdot m_{e}\cdot c}}\cdot \Delta m$

Umesto jedne spektralne linije, postoje tri. Jedna linija, Δm = 0, leži na mestu prvobitne linije, druge dve su za e∙H/4∙π∙me∙c pomaknute nalevo ili nadesno, već prema tome da li je Δm = - 1 ili Δm = + 1. Te tri linije našao je P. Zeman 1896. Pojava tri linija umesto jedne u magnetnom polju zove se normalnim Zemanovim učinkom ili efektom. Zemanov efekat očito pokazuje diskretnost u orijentacijama magnetnih momenata.

Cepanje spektralnih linija u magnetskom polju iznosi:

$\Delta \nu =\pm {\frac {e\cdot H}{4\cdot \pi \cdot m_{e}\cdot c}}=\pm 1,4\cdot 10^{6}\ {\mbox{H}}\cdot {\mbox{s}}^{-}1$

Razmak između leve i desne linije je to veći što je magnetno polje jače. Cepanje je svakako malo, dok deluju nornalna magnetna polja. Merenja daju tačno pomak frekvencije, koji smo teorijski proračunali.

Ovde je važno napomenuti da klasična teorija daje za pomak spektralnih linija u magnetnom polju isto što i kvantna. Promena frekvencije slaže se s Larmorovom frekvencijom.

Po Larmorovu teoremu, elektronskom sistemu u megnetskom polju pridolazi jednolika vrtnja (rotacija) s frekvencijom ν_L = - (e∙H/4∙π∙m_e∙c). Već prema tome da li se elektroni okreću oko magnetskih silnica u pozitivnom ili negativnom smeru, frekvencija će se elektrona povećati ili umanjiti za Larmorovu frekvenciju. Oni elektroni koji osciluju linearno u smeru magnetskih silnica neće, naravno, uopšte promeniti frekvencije. Generalno se može svako oscilovanje elektrona rastaviti u ta tri tipična oscilovanja, te se prema tome dobijaju po klasičnoj teoriji u emisionom ili apsorpcionom spektru tri linije. Zemanov nalaz bio je u prvo vreme švaćen kao velik uspeh Lorencove elektronske teorije. Danas je poznato da klasična teorija ne može da objasni emisije ni apsorpcije. Uzrok da se kvantna jednačina ipak podudara s klasičnom Larencovom frekvencijom leži u tome što je iz te jednačine izvedena Plankova konstanta. Kvantna teorija je tu na neki način skrivena. Prema načelu korespodencije prelazi kvantna teorija u klasičnu kad konstanta h teži ka nuli. Ovde se mora kvantna jednačina podudarati s klasičnom, jer se u njoj kod tog graničnog prelaza ništa ne menja.

Pomoću načela korespodencije mogu se vrlo dobro švatiti izborna pravila koja vrede za emisiju svetlosti. U klasičnom modelu Zemanovog učinka postoje 3 frekvencije. Očito je da nesmetano linearno oscilovanje u smeru polja korespondira prelazu Δm = 0, pri kojemu se frekvencija ne menja. Oba klasična kružna ili cirkularna oscilovanja, pri kojima se frekvencija menja za ν_L, korespondiraju prelazima Δm = + 1 i -1. Drugi prelazi u kvantnoj teoriji nisu mogući, jer za njih nema klasičnog analoga.

Klasični model daje takođe tačnu sliku o polarizaciji emitovane svetlosti. Prema trima različitim titranjima elektrona postoji linearno, levo i desno polarizovana svetlost. Kvantnom skoku Δm = 0 odgovara linearno polarizovana svetlost u smeru polja, kvantnim skokovima Δm = + 1 i -1 kružna (cirkularna) polarizacija oko magnetskih silnica. Linearno polarizovane emisijske linije označuju se kao π komponente, a kružno (cirkularno) polarizovane kao σ komponente.

Klasični dipol ne zrači energije u smeru svoje ose. Kad se meri jačina (intenzitet) svetlosti u osi dipola, ne primećuje se ništa. Isto tako i kod Zemanovog učinka, kad se gleda svetlost longitudinalno, to jest u liniji paralelnoj s magnetskim poljem, opažaju se samo dve spektralne linije, naime kružno (cirkularno) polarizirane. Naprotiv, kad se gleda transverzalno, normalno na smer polja, opažaju se sve tri linije.

Literatura

• Hollos, Stefan; Hollos, Richard (2008). Signals from the Subatomic World: How to Build a Proton Precession Magnetometer. Abrazol Publishing. ISBN 978-1-887187-09-1. 
• Ripka, Pavel, ur. (2001). Magnetic sensors and magnetometers. Boston, Mass.: Artech House. ISBN 978-1-58053-057-6. 
• Tumanski, S. (2011). „4. Magnetic sensors”. Handbook of magnetic measurements. Boca Raton, FL: CRC Press. str. 159—256. ISBN 978-1-4398-2952-3. 
• Giancoli, D.C. Physics for Scientists and Engineers (3rd izd.). str. 1017. 
• Tipler, P.A.; Llewellyn, R.A. (1999). Modern Physics (4th izd.). 
• Fan, X.; Myers, T. G.; Sukra, B. A. D.; Gabrielse, G. (2023-02-13). „Measurement of the Electron Magnetic Moment”. Physical Review Letters. 130 (7): 071801. Bibcode:2023PhRvL.130g1801F. S2CID 123962197. arXiv:2209.13084 . doi:10.1103/PhysRevLett.130.071801. 

Spoljašnje veze

• Bowtell, Richard (2009). „μ – Magnetic Moment”. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.