Skup

U matematici, skup je pojam koji se obično ne definiše, već se uzima kao osnovni, a često se umjesto tog termina koriste razni sinonimi, kao što su, na primjer, mnoštvo, familija, kolekcija isl.

Teorija skupova, stvorena tek krajem 19. veka, je danas sveprisutni deo matematičkog obrazovanja, te se stoga u većini zemalja uvodi već u osnovnoj školi. Teorija skupova se može shvatiti kao osnova nad kojom može biti izgrađena gotovo cela matematika, te kao ishodište iz kojeg gotovo cela matematika može biti izvedena.

Ovaj članak predstavlja kratak i osnovni uvod u ono što se naziva „intuitivna” ili „naivna” teorija - za više detalja pogledati naivnu teoriju skupova. Za rigorozniji i moderniji aksiomatski pristup skupovima, pogledati aksiomatsku teoriju skupova.

Oznake uredi

Za označavanje skupova se najčešće koriste velika slova latinice $A,B,\ldots \,$ . Ako je neki skup konačan ili prebrojivo beskonačan, pa se njegovi elementi mogu nabrojati, koristi se zapis

$A=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,$ , odnosno $A=\{x_{1},x_{2},\ldots \}\,$ ;

takođe, elementi nekog skupa se mogu opisati korišćenjem nekog svojstva $P(x)\,$ koje oni (i samo oni) zadovoljavaju:

$A=\{x\mid P(x)\}\,$

Dakle, skup je određen svojim elementima; pripadnost elementa $x\,$ skupu $A\,$ označava se sa $x\in A$ , a nepripadnost sa $x\notin A$ .

Između skupova se uvode dve osnovne relacije - jednakost i inkluzija:

$A=B\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$

$A\subset B\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\Rightarrow x\in B)$

Neposredno iz ovih definicija je jasno da je

$A=B\Leftrightarrow (A\subset B\land B\subset A)$

Prazni skup, koji se označava sa $\emptyset$ može se definisati, na primer, pomoću $\emptyset =\{x\mid x\neq x\}$ . Taj skup ima osobinu da je $\emptyset \in A$ za bilo koji skup $A$ koji nije i sam prazan (u suprotnom se dolazi do paradoksa — u praznom skupu se nalazi neki element). Takođe, ako su u okviru neke teorije svi skupovi sa kojima se operiše podskupovi nekog fiksiranog skupa, taj skup se naziva univerzalnim i često obilježava sa $U$ . Takav skup ima osobinu da je $A\in U$ za sve skupove $A$ sa kojima se operiše u datom problemu, pri čemu treba naglasiti da nije ispravno koristiti termin „skup svih skupova“ - on može dovesti do neželjenih paradoksa. Zvanično, prazan skup se uvodi aksiomom praznog skupa koja glasi: postoji skup kome ništa ne pripada, tj. $(\exists x)(\forall y)y\notin x$ . Prazan skup se uzima za konstantu matematičke logike i teorije skupova.

Definicija uredi

Paragraf sa prevodom originalne definicije skupa Georga Kantora. Nemačka reč Menge za skup je ovde prevedena kao aggregate.

Na početku svog dela Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre,^[1] Georg Kantor, principijelni tvorac teorije skupova, je napisao sledeću definiciju skupa:^[2] Pod terminom skup smatramo bilo koju kolekciju M određenih, različitih objekata m naših zapažanja ili misli (koji će se zvati elementi skupa M) u celinu.

Objekte skupa takođe zovemo njegovim članovima ili elementima. Elementi skupa mogu biti raznih vrsta: brojevi, ljudi, slova abecede, drugi skupovi itd. Skupovi se dogovorno označavaju velikim slovima A, B, C, itd. Za dva skupa A i B se kaže da su jednaka i zapisuje se A = B ako imaju iste članove.

Skup, za razliku od multiskupa, ne može da sadrži više jednakih elemenata. Sve skupovne operacije čuvaju svojstvo jedinstvenosti elementa u skupu. Slično, redosled nabrajanja elemenata skupa je nebitan, za razliku od sleda ili tupla.

Skupovi se konvencionalno označavaju velikim slovima. Skupovi A i B su jednaki ako i samo ako imaju potpuno iste elemente.^[3]

Opisivanje skupova uredi

Nemaju svi skupovi precizan opis - neki mogu jednostavno biti proizvoljne kolekcije, bez nekog jasno izraženog „pravila” koje kazuje koji su elementi unutar ili van skupa.

Neki skupovi mogu biti opisani rečima, na primer:

A je skup čiji su članovi prva četiri cela broja.

B je skup čiji su članovi boje francuske zastave.

Dogovorno se skup takođe može definisati eksplicitnim nabrajanjem svih elemenata između vitičastih zagrada, na primer:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {crvena, bela, plava}

Dva različita opisa mogu definisati isti skup. Na primer, gore definisani skupovi A i C su identični, pošto imaju jednake članove. Skraćeni zapis A = C se koristi za izražavanje takve jednakosti. Slično, za gore definisane skupove vredi B = D.

Identitet skupa ne zavisi od redosleda nabrajanja elemenata skupa, kao i od mogućih ponavljanja elemenata prilikom nabrajanja. Na primer, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

Za skupove sa mnogo elemenata ponekad se koristi skraćena lista. Na primer, prvih hiljadu pozitivnih celih brojeva se mogu opisati simboličkom skraćenicom:

{1, 2, 3, ..., 1000},

pri čemu specijalni simbol od tri tačke (...) označava da se lista nastavlja na podrazumevani način.

Slično se skup parnih brojeva može opisati notacijom:

{2, 4, 6, 8, ... }.

Složeniji skupovi se ponekad opisuju različitom notacijom. Na primer, skup F čiji su članovi prvih dvadeset brojeva koji su za četiri manji od kvadrata celog broja, može biti opisan na sledeći način:

F = {

n^{2}

– 4 : n je celi broj; i 0 ≤ n ≤ 19}

U ovom opisu, dvotačka (:) znači „takav da”, i ovaj opis se interpretira kao „F je skup svih brojeva oblika $n^{2}$ – 4, takvih da je n celi broj u opsegu od 0 do 19 inkluzivno.” (Ponekad se umesto dvotačke koristi vertikalna crta |.)

Istorija uredi

Savremena teorija skupova nastaje krajem 19. veka kada nemački matematičar Georg Kantor daje opisnu matematičku teoriju koja se još naziva i intuitivna ili naivna teorija skupova.

Definicija: Skup je objedinjenje izvesnih elemenata u jednu celinu.

Ovde će biti predstavljen sistem aksioma kakvog ga je postavio Gotlob Frege u knjizi „Osnovni zakoni aritmetike“ 1893. godine

Aksioma o jednakosti dva skupa

Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.

Aksioma apstrakcije

Za unapred zadato svojstvo P(x) postoji skup {x|P(x)} čiji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.

Aksioma izbora

Za svaki neprazan skup S postoji funkcija f čiji su originali neprazni podskupovi tog skupa, a slike su elementi originala, tj.

(\forall S)(\exists f:P(S)\ {\emptyset }\longrightarrow S)(\forall A)(A\subset S\land A\neq \emptyset \Longrightarrow f(A)\in A)

Poslednja aksioma kaže da svako svojstvo definiše skup. Međutim, već 1902. godine će Bertrand Rasel pokazati primer koji vodi kontradikciji. To dobija naziv Raselov paradoks, a teorija skupova se našla pred velikim problemima.

Članstvo skupa uredi

Ako nešto jeste ili nije element nekog pojedinačnog skupa, tada se to simbolično označava sa $\in$ odnosno $\notin$ . Na primer, u odnosu na već definisane skupove, vredi:

$4\in A$ i $285\in F$ (budući da je 285 = 17² − 4); ali
$9\notin F$ i $\mathrm {zelena} \ \notin B$ .

Kardinalnost skupa uredi

Svaki gore opisan skup ima konačan broj članova - na primer, skup A ima četiri člana, dok skup B ima tri člana.

Skup takođe može imati nula članova. Takav skup zove se prazni skup i označava simbolom ø. Na primer, skup A svih trostranih kvadrata ima nula članova, i stoga je A = ø. Poput broja nula, iako naizgled trivijalan, prazni se skup pokazao kao poprilično važan u matematici.

Skup takođe može imati beskonačan broj članova - na primer, skup prirodnih brojeva je beskonačan.

Kaže se da su dva skupa ekvipotentna (imaju isti kardinalitet ili su jednakobrojni ili su bijektivni) ako postoji bijekcija iz jednoga skupa u drugi skup. Relacija ekvipotencije je relacija ekvivalencije, pa se skupovi svrstavaju u disjunktne klase - klasa kojoj pripada skup S zove se kardinalni broj skupa S i označava se sa $\left|S\right|$ ili card S ili #S.

Podskup uredi

Ako je svaki član skupa A takođe član skupa B, tada se za A kaže da je podskup od B, piše se $A\subseteq B$ , te izgovara A je sadržan u B. Može se, takođe, zapisati $B\supseteq A$ što se čita kao B je nadskup od A, B uključuje A ili B sadrži A. Relacija između skupova uspostavljenu sa $\subseteq$ zove se inkluzija.

Ako je A podskup i nije jednak skupu B, tada se za A kaže da je pravi podskup skupa B, i zapisuje se sa $A\subset B$ (A je pravi podskup od B) ili $B\supset A$ (B je pravi nadskup od A). Međutim, u nekoj literaturi ovi se simboli čitaju isto kao i $\subseteq$ i $\supseteq$ , te se stoga često preferira korištenje eksplicitnijih simbola $\subsetneq$ i $\supsetneq$ za prave podskupove i nadskupove.

A je podskup od B

Primeri:

Skup svih žena je pravi podskup skupa svih ljudi.
$\{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}$
$\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$

Prazni skup je podskup svakog skupa i svaki skup je sam svoj podskup:

$\emptyset \subseteq A$
$A\subseteq A$

Posebni skupovi uredi

Prirodni brojevi ℕ su sadržani u celim brojevima ℤ, koji su sadržani u racionalnim brojevima ℚ, koji su sadržani u realnim brojevima ℝ, koji su sadržani u kompleksnim brojevima ℂ

Neki istaknuti skupovi imaju izuzetnu matematičku važnosti i toliko se često koriste da su dobili posebna imena i notaciju. Jedan od njih je već spomenuti prazni skup. Neki od ostalih su:

$\mathbb {P}$ označava skup svih prostih brojeva.
$\mathbb {N}$ označava skup svih prirodnih brojeva. Drugim rečima, $\mathbb {N}$ = {1, 2, 3, ...}, ili ređe $\mathbb {N}$ = {0, 1, 2, 3, ...}.
$\mathbb {Z}$ označava skup svih celih brojeva (bilo pozitivnih, negativnih ili nule). Stoga je $\mathbb {Z}$ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
$\mathbb {Q}$ označava skup svih racionalnih brojeva (tj. skup svih pravih i nepravih razlomaka). Stoga je $\mathbb {Q}$ = { ${\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}$ : a,b $\in \mathbb {Z}$ i b ≠ 0}. Na primer, ${\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}$ i ${\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}$ . Svi celi brojevi su u ovom skupu budući da se svaki celi broj a može izraziti kao razlomak ${\begin{matrix}{\frac {a}{1}}\end{matrix}}$ .
$\mathbb {R}$ je skup svih realnih brojeva. Ovaj skup uključuje sve racionalne i iracionalne brojeve (tj. brojeve koji se ne mogu zapisati u obliku razlomka, kao što su $\pi ,$ $e,$ i √2).
$\mathbb {C}$ je skup svih kompleksnih brojeva.

Svaki od ovih skupova brojeva je beskonačan, premda vredi $\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ , iako se prosti brojevi generalno koriste manje od ostalih skupova izvan teorije brojeva i srodnih disciplina.

Međutim, ne postoji samo jedna vrsta beskonačnosti. Za skup koji je ekvipotentan (jednakobrojan) sa skupom prirodnih brojeva $\mathbb {N}$ kaže se da je prebrojivo beskonačan (kraće prebrojiv), a „veći” skupovi su neprebrojivo beskonačni (kraće neprebrojivi).

Prebrojivo beskonačni skupovi su, na primer, skupovi $\mathbb {P} ,\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q}$ , kao i skup svih prirodnih brojeva koji su parni, neparni, deljivi s 3, deljivi 4, itd. Primeri neprebrojivo beskonačnih skupova su $\mathbb {R}$ i $\mathbb {C}$ .

Operacije sa skupovima uredi

Sa skupovima se mogu izvoditi razne operacije. Slede definicije nekoliko osnovnih:

$A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}$

$A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}$

${\overline {A}}=\{x\mid x\notin A\}\;,\;\;\;{\overline {\overline {A}}}=A$

$A\setminus B=\{x\mid x\in A\lor x\notin B\}=A\cap {\overline {B}}$

$A\vartriangle B=\{x\mid x\in A\cup B\land x\notin A\cap B\}=(A\cup B)\cap ({\overline {A}}\cup {\overline {B}})$

Osobine skupova uredi

Osnovne osobine skupova su zadate u sledećoj listi:

$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$ (zakoni komutacije)

$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (zakoni asocijacije)

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ (zakoni distribucije)

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\;\;{\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

Vidi još uredi

Teorija skupova

Reference uredi

^ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." „Archived copy”. Arhivirano iz originala 2011-06-10. g. Pristupljeno 2011-04-22.
^ Allenby, 1991. p. 1
^ Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. str. 5.

Literatura uredi

Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2.
Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.
Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.
Velleman, Daniel (2006). How To Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. ISBN 0-521-67599-5.
Allenby, R.B.J.T, Rings, Fields and Groups, Leeds, England: Butterworth Heinemann (1991) ISBN 0-340-54440-6

Spoljašnje veze uredi

Cantor's "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (in German)

[1] "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." „Archived copy”. Arhivirano iz originala 2011-06-10. g. Pristupljeno 2011-04-22.

[2] Allenby, 1991. p. 1

[Stoll-3] Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. str. 5.

[1]

[2]

[3]