Vektorska analiza
Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima, primarily in 3-dimensional Euclidean space The term "vector calculus" is sometimes used as a synonym for the broader subject of multivariable calculus, which spans vector calculus as well as partial differentiation and multiple integration.
Najveću primenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednačinama, a od ostalih grana nauke, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.
Osnovni objekti uredi
Skalarna polja uredi
Skalarno polje pridružuje skalarnu vrednost svakoj tački u prostoru. Skalar je matematički broj koji predstavlja fizičku veličinu. Primeri skalarnih polja u aplikacijama uključuju distribuciju temperature u prostoru, raspodelu pritiska u fluidu i kvantna polja sa spinom nula (poznata kao skalarni bozoni), kao što je Higsovo polje. Ova polja su predmet teorije skalarnog polja.
Vektorska polja uredi
Vektorsko polje je dodeljivanje vektora svakoj tački u prostoru.[1] Vektorsko polje u ravni, na primer, može se vizualizovati kao kolekcija strelica sa datom veličinom i smerom, svaka vezana za tačku u ravni. Vektorska polja se često koriste za modelovanje, na primer, brzine i pravca fluida koji se kreće kroz prostor, ili jačine i smera neke sile, kao što je magnetna ili gravitaciona sila, kako se menja od tačke do tačke. Ovo se može koristiti, na primer, za izračunavanje rada obavljenog duž linije.
Vektori i pseuvektori uredi
U naprednijim tretmanima, dalje se razlikuju pseudovektorska polja i pseudoskalarna polja, koja su identična vektorskim poljima i skalarnim poljima, osim što menjaju predznak pod mapom koja menja orijentaciju: na primer, rotor vektorskog polja je pseudovektorsko polje, a ako se odražava vektorsko polje, rotor je usmeren u suprotnom smeru. Ova razlika je razjašnjena i razrađena u geometrijskoj algebri, kao što je opisano u nastavku.
Vektorska algebra uredi
Algebarske (nediferencijalne) operacije u vektorskom računu nazivaju se vektorskom algebrom, definišu se za vektorski prostor i zatim se globalno primenjuju na vektorsko polje. Osnovne algebarske operacije se sastoje od:[2]
Operacija | Notacija | Opis |
---|---|---|
Sabiranje vektora | Sabiranje dva vektora, dajući vektor. | |
Množenje vektora | Množenje skalara i vektora, dajući vektor. | |
Skalarni proizvod vektora | Množenje dva vektora, dajući skalar. | |
Vektorski proizvod | Množenjem dva vektora u dobija se (pseudo)vektor. |
Takođe se često koriste dva trostruka proizvoda:
Operacija | Notacija | Opis |
---|---|---|
Skalarni trostruki proizvod | Skalarni proizvod vektorskog proizvoda dva vektora. | |
Vektorski trostruki proizvod | Vektorski proizvod vektorskog proizvoda dva vektora. |
Operatori i teoreme uredi
Diferencijalni operatori uredi
Vektorski račun proučava različite diferencijalne operatore definisane na skalarnim ili vektorskim poljima, koji se obično izražavaju u vidu del operatora ( ), takođe poznatog kao „nabla”. Tri osnovna vektorska operatora su:[3][4]
Operacija | Notacija | Opis | Notacija analogija |
Domen/opseg |
---|---|---|---|---|
Gradijent | Meri brzinu i smer promene u skalarnom polju. | Skalarno množenje | Preslikava skalarna polja u vektorska polja. | |
Divergencija | Meri skalar izvora ili ponora u datoj tački u vektorskom polju. | Skalarni proizvod vektora | Preslikava vektorska polja u skalarna polja. | |
Rotor | Meri tendenciju rotacije oko tačke u vektorskom polju u . | Vektorski proizvod | Preslikava vektorska polja u (pseudo)vektorska polja. | |
f označava skalarno polje i F označava vektorsko polje |
Takođe se često koriste dva Laplasova operatora:
Operacija | Notacija | Opis | Domen/opseg |
---|---|---|---|
Laplasijan | Meri razliku između vrednosti skalarnog polja sa njegovim prosekom na infinitezimalnim kuglama. | Mape između skalarnih polja. | |
Vektorski Laplasijan | Meri razliku između vrednosti vektorskog polja sa njegovim prosekom na infinitezimalnim kuglama. | Mape između vektorskih polja. | |
f označava skalarno polje i F označava vektorsko polje |
Kvantitet koji se naziva Jakobijanska matrica je koristan za proučavanje funkcija kada su domen i opseg funkcije multivarijabilni, kao što je promena promenljivih tokom integracije.
Teoremi integrala uredi
Tri osnovna vektorska operatora imaju odgovarajuće teoreme koje generalizuju osnovnu teoremu računa na više dimenzije:
Teorema | Iskaz | Opis | ||
---|---|---|---|---|
Teorema gradijenta | Krivolinijski integral gradijenta skalarnog polja duž krive L jednak je promeni skalarnog polja između krajnjih tačaka p i q krive. | |||
Teorema divergencije | Integral divergencije vektorskog polja nad n-dimenzionalnim čvrstim telom V jednak je fluksu vektorskog polja kroz (n−1)-dimenzionalnu zatvorenu graničnu površinu tela. | |||
Teorema rotoara (Kelvin–Stouks) | Integral krivulje vektorskog polja preko površine Σ u jednak je kruženju vektorskog polja oko zatvorene krive koja ograničava površinu. | |||
označava skalarno polje i F označava vektorsko polje |
U dve dimenzije, teoreme o divergenciji i uvijanju svode se na Grinovu teoremu:
Teorema | Iskaz | Opis | ||
---|---|---|---|---|
Grinova teorema | Integral divergencije (ili zavoja) vektorskog polja preko nekog regiona A u jednak je fluksu (ili cirkulaciji) vektorskog polja preko zatvorene krive koja ograničava region. | |||
Za divergenciju, F = (M, −L). Za rotor, F = (L, M, 0). L i M su funkcije od (x, y). |
Reference uredi
- ^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. str. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
- ^ „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-25. Pristupljeno 2020-09-17.
- ^ „List of Calculus and Analysis Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-05-11. Pristupljeno 2020-09-17.
- ^ „Differential Operators”. Math24 (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-09-17.[mrtva veza]
Literatura uredi
- Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
- Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 978-0-486-67910-5.
- J.E. Marsden (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
- H. M. Schey (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
- Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
- Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
- Wilson, Edwin Bidwell; Gibbs, Josiah Willard (1901). Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics & Physics: Founded Upon the Lectures of J. W. Gibbs. Scribner.
- Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. str. 775. ISBN 0-387-90985-0.
- Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley College. str. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
- Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus . Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. str. 118. ISBN 0-7641-2382-3.
- Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7.
- Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H. (1982). Practical Optimization. London: Academic Press. ISBN 0-12-283952-8.
- Lee, Jon (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8.
- Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd izd.). Berlin: Springer. ISBN 0-387-30303-0.
- Snyman, J. A.; Wilke, D. N. (2018). Practical Mathematical Optimization : Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algorithms (2nd izd.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-319-77585-2.
- Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). Engineering Design Optimization (na jeziku: engleski). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417.
- Du, D. Z.; Pardalos, P. M.; Wu, W. (2008). „History of Optimization”. Ur.: Floudas, C.; Pardalos, P. Encyclopedia of Optimization. Boston: Springer. str. 1538—1542.
- Battiti, Roberto; Mauro Brunato; Franco Mascia (2008). Reactive Search and Intelligent Optimization. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-09623-0. Arhivirano iz originala 2012-03-16. g.
- Vereshchagin, A.F. (1989). „Modelling and control of motion of manipulation robots”. Soviet Journal of Computer and Systems Sciences. 27 (5): 29—38.
- Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M. (2017). „A cosmological inflationary model using optimal control”. Gravitation and Cosmology. 23 (3): 236—239. Bibcode:2017GrCo...23..236H. ISSN 1995-0721. S2CID 125980981. doi:10.1134/S0202289317030069.
- Dorfman, Robert (1969). „An Economic Interpretation of Optimal Control Theory”. American Economic Review. 59 (5): 817—831. JSTOR 1810679.
- Sargent, Thomas J. (1987). „Search”. Dynamic Macroeconomic Theory. Harvard University Press. str. 57—91. ISBN 9780674043084.
- Rotemberg, Julio; Woodford, Michael (1997). „An Optimization-based Econometric Framework for the Evaluation of Monetary Policy” (PDF). NBER Macroeconomics Annual. 12: 297—346. JSTOR 3585236. doi:10.2307/3585236 .
Spoljašnje veze uredi
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Vector analysis”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Vector algebra”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Vector Calculus Video Lectures
- A survey of the improper use of ∇ in vector analysis
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis