Jednačina stanja idealnog gasa

Jednačina stanja idealnog gasa je jednačina stanja teoretskog idealnog gasa. Ona uz nekoliko ograničenja relativno dobro opisuje ponašanja mnogih realnih gasova, pod različitim uslovima. Ovaj zakon je prvi objavio Emil Klaperon 1834. godine, kombinujući Bojl-Mariotov zakon i Čarlsov zakon. Ona se isto tako može izvesti iz kinetičke teorije gasova, koju su razvili 1856. Avgust Kronig i 1857. Rudolf Klauzijus.[1][2][3]

Krive prikazuju odnos između pritiska (vertikalna osa) i zapremine (horizontalna osa) za idealni gas na različitim temperaturama

Stanje neke količine gasa se može odrediti sa pritiskom, zapreminom i temperaturom. Noviji oblik tog zakona je:

gde je: p – apsolutni pritisak gasa (Pa), V – zapremina gasa (m3), N – broj čestica u gasu, kBolcmanova konstanta (1,38•10−23 J•K−1) i T - apsolutna temperatura (K). Ponekad se može pisati kao:

gde je: n – broj molova gasa, R – univerzalna gasna konstanta (8,314472 J•mol−1• K−1), jednaka umnošku Bolcmanove konstante i Avogadrovog broja.

JednačinaУреди

Stanje količine gasa je određeno njegovim pritiskom, zapreminom i temperaturom. Moderni oblik jednačine jednostavno povezuje ove veličine u dva osnovna oblika. Temperatura korištena u jednačini stanja je apsolutna temperatura: u SI sistemu mernih jedinica, izražena u Kelvinima.[4]

Opšti oblikУреди

Najčešće korišten oblik je

 

gde

U SI jedinicama, P se meri u paskalima, V se meri u kubnim metrima, n se meri u molovima, i T u Kelvinima. R ima vrednost 8,314 J/K·mol ili 0,08206 L·atm/ mol·K.

Molarni oblikУреди

Koliko je gasa prisutno se može specifirati dajući masu umesto hemijske količine materije gasa. Zato, alternativni oblik idealnog gasnog zakona ima svoju primenu. Hemijska količina (n (u molovima)) je jednaka masi (m (u gramima)) podeljenoj sa molarnom masom (M (u gramima po molu)):

 

Zamenjujući n sa m/M, i uvodeći gustinu ρ = m/V, dobija se:

 
 

Definišući specifičnu gasnu konstantu Rspecif. kao odnos R/M,

 

Ovaj oblik idealnog gasnog zakona je veoma koristan zato što povezuje pritisak, gustinu, i temperaturu u jedinstvenoj formuli nezavisnoj od količine gasa koji se posmatra. Alternativno, zakon se može napisati koristeći i specifičnu zapreminu v, recipročnu vrednost gustine, kao

 

Često je, pogotovo u inžinjerskim primenama, predstavljati specifičnu gasnu konstantu simbolom R. U tim slučajevima, univerzalnoj gasnoj konstanti se obično daje drugi simbol da bi se razlikovala. U svakom slučaju, kontekst i/ili jedinice gasne konstante bi trebalo da pojasne da li je rječ o specifičnoj ili univerzalnoj gasnoj konstanti u jednačini.

Statistička mehanikaУреди

U statističkoj mehanici, sledeća molekularna jednačina se izvodi iz prvih principa:

 

gde je P apsolutni pritisak gasa izmeren u paskalima; N je broj molekula u zadanoj zapremini V. kb je Bolcmanova konstanta koja povezuje temperaturu i energiju; i T je apsolutna temperatura izražena u Kelvinima.

Primena u termodinamičkim procesimaУреди

Tabela ispod pojednostavljuje idealnu gasnu jednačinu za određene termodinamičke procese, čineći ovu jednačinu jednostavnijom za rešavanje koristeći numeričke metode.

Termodinamički proces se definiše kao sistem koji se kreće od stanja 1 do stanja 2, gde je broj stanja obeležen u indeksu. Kao što je naznačenu u prvom stubu tabele, osnovni termodinamički procesi se definišu tako da je jedna od fizičkih veličina gasa (P, V, T, ili S) konstantna tokom procesa.

Za dati termodinamički proces, radi specifiranja tipa određenog procesa, jedan od odnosa veličina gasa (odnosi navedeni u tabeli, pod stubom označenom kao „poznati odnosi”) mora biti određen (direktno ili indirektno). Takođe, veličina za koju je odnos poznat mora se razlikovati od veličine koja je bila poznata u prethodnom stubu (inače bi odnos bio 1, i ne bi bilo dovoljno informacija da se pojednostavi jednačina).

U tri zadnja stuba, veličine (P, V, ili T) u stanju 2 mogu se izračunati iz veličina u stanju 1 korištenjem navedenih jednačina.

Proces Konstantna veličina
Poznati odnos
P2 V2 T2
Izobarski proces
Pritisak
V2/V1
P2 = P1 V2 = V1(V2/V1) T2 = T1(V2/V1)
T2/T1
P2 = P1 V2 = V1(T2/T1) T2 = T1(T2/T1)
Izohorski proces

(Izovolumetrični proces)
(Izometrični proces)

Volumen
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1 T2 = T1(P2/P1)
T2/T1
P2 = P1(T2/T1) V2 = V1 T2 = T1(T2/T1)
Izotermski proces
 Temperatura
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1/(P2/P1) T2 = T1
V2/V1
P2 = P1/(V2/V1) V2 = V1(V2/V1) T2 = T1
Izoentropijski proces

(Reversible Adijabatski proces)

Entropija
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1(P2/P1)(−1/γ) T2 = T1(P2/P1)(γ − 1)/γ
V2/V1
P2 = P1(V2/V1)−γ V2 = V1(V2/V1) T2 = T1(V2/V1)(1 − γ)
T2/T1
P2 = P1(T2/T1)γ/(γ − 1) V2 = V1(T2/T1)1/(1 − γ) T2 = T1(T2/T1)
Politropični proces
P Vn
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1(P2/P1)(-1/n) T2 = T1(P2/P1)(n - 1)/n
V2/V1
P2 = P1(V2/V1)−n V2 = V1(V2/V1) T2 = T1(V2/V1)(1−n)
T2/T1
P2 = P1(T2/T1)n/(n − 1) V2 = V1(T2/T1)1/(1 − n) T2 = T1(T2/T1)

^ a. U izentropnom procesu, sistemska entropija (S) je konstantna. Pod ovim uslovima, P1 V1γ = P2 V2γ, gde je γ definisano kao odnos toplotnog kapaciteta, koji je konstantan za kalorično savršeni gas. Vrednost koja se koristi za γ je obično 1,4 za dvoatomne gasove poput azota (N2) i kiseonika (O2), (i vazduha, koji je 99% dvoatomni). Takođe, γ je obično 1,6 za monatomske gasove poput plemenitih gasova helijuma (He) i argona (Ar). U motorima sa unutrašnjim sagorevanjem γ varira između 1,35 i 1,15, u zavisnosti od konstitutivnih gasova i temperature.

IzvodiУреди

EmpiričkiУреди

Idealni gasni zakon se može izvesti kombinacijom dva emiprička gasna zakona: kombinovanog gasnog zakona i Avogadrovog zakona. Kombinovani gasni zakon glasi

 

Gde je C konstanta koja je direktno proporcionalna količini materije gasa, n (Avogadrov zakon). Faktor proporcionalnosti je univerzalna gasna konstanta, R, npr. C=nR.

Iz toga sledi

 

TeoretskiУреди

Kinetička teorijaУреди

Idealni gasni zakon se takođe može dobiti iz prvih principa koristeći kinetičku teoriju gasova, u kojoj nekoliko pojednostavljujućih pretpostavki se donosi, prvenstveno da su momlekuli, ili atomi gasa tačkaste mase, koje poseduju masu ali ne značajne zapremine, i podilaze samo elastične sudare međusobno i sa stranama spremnika. U kolizijama je očuvan i linearni momentum i energija.

Statistička mehanikaУреди

Ako q = (qx, qy, qz) i p = (px, py, pz) obeležavaju radijus-vektor i vektor momentuma čestice idealnog gasa, respektivno. Neka F označava ukupnu silu na tu česticu. Onda je prosečna potencijalna energija čestice:

 

gde je prva jednakost Njutnov drugi zakon, a druga linija koristi Hamiltonove jednačine i teoremu ekviparticije. Sumiranje preko sistema od N čestica daje

 

Po Njutnovom trećem zakonu i pretpostavci idealnog gasa, ukupna sila sistema je sila koju vrše zidovi spremnika u kojem je gas. Ova sila je data pritiskom P gasa. Sledi

 

gde je dS infinitezimalni element površine zidova spremnika. Zato što je divergencija radijus-vektora q

 

teorija divergencije implicira da

 

gde je dV infinitezimalna zapremina unutar spremnika i V je ukupna zapremina spremnika.

Uvrštavanjem jedne od ovih jednačina u drugu se dobija

 

što implicira da je idealni gasni zakon za gas sa N čestica:

 

Odstupanje od realnih gasovaУреди

Jednačina stanja važi za idealne gasove, i u znatnoj meri za realne gasove. Budući da ona zanemaruje veličinu molekula i međumolekularna dejstva, jednačina stanja idealnog gasa je najtačnija za jednoatomske gasove, za visoke temperatura i male gustina gasova. Važnost međumolekularnog delovanja se smanjuje sa povećanjem toplotne kinetičke energije gasova, tj. sa povećanjem temperature. Detaljnija jednadžba stanja, kao što je van der Valsova jednačina, uzima u obzir veličinu molekula i međumolekulske sile.

Izmenjeni oblici jednačineУреди

Molarni oblikУреди

Broj molova (n) je jednak masi (m) gasa podeljenoj sa molarnom masom (M):

 

Ako zamenimo n, i ako uzmemo za gustinu ρ = m/V, dobijamo:

 
 

Ako odredimo specifičnu gasnu konstantu Rspecif. kao odnos R/M, dobijamo:

 

Ovaj oblik je koristan jer povezuje pritisak, gustinu i temperaturu. Osim toga, jednačina se može pisati uzimajući u obzir specifičnu zapreminu v, koja je obrnuto proporcionalna gustini:

 

ReferenceУреди

  1. ^ Clapeyron E.: "Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur", journal = Journal de l'École Polytechnique, 1834, Facsimile at the Bibliothèque nationale de France}-
  2. ^ Krönig A.: "Grundzüge einer Theorie der Gase", journal = Annalen der Physik, 1856, [1] Facsimile at the Bibliothèque nationale de France
  3. ^ -{Clausius R.: "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen", journal = Annalen der Physik und Chemie, 1857, [2] Facsimile at the Bibliothèque nationale de France
  4. ^ „Equation of State”. Архивирано из оригинала на датум 23. 8. 2014. Приступљено 17. 4. 2016. 

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди