Тејлоров полином
Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору као бесконачна сума чланова који се израчунавају из вредности извода функције у тој тачци.[1][2][3] Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Sintay.svg/300px-Sintay.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Exp_series.gif/220px-Exp_series.gif)
Дефиниција
уредиТејлоров ред за неку сталну функцију са бесконачно пуно извода за изабрану тачку јесте дефинисан овако:
Тејлоровим остатком полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:
Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:
Када функција има више аргумената, примењујемо:
У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:
где је градијент, а Хесова матрица.
Извод нултог реда од f се дефинише као сама f и (x − a)0 и 0! су по дефиницији једнаки 1. Кад је a = 0, серија се исто тако назива Маклоренов ред.[4]
Конвергентност
уредиТејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све . У ствари, он конвергира само онда када остатак, , конвергира према 0.
Када је сама степени ред око тачке , онда је Тејлоров ред идентичан са њим.
Примери
уредиМаклоренов ред за било који полином је поново полином. Маклоренов ред за (1 − x)−1 је геометријски ред
тако да Тејлоров ред за x−1 u a = 1
Интеграцијом горњег Маклореновогреда проналази се Маклоренов ред за −log(1 − x), gde log означава природни логаритам:
а одговарајући Тејлоров ред за log(x) у a = 1 је
Тејлоров ред за експоненцијалну функцију у је
Горњи израз важи зато што је деривација од ex такође ex, а e0 једнако је 1. Ово оставља чланове (x − 0)n у бројиоцу, а n! остају у имениоцу за сваки члан у бесконачној суми.
Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова
уредиТејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:
За вредности извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај добијамо ред који конвергира само у интервалу .
Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле
уредиМноге функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.
У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:
- Када изаберемо за неко , овај ред конвергира ка .
За добијамо следеће редове:
- , притом је по реду Бернулијев број.
- , где је по реду Ојлеров број.
Списак Тејлорових редова неких уобичајених функција
уреди- Такође погледајте: Списак математичких редова
Следи неколико важних проширења Мацлауринових редова. Сва ова проширења важе за комплексне аргументе .
Коначан геометријски ред:
Бесконачан геометријски ред:
Варијанте бесконачних геометријских редова:
Биномни ред (укључујући квадратни корен за α = 1/2 и бесконачан геометријски ред за α = −1):
са општим биномним коефицијентима
- Где је B Бернулијев број.
Бројеви Bk, који се појављују у сумирању при развијању tan(x) и tanh(x) представљају Бернулијев број. Ek у развијању sec(x) је Ојлеров број.
Види још
уредиРеференце
уреди- ^ „Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala” (PDF). MAT 314. Canisius College. Архивирано (PDF) из оригинала 23. 02. 2015. г. Приступљено 9. 07. 2006.
- ^ S. G. Dani (2012). „Ancient Indian Mathematics – A Conspectus”. Resonance. 17 (3): 236—246. doi:10.1007/s12045-012-0022-y.
- ^ Ranjan Roy, The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha, Mathematics Magazine Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 291-306.
- ^ Thomas & Finney 1996, §8.9
Литература
уреди- Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
- Thomas, George B., Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53174-9
- Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd изд.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-321431-4
- Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5.
- de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (1. 01. 2005). „Hesse and the Jacobian conjecture”. Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. 369. стр. 63—76. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627. doi:10.1090/conm/369/06804.
- de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). „Singular Hessians”. Journal of Algebra. 282 (1): 195—204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026.
- Apostol, Tom (1967), Calculus, Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
- Apostol, Tom (1974), Mathematical analysis, Addison–Wesley
- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introduction to Real Analysis (4th изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6
- Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6
- Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2, Oxford University Press
- Kline, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover, ISBN 978-0-486-40453-0
- Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis, Springer, ISBN 978-0-387-94108-0
- Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2
- Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1
- Tao, Terence (2014), Analysis, Volume I (3rd изд.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-64-9
Спољашње везе
уреди- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Taylor series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Weisstein, Eric W. „Taylor Series”. MathWorld.
- Taylor polynomial - practical introduction
- Madhava of Sangamagramma
- Discussion of the Parker-Sochacki Method Архивирано на сајту Wayback Machine (2. децембар 2005)
- Another Taylor visualisation — where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
- Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
- Cinderella 2: Taylor expansion
- Taylor series
- Inverse trigonometric functions Taylor series
- „Essence of Calculus: Taylor series” — преко YouTube.