Teorema Banaha-Alaoglu

Teorema Banaha-Alaoglu je važno tvrđenje u funkcionalnoj analizi, oblasti matematike. Teorema tvrdi da je zatvorena jedinična lopta u dualnom prostoru normiranog vektorskog prostora kompaktna u slaboj* topologiji. U uobičajenom dokazu, jedinična lopta u slaboj* topologiji se prepoznaje kao zatvoren podskup proizvoda kompaktnih skupova sa topologijom proizvoda. Prema teoremi Tihonova, proizvod je kompaktan, a stoga i jedinična lopta.

Stefan Banah je 1932. objavio dokaz ove teoreme za separabilne normirane vektorske prostore; prvi dokaz u opštem slučaju objavio je 1940. turski matematičar Leonidas Alaoglu.

Teoremu Banaha-Alaouglu su na proizvoljne topološke vektorske prostore uopštili Burbaki. Ovo uopštenje (koje se ponekad naziva i teoremom Burbaki-Alaoglu) glasi

Neka je X topološki vektorski prostor i X* njegov (neprekidni) dualni prostor. Tada je polara U^o ma koje okoline U u X kompaktna u slaboj* topologiji σ(X*,X) na X*.

Dokaz

Prema definiciji polare,

$U^{\circ }=\{\ell \in X^{\star }:|\ell x|\leq 1\,(\forall x\in U)\}$.

Kako je svaka okolina u X gutajuća (prema neprekidnosti množenja skalarima), za svako x ∈ X možemo naći pozitivno γ(x) tako da je $x\in \gamma (x)U$. Posebno je $|\ell x|\leq \gamma (x)$ za sve $x\in X$, $\ell \in U^{\circ }$. Posmatrajmo prostor

$P=\prod _{x\in X}\{\alpha \in {\mathbb {C} }:|\alpha |\leq \gamma (x)\}=\{f:X\to {\mathbb {C} }:|f(x)|\leq \gamma (x)\,(\forall x\in X)\}$

sa topologijom proizvoda σ. Prema teoremi Tihonova, (P,σ) je kompaktan prostor.

Slaba* topologija i topologija nasleđena od σ se poklapaju na U^o. Preostaje da se dokaže da je U^o ⊂ P ∩ X* zatvoren podskup u topologiji σ.

Neka je f funkcija u zatvorenju skupa U^o, i uzmimo proizvoljne x, y ∈ X, skalare a i b i ε > 0. Kako je skup

$P_{f,\epsilon }::=\{p\in P:|p(ax+by)-f(ax+by)|<\epsilon ,\,|p(x)-f(x)|<\epsilon ,\,|p(y)-f(y)|<\epsilon \}$

otvoren u P po definiciji topologije proizvoda, možemo izabrati neko $\ell \in U^{\circ }\cap P_{f,\epsilon }$. Stoga je prema nejednakosti trougla

$|f(ax+by)-af(x)-bf(y)|\leq |\ell (ax+by)-a\ell (x)-b\ell (y)|+|\ell (ax+by)-f(ax+by)|\,$

                                                                                                 $+|a||\ell (x)-f(x)|+|b||\ell (y)-f(y)|<(1+|a|+|b|)\epsilon \,$.

Kako je ε > 0 proizvoljno, sledi da je f linearno preslikavanje. Slično se dokazuje i da je f neprekidno: ako je naime y − x ∈ εU, tada je

$|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-\ell (x)|+|f(y)-\ell (y)|+|\ell (x)-\ell (y)|<3\epsilon .$

Napokon, f ∈ U^o jer je $|f(x)|\leq |\ell (x)|+\epsilon \leq 1+\epsilon$ za sve x ∈ U, dakle i |f(x)| ≤ 1.