Википедија

Topologija (električna kola)

Za druge upotrebe, pogledajte Topologija (višeznačna odrednica).

Topologija elektronskog kola je forma izvedena iz mreže međusobnih veza komponenti kola. Različite specifične vrednosti ili brojčani podaci o kompnentama se smatraju da su ista topologija. Topologija se ne bavi fizičkim prikazom komponenti u kolu niti njihovom pozicijom na dijagramu kola. Ona se bavi samo vezama koje postoje između komponenti. Može postojati mnogo fizičkih prikaza i dijagrama kola koji se svi svode na istu topologiju. Strogo uzevši, zamena komponente komponentom potpuno drugog tipa je i dalje ista topologija. U nekim kontekstima, međutim, ovo se može malo slobodnije opisati kao različite topologije. Na primer, zamena induktora kondenzatorima u niskopropusnom filteru dovodi do visokopropusnog filtera. Ove topologije se mogu opisati kao visokopropusne i niskopropusne topologije mada je topologija mreže identična. Tačniji termin za ove klase objektata (tj. mreže gde je tip komponenti specifikovan ali nije apsolutna vrednost) je prototip mreže. Topologija elektronske mreže je povezana sa matematičkom topologijom naročito, jer mreže koje sadrže samo dvopolarne uređaje imaju topologiju koja se može smatrati primenom teorije grafova. U analizi mreže takvog kola sa topološke tačke gledišta čvorovi mreže su tačke u teoriji grafova, a grane mreže su grane u teoriji grafova. Standardna teorija grafova se može proširiti da bi obuhvatila aktivne komponente i multipolarne uređaje kao što su integrisana kola. Grafovi se mogu koristiti u analizi beskonačnih mreža.

Dijagrami kola uredi

Dijagrami kola u ovom tekstu poštuju uobičajene konvencije elektronike; linije predstavljaju provodnike, popunjeni kružići predstavljaju spojeve provodnika, prazni kružići predstavljaju terminale za povezivanje sa spoljašnjim svetom. U većini slučajeva impedanse su predstavljene pravougaonicima. Praktični dijagram kola bi koristio specifične simbole za otpornike, provodnike, kondenzatore itd, ali topologija se ne bavi tipovima komponenti u mreži pa se umesto toga koristi simbol opšte impedanse. U odeljku o teoriji grafova u ovom tekstu dat je alternativni metod za predstavljanje mreža.

Topološka imena uredi

Mnoga topološka imena se odnose na njihov izgled kada se nacrtaju u obliku dijagrama. Većina kola se može nacrtati na razne načine pa zato imaju različita imena. Na primer, tri kola prikazana na Slici 1.1 sva izgledaju različito ali imaju iste topologije.[1]

 
Figure 1.1. T,Y and Star topologies are all identical

Ovaj primer takođe prikazuje uobičajena topološka obeležja po slovu alfabeta na koje liči. Slova grčkog alfabeta se takođe mogu koristiti na ovaj način P (pi) topologija i ∆ (delta) topologija.

Serijske i paralelne topologije uredi

Za mrežu sa dve grane postoje samo dve moguće topologije: serijska i paralelna. : Serijska i paralelna kola.

 
Slika 1.2 serijske i paralelne topologije sa dve grane

Slika 1.2 serijske i paralelne topologije sa dve grane

 
Slika 1.3 sve ove topologije su identične. Serijska topologija je opšti naziv. Naponski razdelnik ili potencijalni razdelnik se koristi za kola u tu svrhu. L-odeljak je uobičajeno ime za topolgiju u dizajnu filtera.

a mrežu sa tri grane postoje četiri moguće topologije:

 
Slika 1.4 serijske i paralelne topologije sa tri grane

Treba obratiti pažnju na to da je paralelna /serijska topologija drugi način predstavljanja ∆ topologije o kojoj će biti reči kasnije.

Serijske i paralelne topologije mogu da prošire konstrukciju sve većim brojem grana do beskonačnosti. Broj jedinstvenih topologija koje se mogu dobiti iz n grana je 2n-1. Ukupan broj jedinstvenih topologija koji se može dobiti sa ne više od n grana je 2n -1.

Y i ∆ topologije uredi

 
Slika 1.5 Y i ∆ topologije

Y i ∆ su važne topologije u analizi linearne mreže zbog toga što su one najjednostavnije moguće tropolne mreže. Y - ∆ transformacija je moguća za linearna kola. Ova transformacija je važna zato što ima nekih mreža koje se ne mogu analizirati u smislu serijskih i paralelnih kombinacija.

 
'Slika 1.6

Primer ove mreže je slika 1.6, koja se sastoji od Y mreže paralelno vezane sa ∆ mrežom. Recimo da se traži da se izračuna impedansa između dva čvora mreže. U mnogim mrežama ovo se može uraditi samo sukcesivnom primenom pravila za kombinovanje serijskih i paralelnih impedansi. U ovom slučaju to nije moguće jer je Y-∆ transformacija neophodna uz pravila za serijske i paralelne impedanse.

Y topologija se zove još i topologija zvezde. Međutim topologija zvezde može da se odnosi i na opštiji slučaj sa mnogo grana povezanih za jedan čvor, više od tri grane.



Topologija prostih filtera uredi

Glavni tekst: topologija elektronskih filtera

Slika 1.7 uobičajene topologije balansiranih i nebalansiranih filtera. Topologije prikazane na slici 1.7 se najčešće koriste za nacrte filtera i atenuatora. L-odeljak je topološki identičan topologiji potencijalnog razdelnika. T-odeljak je identičan topologiji Y topologije. Π-odeljak je identičan topologije ∆ topologije. Sve ove topologije mogu se videti na svedenom preseku lestvičaste topologije. Duži odeljci bi regularno bili opisani kao lestvičasta topologija. Ove vrste kola su najčeće analizirane i opisane kao dvoulazne mreže.

Topologija mosta uredi

Glavni tekst: kolo mosta


Topologija mosta je važna topologija sa mnogo upotreba i u linearnim i u nelinearnim aplikacijama uključujući među ostalima, ispravljač mosta, Vitstonov most i ekvalizator faze rešetke. Postoji nekoliko načina na koje se ta topologija mosta prenosi na dijagram kola. Prvi prikaz je na slici 1.8 i to je tradicionalno prikazivanje kola mosta. Drugi prikaz jasno prikazuje ekvivalentnost između topologije mosta i topologije izvedene iz serijskih i paralelnih kombinacija. Treći prikaz je poznatiji kao topologija rešetke. Nije baš očigledno da je to topološki ekvivalent. Može se videti da je to zaista tako vizualizujući da se gornji levi čvor pomerio nadesno do vrha gornjeg desnog čvora.


Slika 1.9. prikazano je kolo mosta sa autput ulazom mosta Uobičajeno je zvati mrežu mosta topologijom samo ako se koristi kao dvoulazna mreža sa input i autput ulazima od kojih se svaki sastoji od para dijagonalno suprotnih čvorova. Topologija kutije na slici 1.7 može se smatrati topologijom mosta ali u slučaju filtera input i autput ulazi su po par susednih čvorova. Ponekad unos (ili nulti pokazatelj ) komponente kroz autput ulaz mosta biva uključen u topologiju mosta prikazan na slici 1.9.

Most T i duplo T topologije uredi

Slika 1.10 most T topologija Most T topologija je izvedena iz topologije mosta na način objašnjen u tekstu o Zobelovoj mreži. Postoje mnoge izvedene topologije koje su opisane u istom tekstu. 

слика

Slika 1.11 Postoji takođe duplo T topologija koja ima praktičnu upotrebu tamo gde je potrebno da input i autput dele isti (bazu) terminal. Ovo se može desiti, na primer, zbog toga što su input i autput povezani koaksijalnom topologijom. Povezivanje input i autput terminala nije dozvoljeno kod uobičajene topolgije mosta i zbog toga duplo T se koristi gde bi se most inače bio korišćen za ravnotežu ili primenu nultog merenja. Topologija se često koristi u duplo T oscilatorima kao generator sinusoide. Donji deo slike 1.11 pokazuje duplo T topologiju prepravljenu da bi se istakla veza sa topologijom mosta.

Beskonačne topologije uredi

Lestivičasta topologija može se proširiti bezgranično i često se koristi u dizajnu filtera. Postoje mnoge varijacije lestvičaste topologije od kojih su neke opisane u tekstovima o topologiji elektronskog filtera i filtera kompozitne slike.

Slika 1.3 Antilestvičasta topologija

Balansirani oblik lestivčaste topologije može se videti kao graf jedne strane prizme po proizvoljnom redu. Strana antiprizme pravi topologiju koja je u tom smislu antilestivičasta. Antilestvičasta topologija pronalazi primenu u kolima sa multiplikatorom napona naročito kod Kokroft-Voltonovog generatora. Postoji i punotalasna verzija Kokroft-Voltonovog generatora koja koristi duplu antilestvičastu topologiju.

Beskonačne topologije mogu se formirati i praveći kaskade od više odeljaka nekih jednostavnijih topologija kao što su rešetka ili most T odeljci. Takvi beskonačni lanci odeljaka rešetke pojavljuju se u teorijskim analizama i veštačkim simulacijama prenosnih vodova, ali se retko koriste u praktičnoj primeni kola.

Komponente sa više od dva terminala uredi

Kola koja sadrže komponente sa tri ili više terminala u velikoj meri povećavaju broj mogućih topologija. Suprotno tome broj različitih kola predstavljen topologijom se smanjuje i u mnogim slučajevima se lako razlikuje od topologije čak i kada specifične komponente nisu naznačene.

Slika 1.4 topologija osnovnog pojačivača kao što je obični emiterski bipolarno spojni tranzistorski pojačivač Slika 1.5 balansirani pojačivač kao što je diferencijalni pojačivač

Teorija grafova uredi

Teorija grafova je oblast matematike koja se bavi grafovima. U analizi mreže grafovi se koriste da bi predstavili mrežu koja se analizira. Graf mreže prikazuje samo neke određene aspekte mreže; ti aspekti se odnose na njenu sposbnost povezivanja ili drugim rečima, na njenu topologiju. Ovo može biti korisno predstavljanje i generalizacija mreže zbog toga što su mnoge jednačine mreže nepromenjive za sve mreže sa istom topologijom. Ovo uključuje jednačine izvedene iz Kirhofovih zakona i Telegenove teoreme.

Istorija uredi

Teorija grafova se koristi u analizi mreže za linearne pasivne mreže skoro od trenutka kada su formulisani Kirhofovi zakoni. Gustaf Kirhof lično je 1847. godine, koristio grafove kao apstraktnu predstavu mreže u njegovoj analizi petlje otpornog kola. Ovaj pristup je kasnije generalizovan, dovevši do RLC kola, zamenjujući otpore impedansama. Džejms Klerk Maksvel je 1892. godine, došao do duala ove analize, anlizom čvorova. Maksvel je takođe odgovaran za topologijsku teoremu da je determinanta za matricu admitanse čvora jednaka zbiru proizvoda sve tri admitanse. Anri Poenkare je 1900. godine, uveo predstavljanje grafa matricom impedanse i tako zasnovao polje algebarske topologije. Osvald Veblen je 1916. godine, primenio algebarsku topologiju Poenkarea na Kirhofovu analizu. Veblen je takođe odgovoran za uvođenje razapinjućeg stabla kao pomoći pri odabiranju kompatbilnog skupa promenjivih mreže.

Slika 2.1 dijagram kola lestivčaste mreže niskopropusnog filtera: dvoelementna vrsta mreže. Opsežni popis grafova mreže kako se primenjuju na električna kola počeoje Persi MekMejhon, 1891. godine (sa člankom za inžinjere u listu Električar, 1892) koji je ograničio svoj elaborat na serijske i paralelne kombinacije. MekMejhon je nazvao ove grafove spojni lanci. Ronald Foster je 1932. godine, kategorizovao grafove po njihovom problemu anuliranja ili rangu i došao do karti svih onih sa malim brojem čvorova. Ovaj rad je nastao na osnovu ranijeg Fosterovog elaborata dok je sarađivao sa Džordžom Kempbelom 1920. godine, na četvoroulaznom telefonskom repetiroru i proizveo 83.539 različtih grafova. Dugo je topologija u teoriji električnih kola tretirala samolinearne pasivne mreže. Noviji razvoj poluprovodnih uređaja i kola zahteva nove alate u topologiji da bi ih obradila. Ogroman porast u kompleksnosti kola doveo je do kombinatorike u teoriji grafova da bi se poboljšala efikasnost računarskih proračuna.

Grafovi i dijagrami kola uredi

Slika 2.2 graf jedne lestvičaste mreže prikazane na slici 2.1 sa pretpostavkom da je lestvica sa četiri prečke. Mreže se najčešće klasifikuju po vrsti električnih elemenata koji ih sačinjavaju. Na dijagramu kola ove vrste elemenata se posebno crtaju svaki sa svojim jedisntvenim simbolom. Otporničke mreže su jednoelementne vrste mreža koje se sastoje samo od R elemenata. Tako su kondenzatorske i indukcione mreže jednoelementne mreže. RC, RL LC kola su jednostavne dvoelementne mreže. RLC kolo je najjednostavnija vrsta troelementne mreže. LC lestvičasta mreža se najčešće koristi za niskopropusne filtere i može imati mnogo elemenata ali je i još jedan primer dvoelementne mreže. Suprotno od toga topologija se bavi samo geometrijskim odnosima između elemenata mreže a ne vrstama samih elemenata. Središte topologijske predstave mreže je graf mreže. Elementi su predstavljeni kao grane grafa. Grana se crta kao linija koja se završava sa tačkama ili malim krugovima iz kojih mogu da pođu druge grane (elementi). U analizi kola grane grafa se nazivaju granama. Tačke se nazivaju tačkama grafa i predstavljaju čvorove mreže. Čvor i tačka su termini koji su međusobno zamenjivi kada je reč o grafovima mreža. Slika 2.2 prikazuje predstavu grafa kola sa slike 2.1. Grafovi koji se koriste u analizi mreže su najčešće i usmereni grafovi da bi se pribeležio smer toka i napona struje, i označeni grafovi da bi se pribeležila jedinstvenost grana i čvorova. Na primer graf koji se sastoji od kvadrata grana bi i dalje bio topološki isti graf ako bi dve grane bile međusobno zamenjene osim ako grane nemaju unikatne oznake. U usmerenim grafovima dva čvora koje povezuje grana su označena kao izvorni i ciljni čvor. Najčeše će strelice nacrtane na grani biti usmerene ka njima.

Incidentnost uredi

Glavni tekst: Matrica incidentnosti Incidentnost je jedna od osnovnih osobina grafa. Grana koja je povezana sa tačkom naziva se incidentnom na tačku. Incidentnost grafa može da se prikaže u formi matrice. Matricom koja se zove matrica incidencije. Zapravo, matrica incidencije je alternativa matematičkoj predstavi grafa koja uklanja potrebu za bilo kakvim crtanjem. Redovi matrice odgovaraju čvorovima a kolone matrice odgovaraju granama. Elementi matirce su ili nula ako nema incidencije ili jedan ako postoji incidencija između čvora i grane. Smer usmerenog grafa je obeležen znakom elementa.

Ekvivalentnost uredi

Grafovi su ekvivalentni ako se jedan može transformisati u drugi deformacijom. Deformacija može uključivati operacije translacije, rotacije i refleksije: savijanje i istezanje grana; i ukrštanje ili učvoravanje grana. Dva grafa koja su ekvivalentna uz deformaciju zovu se kongruentnim.

U polju električnih mreža postoje još dve transformacije koje dovode do ekvivalentinih grafova a ne prave kongruentne grafove. Prva od njih je zamena mesta redno vezanih grana. Ovo je dual zamene mesta paralelno vezanih grana koji se može dobiti deformacijom bez potrebe za specijalnim pravilima. Druga je vezana za grafove koji se dele na dva ili više odvojena dela to jest, graf sa dva seta čvorova koji nemaju grane incidentne na čvor svakog seta. Dva tako odvojena dela se smatraju ekvivalentnim grafom sa onim gde su delovi spojeni kombinovanjem čvora iz svakog u jedan čvor. Takođe graf koji može da se podeli na dva odvojena dela deljenjem čvora na dva se takođe smatra ekvivalentnim.

Stabla i veze uredi

Slika 2.3 jedno moguće stablo grafa sa slike 2.2. veze su pokazane isprekidanim linijama Stablo je graf na kojem su svi čvorovi povezani direktno ili indirektno granama ali bez formiranja bilo kakvih zatvorenih petlji. Pošto nema zatvorenih petlji nema ni struje u stablu. U analizi mreže interesuju nas razapinjuća stabla to jest, stabla koja povezuju svaki čvor prisutan na grafu mreže. U ovom tekstu razapinjuće stablo se smatra potpunim stablom osim ako nije drugačije navedeno. Određen graf mreže sadrži nekoliko različitih stabala grane koje se uklanjaju sa grafa da bi se formiralo stablo nazivaju se vezama, grane koje ostaju na stablu zovu se grančice. Za graf sa n čvorova broj grana na svakom stablu t mora biti: formula Važan odnos za analizu kola je: formula gde je b broj grana na grafu a l broj veza uklonjenih da bi se formiralo stablo.

Spojni setovi i preseci uredi

Cilj analize kola je da odredi sve struje i napone grane u mreži. Ove promenjive mreže nisu sve nezavisne. Napon grane je povezan sa strujama grane transfernom funkcijom elemenata od kojih se sastoji. Potpuno rešenje mreže, prema tome, može biti ili vezano samo za struje grane ili samo za napone grane. Nisu ni sve struje grane nezavisne jedna od druge. Minimalni broj struja grana potreban da bi se dobilo rešenje je l. Ovo je posledica činjenice da je sa stabla uklonjeno l veza i da ne može biti struja u stablu. Pošto preostale grane stabla imaju nula struje one ne mogu biti nezavisne od struja veze. Struje grane koje su izabrane kao set nezavisnih promenjivih moraju biti povezane sa vezama stabla: ne može se proizvoljno izabrati l grana. Što se tiče napona grane potpuno rešenje mreže može se dobiti uz t napona grana. Ovo je posledica činjenice da kratak spoj svih grana stabla dovodi do toga da je napon nula svuda. Naponi veze ne mogu prema tome biti nezavisni od napona grane stabla.

Slika 2.4 presek grafa sa slike 2.2 izvednog sa stabla sa slike 2.3 izbacivanjem grane 3.

Uobičajen pristup analize je da rešava za struje petlje pre nego za struje grane. Struje grane se pronalaze preko struje petlje. Opet set struja petlje ne može biti proizvoljno izabran. Da bi se mogao garantovati set nezavisnih promenjivih struje petlje moraju biti one koje su povezane sa određenim setom petlji. Ovaj set petlji sastoji se od onih petlji koje su formirane zamenjivanjem jedne veze određenog stabla grafa analiziranog kola. Pošto se zamenjivanjem jedne veze na stablu formira tačno jedna jedinstvena petlja broj struji petlje tako dobijen je jednak l. Termin petlja nema isto značenje kao termin petlje u teoriji grafa. Set grana koje formiraju određenu petlju se zove spojni set. Set jednačine mreže se formira izjednačavanjem struja petlje sa algebarskim zbirom struja spojnog seta grana. Moguće je izabrati set nezavisnih struja petlji koji se ne odnosi na stabla i spojne setove. Dovoljan, ali ne i neophodan uslov za izbor seta nezavisnih petlji je obezbeđivanje da svaka izabrana petlja uključuje bar jednu granu koja nije prethodno uključena u već izabrane petlje. Naročito jednostavan izbor je taj da se koristi analiza podmreže u kojoj su sve izabrane petlje podmreže. Analiza podmreže može da se primeni samo ako je moguće iscrtati graf na ravan ili sferu bez grana koje se ukrštaju. Takvi grafovi se zovu planarni grafovi. Mogućnosti iscrtavanja na ravan ili sferu su ekvivalentni uslovi. Bilo koji konačni graf iscrtan na ravan može biti smanjen da bi mogao biti nacrtan na mali region sfere.

Obrnuto, podmreža bilo kog grafa iscrtanog na sferu može se istegnuti sve dok unutrašnji prostor ne pokrije skoro celu sferu. Ceo graf onda zauzima samo malu oblast sfere. Ovo je isto kao i u prvom slučaju, prema tome graf će takođe biti nacrtan na ravan. Postoji pristup izbora promenjivih mreže sa naponima koji je analogan i dualan metodu struje petlje. Ovde naponi povezani sa parovima čvorova su primarne promenjive i naponi grane se izvode u tom smislu. I u ovom metodu određeno stablo grafa mora biti izabrano da bi se osiguralo da su sve promenjive nezavisne.


Dual spojnog seta je presek. Spojni set se formira dozvoljavajući svim osim jedne veze grafa da bude otvoreno kolo. Presek se formira dozvoljavajući svim osim jedne grane stabla da bude kratak spoj. Presek se sastoji od grane stabla koja nema kratak spoj i bilo koja od veza koje nemaju kratak spoj zbog ostalih grana stabla. Presek grafa daje dva razdvojena podgrafa tj on seče graf na dva dela, i on je minimalni set grana potrebnih za to. Set jednačina mreže se formira izjednačavanjem napona para čvorova sa algebarskim zbirom preseka napona grana. Dual posebnog slučaja analize podmreže je analiza čvora.

Anuliranje i rang uredi

Anuliranje N nekog grafa sa s odvojenim delovima i b granama se definiše;

Anuliranje grafa predstavlja broj stepeni slobode njegovog seta jednačina mreže. Za planarni graf nulti broj je jednak broju podmreža u grafu. Rang R grafa je definisan; formula Rang igra istu ulogu u analizi čvora kao anuliranje u analizi podmreže. To da znači on daje broj jednačina napona čvora koji je potreban.

Rešavanje promenjivih mreža uredi

Jednom kada se odabere set geometrijski nezavisnih promenjivih stanje mreže se izražava preko njih. Rezultat je set nezavisnih linearnih jednačina koje treba da se reše istovremeno da bi se našle vrednosti promenjivih mreža. Ovaj set jednačina može biti izražen u formi matrice što vodi do karakterističnog parametra matrice za mrežu. Parametarske matrice uzimaju oblik matrice impedanse ako su jednačine formirane na osnovu analize petlje ili kao matrica admitanse. Ako su jednačine formirane na osnovu analize čvora. Ove jednačine se mogu rešavati na nekoliko poznatih načina. Jedan metod je sistematična eliminacija promenjivih. Drugi metod uključuje upotebu determinanti. Ovo je poznato kao Kramerovo pravilo i pruža direktan izraz za nepoznate promenjive u formi determinanti. Ovo je korisno jer pruža kompaktan izraz rešenja. Međutim, za bilo šta više od najtrivijalnijih mreža potreban je veći napor pri izračunavanju za ovaj metod kada se radi ručno.

Dualnost uredi

Dva grafa su dualna kad je odnos između grana i parova čvora u jednom isti kao i odnos između grana i petlji u drugom. Dual grafa može u potpunosti biti izveden grafičkom metodom. Dual grafa je takođe graf. Na određenom stablu grafa komplementarni set grana (tj grane koje nisu na stablu) formiraju stablo na dualnom grafu. Set jednačine struje petlje povezane sa spojnim setovima originalnog grafa i stablo su identični setu jednačina napona para čvorova povezanih sa presekom dualnog grafa. Sledeća tabela navodi koncepte duala u topologiji vezane za teoriju kola.


Slika 2.5 Dualni graf grafa na slici 2.2


Dual stabla se ponekad zove lavirint. On se sastoji od polja povezanih vezama na isti način na koji se stablo sastoji od čvorova povezanih granama stabla.

Duali se ne mogu formirati za svaki graf. Dualnost zahteva da svaki spojni set ima dualni presek na dualnom grafu. Ovaj uslov se ispunjava samo i jedino ako graf može biti nacrtan na sferu bez ukrštenih grana. Da bi se ovo videlo, obratite pažnju da se od spojnog seta zahteva da “razdvoji“ graf na dva dela, a od njegovog duala, preseka se zahteva da preseče graf na dva dela. Graf konačne mreže koji ne može da se nacrta na sferu će zahtevati n-struki torus. Spojni set koji prolazi kroz rupu u torusu neće uspeti da spoji graf u dva dela. Kao posledica toga dualni graf neće moći da bude presečen na dva dela i neće sadržati odgovarajući presek. Zbog toga samo planarni grafovi imaju duale. Duali takođe ne mogu biti formirani za mreže koje sadrže međusobnu indukciju pošto nema odgovarajući kondenzatorski element. Ekvivalentna kola mogu biti napravljena a da nemaju duale, ali dual ne može biti napravljen iz međusobne indukcije direktno.

Eliminacija čvora i podmrež uredi

Operacije na setu jednačina mreže imaju topološko značenje koje može pomoći vizuelizaciji onoga što se događa. Eliminacija napona čvora iz seta jednačina mreže odgovara topološki eliminaciji tog čvora iz grafa. Za čvor koji je povezan sa tri druga čvora to odgovara dobro poznatoj Y-∆ transformaciji. Transformacija može biti proširena na veći broj povezanih čvorova i onda je poznata kao transformacija podmreže u obliku zvezde.

Inverzija ove transformacije je transformacija ∆-Y što analitički odgovara eliminaciji struje podmreže i topološki odgovara eliminaciji podmreže. Međutim, eliminacija struje podmreže gde podmreža ima grane zajedničke sa proizvoljnim brojem drugih podmreža neće uopšteno rečeno dovesti do izvodljivog grafa. Ovo je zbog toga što je graf transformacija opšte zvezde graf koji neće biti nacrtan na sferu (on sadrži poligon zvezde i prema tome višestruko ukrštanje). Dual takvog grafa ne može da postoji ali je to graf neophodan da se predstavi uopšteno eliminisanje podmreže.

Međusobna sprega uredi

Slika 2.6 duplo podešeno kolo često se koristi za fazu sprege rezonantnog pojačivača. A, graf duplo podešenog kola. B ekvivalentni graf sa razdvojenim kombinovanim delovima. Nema načina da se eksplicitno predstavi međusobna induktivna sprega na konvencionalnoj grafnoj predstavi kola, kao što je to slučaj u transfromatoru, i takve komponente mogu dovesti do nevezanog grafa sa više od jednog odvojenog dela. Za potrebe analize, graf sa više delova može se kombinovati u jedan graf sjedinjavanjem jednog čvora iz svakog dela u jedinstven čvor. Ovo ne predstavlja razliku u teoretskom ponašanju kola, pa je analiza izvedena iz toga i dalje validna. Međutim, u praksi bi postojala razlika jer bi kolo upotrebljeno na ovaj način uništilo izolaciju između delova. Primer bi bio transformator uzemljen i na primarnoj i na sekundarnoj strani. Transformator i dalje funkcioniše kao transfromator sa istim opsegom napona ali sada ne može više da bude korišćen kao transformator izolacije.

Novije tehnike u teoriji grafa mogu da se bave aktivnim komponentama koje su takođe problematične u konveniconalnoj teoriji. Ove nove tehnike takođe mogu da se bave međusobnom spregom.

Aktivne komponente uredi

Postoje dva osnovna prilaza dostupna za rad na međusobnoj sprezi i aktivnim komponentama. U prvom od njih, Semjuel Džeferson Mejson je 1953. godine, uveo grafove toka signala. Grafovi toka signala su težinski, usmereni grafovi. On ih je koristio da analizira kola koja sadrže međusobnu spregu i aktivne mreže. Težina usmerene grane na ovim grafovima predstavlja pojačanje isto kao kod pojačivača. Uopšteno, grafovi toka signala za razliku od uobičajenih usmerenih grafova opisanih gore ne odgovaraju topolgiji fizičkog rasporeda komponenti. Drugi pristup je da se proširi klasičan metod tako da uključuje međusobne sprege i aktivne komponente. Nekoliko metoda je predloženo da bi se to postiglo. U jednom od njih dva grafa se konstruišu, jedan predstavlja struje u kolu a drugi predstavlja napone. Pasivne komponente će imati identične grane na oba stabla ali aktivne komponente možda neće. Metod se oslanja na pronalaženje razapinjućih stabala koja su zajednička za oba grafa. Alternativni metod je proširenje klasičnog pristupa što zahteva samo jedan graf i bio je predložen od strane Čena 1965. Čenov metod se zasniva na korenskom stablu.

Hipergrafovi uredi

Drugi način proširenje klasične teorije grafa za aktivne komponente je kroz upotrebu hipergrafova. Neke elektronske komponente nisu predstavljene u regularnoj upotrebi grafova. Tranzistor ima tri konekcione tačke, ali normalna grana grafa može da poveže samo dva čvora. Moderna integrisana kola imaju mnogo više veza. Ovaj problem može da se prevaziđe korišćenjem hipergrafova umesto običnih grafova.


Slika 2.7 primer hipergrafa. Uobičajene grane su prikazane crnom bojom, hiper grane su prikazane plavom, a pipci su prikazani crvenom. U konvencionalnom predstavljanju komponente su prikazane granama, od kojih svaka spaja dva čvora. Na hipergrafu komponente su prikazane hipergranama koje mogu da spajaju proizvoljan broj čvorova. Hipergrane imaju pipke koji povezuju hipgrane sa čvorovima. Grafički prikaz hipergrane može biti kutija (u poređenju sa granom koja je linija) a prikaz njenih pipaka su linije od kutije do povezanih čvorova. Na usmerenom hipergrafu pipci imaju oznake određene oznakom hipergrane. Konvencionalni usmereni graf može se smatrati hipergrafom sa hipergranama od koje svaka ima dva pipka. Ova dva pipka su obeležena kao izvor i cilj i najčešće na njih ukazuje strelica. Za uopšteni hipergraf sa više pipaka potrebno je kompleksnije obeležavanje. Hipergrafovi mogu biti opisani njihovim matricama incidencije. Uobičajeni graf koji sadrži samo dvopolarne komponente imaće samo tačno dva unosa u svaki red matrice koji nisu nula. Bilo koja matrica incidencije sa više od dva unosa koji nisu nula u bilo kom redu predstavlja hipergraf. Broj unosa koji nisu nula u redu je rang odgovarajuće grane a najviši rang grane je rang matrice incidencije.

Nehomogene promenjive uredi

Klasična analiza mreže razvija set jednačina mreže čije su promenjive mreže homogene za svaku struju (analiza petlje) ili napon (analiza čvora). Set promenjivih mreže tako dobijen nije neophodno minimum neophodan da se dobije set nezavisnih jednačina. Može postojati razlika između broja promenjivih u analizi petlje i analizi čvora. U nekim slučajevima najmanji mogući broj može biti manji od bilo kog od ovih brojeva, ako je uslov homogenosti fleksibilan i ako je dozvoljeno mešanje promenjivih struja i napona. Rezultat Kišija i Katađinija iz 1967, je da se apsolutni minimalni broj promenjivih neophodan da se opiše ponašanje mreže izvodi iz maksimalne razdaljine između bilo koje dve razapinjuće šume grafa mreže.

Sinteza mreže uredi

Teorija grafa može biti primenjena na sintezu mreže. Klasična sinteza mreže realizuje potrebnu mrežu u jednoj od nekoliko utvđenih formi. Primeri utvrđenih formi su realizacija pokretača impedanse po Kauerovoj lestvičavoj mreži ili Fosterovoj utvrđenoj formi ili Brunovoj realizaciji imitance iz njegovih pozitivno-realnih funkcija. Topološki metodi s druge strane, ne kreću od date utvrđene forme. Kod njih forma je pre rezultat matematičkog predstavljanja. Neke utvrđene forme zahtevaju međusobnu indukciju da bi se realizovale. Veliki cilj topoloških metoda sinteze mreže je da eliminiše potrebu za ovim međusobnim indukcijama. Jedna teorema proistekla iz topologije je da realizacija pokretanja impedanse bez međusobne sprege bude minimalna ako i samo ako ne postoje petlje koje se sastoje samo od induktora ili samo od kondenzatora. Teorija grafa je najsnažnija u sintezi mreže kada elementi mreže mogu biti predstavljeni realnim brojevima (jednoelementne vrste mreža kao što su otporničke mreže) ili binarnim izrazima (kao što su prekidačke mreže).

Beskonačne mreže uredi

Možda je najstarija mreža sa beskonačnim grafom koja je proučavana bila lestvičasta mreža korišćena da se predstave razvijene transmisione linije u njenoj konačnoj formi od strane Olivera Hevisajda 1881. Sigurno su rana proučavanja beskonačnih mreža bila ograničena na periodične strukture kao što su lestivce ili rešetke sa istim elementima koji se neprestano ponavljaju. Tek krajem dvadesetog veka alati za analiziranje beskonačnih mreža sa proizvoljnom topologijom su postali dostupni. Beskonačne mreže su uglavnom stvar teorijskog ineteresovanja i igračke su matematičara. Beskonačne mreže koje nisu ograničene granicama stvarnog sveta mogu da imaju neka nefizička svojstva.

Na primer, Kirhofovi zakoni mogu da omanu u nekim slučajevima i beskonačne lestvice otpornika se mogu odrediti pokretanjem impedanse koje zavisi od terminacije u beskonačnosti. Još jedno nefizičko svojstvo teoretski beskonačnih mreža je da uopšteno one rasipaju beskonačnu energiju osim ako se na njih ne stave stege uz dodatne uobičajene zakone mreže kao što su Omovi i Kirhofovi zakoni. Međutim, postoje i neke primene u stvarnom svetu. Primer transmisione linije je jedan iz klase praktičnih problema koji može biti oblikovan od strane infinitezimalnih elemenata (model rasutih elemenata). Drugi primeri su pokretanje talasa u kontinuiranom medijumu, problemi ivičnog polja i merenja otpora između tačaka podloge ili produbljivanje. Transfintitne mreže proširuju ideju beskonačnih mreža još više. Čvor na krajnjem delu beskonačne mreže može da ima još jednu granu s njim povezanu koja vodi do sledeće mreže. Ova sledeća mreža može i sama da bude beskonačna. Prema tome topologije mogu biti konstruisane tako da imaju par čvorova bez konačnih puteva između njih. Takve mreže beskonačnih mreža se zovu transfinitne mreže.

Notacija uredi

1 idi na ̂ Spojni lanac. Terminologija sastavljena od strane Artura Kejlija. Spojevi su grane u paralelnoj vezi, lanci su grane u serijskoj vezi (MekMejhon 1891, str 330). Posebna grana se može smatrati ili spojem ili lancem.

2 idi na ̂ Spojni set. Termin spojni set je osmislio Ernst Giljemin (Giljemin, str xv). Giljemin kaže da je ime izabrano zato što ako se grane spojnog seta smanje na nultu dužinu graf bi postao “razvezan“ kao ribarska mreža sa poteznom petljom (Giljemin, str 17). Giljemin je bio vodeća figura u razvoju i podučavanju o analizi linearne mreže (Vajlds i Lindgren, str 154-159).

3 idi na ̂ Podmreža. Podmreža je petlja koja ne obuhvata bilo koju drugu petlju.

4 idi na ̂ Lavirint. Ovaj termin je još jedna kovanica od strane Giljemina (Giljemin, str xv). Tako je nazvan zbog toga što polja na grafu bivaju presecana vezama i izgledaju kao lavirint.

5 idi na ̂ Čen, Vai-Kai, “Topološka analiza za aktivne mreže“, IEEE Transakcija teorije kola, vol 13, četvrto izdanje, str 438-439, decembar, 1966. 6 idi na ̂ kratak sadržaj ovog dela je prvo prezentovan u: Kiši, Genja; Kađitani, Jodži “ O maksimalno izraženim stablima“, Peta godišnja Alerton konferencija o teoriji kola i sistema, str 635-643, 1967. Pogledaj deo bibliografije gde se nalazi ceo rad objavljen kasnije 1969. 7 idi na ̂ Razmak između stabala se definiše kao broj grana koje su na jednom stablu ali nisu na drugom. Tj. to je broj grana koji se mora promeniti da bi se jedno stablo transformisalo u drugo (Kiši i Kađitani, str 323) 8 idi na ̂ Razapinjuće šume. Šuma stabala u kojoj je svaki čvor grafa u kontaktu sa jednim od stabala.

Reference uredi

  1. ^ Guillemin 1953, str. 5–6.

Literatura uredi

Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Топологија_(електрична_кола)&oldid=27431314”