Теодорова спирала
У геометрији, Теодорова спирала (која се назива и спирала квадратног корена, Ајнштајнова спирала, Питагорина спирала или Питагорин пуж)[1] је спирала састављена од правоуглих троуглова, постављених од ивице до ивице. Добила је име по Теодору из Кирене.
Конструкција
уредиСпирала почиње са једнакокраким правоуглим троуглом, при чему сваки крак има јединичну дужину . Формира се још један правоугли троугао, аутомедијални правоугли троугао са једним краком који је хипотенуза претходног троугла (са дужином квадратним кореном од 2 ), а други крак има дужину од 1; дужина хипотенузе овог другог троугла је квадратни корен од 3 . Процес се затим понавља; троугао у низу је правоугли троугао са дужинама страница и 1, и са хипотенузом . На пример, 16. троугао има странице које се мере , 1 и хипотенуза од .
Историја и употреба
уредиИако је сав Теодоров рад изгубљен, Платон је Теодора ставио у свој дијалог Тетет, који говори о његовом делу. Претпоставља се да је Теодор Теодорове спирале доказао да су сви квадратни корени неквадратних целих бројева од 3 до 17 ирационални.
Платон не приписује Теодору ирационалност квадратног корена из 2, јер је то било добро познато пре њега. Теодор и Тетет су поделили рационалне и ирационалне бројеве у различите категорије.
Хипотенуза
уредиХипотенузе сваке од троуглова даје квадратни корен одговарајућег природног броја, са .
Платон, кога је Теодор подучавао, питао се зашто се Теодор зауставио . Обично се верује да је разлог то што хипотенуза припада последњем троуглу који не преклапа фигуру.
Преклапање
уредиГодине 1958. Калеб Вилијамс је доказао да се две хипотенузе никада неће поклопити, без обзира на то колико се спирала наставља. Такође, ако су странице јединичне дужине продужене у праву, оне никада неће проћи ни кроз један од других врхова укупне фигуре.
Продужетак
уредиТеодор је зауставио спиралу у троуглу са хипотенузом од . Ако се спирала настави на бесконачно много троуглова, наћи ће се много интересантнијих карактеристика.
Брзина раста
уредиУгао
уредиАко је угао троугао (или спирални сегмент), онда:
Дакле, раст угла следећег троугла је:
Полупречник
уредиРаст полупречника спирале у одређеном троуглу је
Архимедова спирала
уредиТеодорова спирала се приближава Архимедовој спирали.[1] Као што је растојање између два намотаја Архимедове спирале једнако математичкој константи , како се број окрета Теодорове спирале приближава бесконачности, растојање између два узастопна намотаја се брзо приближава . Следи табела која приказује два намотаја спирале која се приближавају пи:
Број намотаја: | Израчунато просечно растојање намотаја | Тачност просечне удаљености намотаја у поређењу са π |
---|---|---|
2 | 3.1592037 | 99,44255% |
3 | 3.1443455 | 99,91245% |
4 | 3.14428 | 99,91453% |
5 | 3.142395 | 99,97447% |
Као што је приказано, након само петог намотаја, удаљеност је 99,97% тачна апроксимација .[1]
Непрекидна крива
уредиПитање како интерполирати дискретне тачке Теодорове спирале глатком кривом предложено је и на које је одговорено Davis 2001 по аналогији са Ојлеровом формулом за гама функцију као интерполантом за факторијалну функцију. Давис је пронашао функцију
Аналитички наставак Дејвисовог континуираног облика Теодорове спирале који се протеже у супротном смеру од почетка дат је у Waldvogel 2009. На слици су чворови оригиналне (дискретне) Теодорове спирале приказани као мали зелени кругови. Плави су они, додани у супротном смеру од спирале. Само чворови са целобројном вредношћу поларног радијуса су нумерисани на слици. Испрекидани круг у координатном почетку је круг закривљености на .
Види још
уредиРеференце
уреди- ^ а б в г Hahn, Harry K.; Schoenberger, Kay. „The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral”. arxiv.
Додатна литература
уреди- Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
- Gronau, Detlef (март 2004), „The Spiral of Theodorus”, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3): 230—237, JSTOR 4145130, doi:10.2307/4145130
- Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), „The functional equation of the square root spiral”, Ур.: T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, стр. 111—117
- Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF)