Елиптични координатни систем

Елиптични координатни систем је дводимензионални координатни систем, у ком су координатне линије представљене елипсама и хиперболама. Фокуси елипси су фиксирани на и на оси .

Елиптични координатни систем

Основна дефиниција

уреди

Елиптичне координате   обично се дефинишу као:

 
 

где је   ненегативан реалан број, а   На тај начин следећим тригонометријским идентитеом одређује се фамилија елипси константнога  :

 

С друге стране другом једначином одређује се фамилија хипербола константнога  :

 

Ламеови коефицијенти

уреди

У ортогоналном координатном систему дужине вектора базе познате су као фактори скалирања или као Ламеови коефицијенти, који су за елиптичне координате:

 

а након сређивања као:

 

Елеменат површине дат је са:

 

а Лапласијан:

 

Алтернативна дефиниција

уреди

Понекад се користи и алтернативна дефиниција елиптичних координата  :

 
 

Координате   имају једноставан однос са удаљеностима   од фокуса   и  .

 
 

На тај начин добија се и:

 
 

Тај координатни систем има недостатак да координате (x,y) и (x,-y) имају исти  , па конверзија није једнозначна:

 
 

Ламеови коефицијенти алтернативне верзије

уреди

Ламеови коефицијенти алтернативних елиптичних координата   су:

 
 

Елеменат површине дат је са:

 

а Лапласијан је:

 

Литература

уреди
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.

Види још

уреди