Centripetalna sila

Centripetalna sila (od latinskih reči centrum, „centar” i petere, „tražiti”) je sila koja uzrokuje da telo sledi zakrivljenu putanju. Njen pravac je uvek ortogonalan na vektor brzine tela u datoj tački i usmeren je prema centru zakrivljenosti putanje.

Na telo koje se kreće po kružnici deluje centripetalna sila koja je usmerena duž poluprečnika kruga tački na kružnici u kojoj se telo u tom trenutku nalazi ka centru kružnice.

Najjednostavniji slučaj delovanja centripetalne sile je kružno kretanje u kojem se telo kreće konstantnom brzinom po kružnici. Centripetalna sila je u ovom slučaju usmerena duž poluprečnika kruga od tačke u kojoj se telo u datom trenutku nalazi ka centru kruga.

Matematički opis kretanja tela po kružnoj putanji izveo je holandski fizičar Kristijan Hajgens 1659. godine. Isak Njutn je centripetalnu silu opisao kao „silu kojom se tela povlače ili prisiljavaju, ili na bilo koji način teže ka tački kao centru”. U Njutnovoj mehanici, sila gravitacija je centripetalna sila koja je odgovorna za orbitalna kretanja planeta, satelita, itd.

Snop elektrona zakrivljen magnetnim poljem koje u ovom slučaju ima ulogu centripetalne sile. Elektroni se nalaze u posudi ispunjenoj gasom i u sudaru sa molekulima gasa emituje se svetlost ljubičaste boje, tako da ona ocrtava trajektoriju kretanja elektrona.

Pojam centrifugalne sile se objašnjava preko centripetalne sile. Centripetalna sila je realna sila koja deluje na telo pri kružnom kretanju gledano iz stacionarnog inercijalnog sistema referencije. U pokretnom neinercijalnom sistemu referencije vezanom za telo koje rotira, ne vidi se centripetalna sila, ali da bi se objasnilo kretanje tela uvodi se centrifugalna sila koja ima isti intenzitet i pravac kao centripetalna sila, ali je suprotnog smera u odnosu na centripetalnu silu i usmerena je od centra zakrivljene putanje ka telu.

Formula

Centripetalna sila koja deluje na objekt mase m koji se kreće po kružnici je zadata Drugim Njutnovim zakonom:

$F_{c}=ma_{c}$

gde je $a_{c}$ centripetalno ubrzanje koje se za telo koje se kreće tangencijalnom brzinom v duž puta radijusa zakrivljenosti r može izračunati kao:

$a_{c}={\frac {v}{t}}{\hat {r}}={\frac {r\omega }{t}}{\hat {r}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}$

tako da za centripetalnu silu važi:

$F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}$

$$a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}$$

gde je $\Delta {\textbf {v}}$ razlika između vektora brzine. Pošto vektori brzine u gornjem dijagramu imaju konstantnu veličinu i pošto je svaki okomit na svoj odgovarajući vektor položaja, jednostavno oduzimanje vektora podrazumeva dva slična jednakokraka trougla sa kongruentnim uglovima – jedan koji sadrži osnovu od $\Delta {\textbf {v}}$ i dužinu noge od $v$, a drugi osnovu od $\Delta {\textbf {r}}$ (razlika u vektoru položaja) i dužina noge od $r$:

$${\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}$$

$$|\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|$$

Stoga, $|\Delta {\textbf {v}}|$ može se zameniti sa ${\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|$:

$$a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}$$

pravac sile je ka centru kružnice u kojoj se objekat kreće, odnosno oskulirajućim krugom (krug koji najbolje odgovara lokalnoj putu, ako putanja nije kružna). Brzina u formuli je na kvadrat, tako da je za dvostruku brzinu potrebna četiri puta veća sila. Inverzni odnos sa radijusom krivine pokazuje da je za pola radijalnog rasta potrebna dvostruko veća sila.

Centripetalna sila izražena preko ugaonih veličina

Centripetalna sila se ponekad izražava preko ugaone brzine objekta ω koji rotira oko centra kruga. Ugaona brzina je vezana za tangencijalnu brzinu formulom

$v=\omega r$

tako da je centripetalna sila preko ugaone brzine izražena kao:

$F_{c}=mr\omega ^{2}\,.$

Centripetalna sila se za periodična kretanja može izraziti i preko perioda T , odnosno vremena potrebnom da telo napravi pun obrt oko centra kruga. Kako je veza između ugaone brzine i perioda $\omega ={\frac {2\pi }{T}}\,$, jednačina za centripetalnu silu postaje:

$F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.$

Centripetalna sila kod relativističkog kretanja

U akceleratorima čestica, brzina čestica može biti veoma visoka (uporediva sa brzinom svetlosti u vakuumu). Za kretanje kod tako velikih relativističkih brzina ne važi klasična mehanika, već se mora koristiti fizika specijalne relativnosti.

Izraz za centripetalnu silu pri relativističkom kretanju je:

$F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}=\gamma mv\omega$

gde je

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Lorencov faktor.

Izvori

Telo koje ima ravnomerno kružno kretanje zahteva centripetalnu silu, prema osi kao što je prikazano, da zadrži svoju kružnu putanju.

U slučaju predmeta koji se ljulja oko kraja užeta u horizontalnoj ravni, centripetalna sila na predmet se obezbeđuje zatezanjem užeta. Primer užeta je primer koji uključuje silu 'povlačenja'. Centripetalna sila se takođe može isporučiti kao sila 'guranja', kao na primer u slučaju kada normalna reakcija zida obezbeđuje centripetalnu silu za zid smrti ili vozača rotora.

Njutnova ideja o centripetalnoj sili odgovara onome što se danas naziva centralnom silom. Kada je satelit u orbiti oko planete, gravitacija se smatra centripetalnom silom iako je u slučaju ekscentričnih orbita gravitaciona sila usmerena ka fokusu, a ne prema trenutnom centru zakrivljenosti.

Drugi primer centripetalne sile nastaje u spirali koja se nalazi kada se naelektrisana čestica kreće u uniformnom magnetnom polju u odsustvu drugih spoljnih sila. U ovom slučaju, magnetna sila je centripetalna sila koja deluje prema osi spirale.

Primeri

Za telo koje pomoću užeta rotira u horizontalnoj ravni, u ulozi centripetalne sile koja izaziva kružno kretanje tela je sila zatezanja užeta. U ovom slučaju centripetalna sila je sila povlačenja. Centripetalna sila može biti pružena i kao sila guranja, kao u slučaju kada normalna reakcija zida pruža centripetalnu silu vozaču na zidu smrti.

Kada naelektrisana čestica uđe u uniformno magnetno polje pod pravim uglom u odnosu na pravac polja, magnetna sila će biti centripetalna sila za naelektrisanu česticu i u odsustvu drugih spoljašnjih sila, čestica će se kretati po spirali oko magnetnog polja. Kada naelektrisana čestica izgubi svoju brzinu, kretaće se po kružnici oko ose magnetnog polja.

Vidi još

• Centrifugalna sila
• Ugaona brzina

Literatura

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th изд.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4. 
• Centripetal force vs. Centrifugal force, from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District
• Lanczos, Cornelius (1970). The variational principles of mechanics (4th изд.). New York: Dover Publications Inc. Introduction, pp. xxi–xxix. ISBN 0-486-65067-7. 
• Synge, J. L. (1960). „Classical dynamics”. Ур.: Flügge, S. Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie. Encyclopedia of Physics / Handbuch der Physik. 2 / 3 / 1. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-02547-4. OCLC 165699220. doi:10.1007/978-3-642-45943-6. 
• Arnolʹd, VI (1989). Mathematical methods of classical mechanics (2nd изд.). Springer. Chapter 8. ISBN 978-0-387-96890-2. 
• Doran, C; Lasenby, A (2003). Geometric algebra for physicists. Cambridge University Press. стр. §12.3, pp. 432–439. ISBN 978-0-521-71595-9. 
• Merrifield, Michael. „γ – Lorentz Factor (and time dilation)”. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. 
• Merrifield, Michael. „γ2 – Gamma Reloaded”. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. 
• Gomez, R W; Hernandez-Gomez, J J; Marquina, V (25. 7. 2012). „A jumping cylinder on an inclined plane”. Eur. J. Phys. IOP. 33 (5): 1359—1365. Bibcode:2012EJPh...33.1359G. S2CID 55442794. arXiv:1204.0600 . doi:10.1088/0143-0807/33/5/1359. Приступљено 25. 4. 2016. CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Spoljašnje veze

• Notes from University of Winnipeg
• Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University; see also home page
• Notes from Britannica
• Notes from PhysicsNet
• NASA notes by David P. Stern
• Notes from U Texas.
• Analysis of smart yo-yo
• The Inuit yo-yo
• Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL)