Teodorova spirala

U geometriji, Teodorova spirala (koja se naziva i spirala kvadratnog korena, Ajnštajnova spirala, Pitagorina spirala ili Pitagorin puž) je spirala sastavljena od pravouglih trouglova, postavljenih od ivice do ivice. Dobila je ime po Teodoru iz Kirene.

Teodorova spirala do trougla sa hipotenuzom od ${\sqrt {17}}$

Konstrukcija

Spirala počinje sa jednakokrakim pravouglim trouglom, pri čemu svaki krak ima jediničnu dužinu . Formira se još jedan pravougli trougao, automedijalni pravougli trougao sa jednim krakom koji je hipotenuza prethodnog trougla (sa dužinom kvadratnim korenom od 2 ), a drugi krak ima dužinu od 1; dužina hipotenuze ovog drugog trougla je kvadratni koren od 3 . Proces se zatim ponavlja; $n$ trougao u nizu je pravougli trougao sa dužinama stranica ${\sqrt {n}}$ i 1, i sa hipotenuzom ${\sqrt {n+1}}$ . Na primer, 16. trougao ima stranice koje se mere $4={\sqrt {16}}$, 1 i hipotenuza od ${\sqrt {17}}$.

Istorija i upotreba

Iako je sav Teodorov rad izgubljen, Platon je Teodora stavio u svoj dijalog Tetet, koji govori o njegovom delu. Pretpostavlja se da je Teodor Teodorove spirale dokazao da su svi kvadratni koreni nekvadratnih celih brojeva od 3 do 17 iracionalni.

Platon ne pripisuje Teodoru iracionalnost kvadratnog korena iz 2, jer je to bilo dobro poznato pre njega. Teodor i Tetet su podelili racionalne i iracionalne brojeve u različite kategorije.

Hipotenuza

Hipotenuze svake od trouglova $h_{n}$ daje kvadratni koren odgovarajućeg prirodnog broja, sa $h_{1}={\sqrt {2}}$ .

Platon, koga je Teodor podučavao, pitao se zašto se Teodor zaustavio ${\sqrt {17}}$ . Obično se veruje da je razlog to što ${\sqrt {17}}$ hipotenuza pripada poslednjem trouglu koji ne preklapa figuru.

Preklapanje

Godine 1958. Kaleb Vilijams je dokazao da se dve hipotenuze nikada neće poklopiti, bez obzira na to koliko se spirala nastavlja. Takođe, ako su stranice jedinične dužine produžene u pravu, one nikada neće proći ni kroz jedan od drugih vrhova ukupne figure.

Produžetak

Obojena produžena Teodorova spirala sa 110 trouglova

Teodor je zaustavio spiralu u trouglu sa hipotenuzom od ${\sqrt {17}}$ . Ako se spirala nastavi na beskonačno mnogo trouglova, naći će se mnogo interesantnijih karakteristika.

Brzina rasta

Ugao

Trougao ili deo spirale

Ako $\varphi _{n}$ je ugao $n$ trougao (ili spiralni segment), onda:

$$\tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.$$

Dakle, rast ugla $\varphi _{n}$ sledećeg trougla $n$ je:

$$\varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).$$

Zbir uglova prvog $k$ trouglova se naziva ukupni ugao $\varphi (k)$ za $k$ th trougao. Raste proporcionalno kvadratnom korenu od $k$, sa ograničenim terminom korekcije $c_{2}$:

$$\varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)$$

gde

$$\lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots$$

Poluprečnik

Rast poluprečnika spirale u određenom trouglu $n$ je

$$\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.$$

Arhimedova spirala

Teodorova spirala se približava Arhimedovoj spirali. Kao što je rastojanje između dva namotaja Arhimedove spirale jednako matematičkoj konstanti $\pi$, kako se broj okreta Teodorove spirale približava beskonačnosti, rastojanje između dva uzastopna namotaja se brzo približava $\pi$. Sledi tabela koja prikazuje dva namotaja spirale koja se približavaju pi:

Broj namotaja:	Izračunato prosečno rastojanje namotaja	Tačnost prosečne udaljenosti namotaja u poređenju sa π
2	3.1592037	99,44255%
3	3.1443455	99,91245%
4	3.14428	99,91453%
5	3.142395	99,97447%
$\to \infty$	$\to \pi$	$\to 100\%$

Kao što je prikazano, nakon samo petog namotaja, udaljenost je 99,97% tačna aproksimacija $\pi$.

Neprekidna kriva

Dejvisov analitički nastavak Teodorove spirale, uključujući proširenje u suprotnom smeru od početka (negativni brojevi čvorova).

Pitanje kako interpolirati diskretne tačke Teodorove spirale glatkom krivom predloženo je i na koje je odgovoreno Davis 2001 po analogiji sa Ojlerovom formulom za gama funkciju kao interpolantom za faktorijalnu funkciju. Davis je pronašao funkciju

$$T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )$$

koju su dalje proučavali njegov učenik Lider i Izerles (u dodatku Davis 2001). Aksiomatska karakterizacija ove funkcije je data u Gronau 2004 kao jedinstvene funkcije koja zadovoljava funkcionalnu jednačinu

$$f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),$$

početno stanje $f(0)=1,$ i monotonost i argumenta i modula; alternativni uslovi i slabljenja se takođe proučavaju u njemu. Alternativni izvod je dat u Heuvers, Moak & Boursaw 2000.

Analitički nastavak Dejvisovog kontinuiranog oblika Teodorove spirale koji se proteže u suprotnom smeru od početka dat je u Waldvogel 2009. Na slici su čvorovi originalne (diskretne) Teodorove spirale prikazani kao mali zeleni krugovi. Plavi su oni, dodani u suprotnom smeru od spirale. Samo čvorovi $n$ sa celobrojnom vrednošću polarnog radijusa $r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}$ su numerisani na slici. Isprekidani krug u koordinatnom početku $O$ je krug zakrivljenosti na $O$.

Vidi još

• Fermaova spirala
• Spisak spirala

Dodatna literatura

• Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press 
• Gronau, Detlef (mart 2004), „The Spiral of Theodorus”, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3): 230—237, JSTOR 4145130, doi:10.2307/4145130 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), „The functional equation of the square root spiral”, Ur.: T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, str. 111—117 
• Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF)