Парсевалова теорема

У математици, Парсевалова теорема [1] обично се односи на резултат да је Фуријеова трансформација унитарна ; односно, да је сума (или интеграл) квадрата функције једнака збиру (или интегралу) квадрата његове трансформације. Она потиче из теореме из 1799. године о серијама Марка-Антоана Парсевала, која је касније примењена на Фуријеов ред . Позната је и као Рајлехова енергетска теорема, или Рајлехов идентитет, након Џона Вилијама Страта, лорда Рајлеха. [2]

Иако се термин „Парсевалова теорема“ често користи за описивање унитарности било које Фуријеове трансформације, посебно у физици, најчешћи облик овог својства се правилније назива Планшерелова теорема . [3]

Доказ Парсевалове теоремеУреди

Претпоставимо да су   и   две квадратне интеграбилне (у погледу Лебегове мере), функције сложене вредности на   периоде   са Фуријеовим редом

 

и

 

респективно. Онда

 

 

 

 

 

(Eq.1)

где   је имагинарна јединица, а хоризонталне цртице означавају сложену конјугацију .

Више уопштено, дата као абелова локална компактна група G са дуалношћу по Понтрагјину G^, Парсевалова теорема каже да Понтрагјин-Фуријеова трансформација јесте унитарни оператер између Хилбертових простора L2 (G) и L2 (G^) (с интеграција је против одговарајуће умањене Харове мере на две групе.) Када је G јединични круг Т, G^ су цели бројеви и то је случај који је горе разматран. Када је G права линија  , G^ је такође   а унитарна трансформација је Фуријеова трансформација на стварној линији. Када је G циклична група Zn, поново је самодуална, а Понтрагјин-Фоуријева трансформација је оно што се у примењеним контекстима назива дискретном Фуријевом трансформацијом .

Парсевалова теорема се такође може изразити на следећи начин: Претпоставимо да је   квадратна интеграбилна функција   (тј.   и   су интегрисани на том интервалу), са Фуријеовим редом

 

Тада [4] [5] [6]

 

Нотација коришћена у физициУреди

У физици и инжењерству, Парсевалова теорема се често пише као:

 

где   представља континуирану Фуријеову трансформацију (у нормализованом, унитарном облику) од  , а   је фреквенција у радијанима у секунди.

Тумачење овог облика теореме је да се укупна енергија сигнала може израчунати сабирањем снаге по узорку током времена или спектралне снаге по фреквенцији.

За дискретне временске сигнале, теорема постаје:

 

где   јесте дискретна Фуријеова трансформација (ДТФТ) од   и   представља угаону фреквенцију (у радијанима по узорку) од   .

Алтернативно, за дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ), однос постаје:

 

где   јесте ДФТ од  , обе дужине   .

Види јошУреди

Парсевалова теорема уско је повезана са осталим математичким резултатима који укључују унитарне трансформације:

НапоменеУреди

  1. ^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).
  2. ^ Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.
  3. ^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.
  4. ^ Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. стр. 439. 
  5. ^ Wilfred Kaplan (1991). Advanced Calculus (4th изд.). Reading, MA: Addison Wesley. стр. 519. ISBN 0-201-57888-3. 
  6. ^ Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series . Превод: Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. стр. 119. 

РеференцеУреди

  • Парсевал, МацТутор архива историје математике .
  • Георге Б. Арфкен и Ханс Ј. Вебер, Математичке методе за физичаре (Харцоурт: Сан Диего, 2001).
  • Хуберт Кеннеди, Осам математичких биографија (Перемптори Публицатионс: Сан Францисцо, 2002).
  • Алан В. Оппенхеим и Роналд В. Сцхафер, 2. издање дискретне обраде сигнала (Прентице Халл: Уппер Саддле Ривер, Њ, 1999) стр. 60.
  • Виллиам МцЦ. Сиеберт, Цирцуитс, Сигналс, анд Системс (МИТ Пресс: Цамбридге, МА, 1986), стр. 410–411.
  • Давид В. Каммлер, Први курс у Фоуриеровој анализи (Прентице-Халл, Инц., Река Горње седло, Њ, 2000) стр. 74.

Спољашње везеУреди