Vektorska analiza
Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima, primarily in 3-dimensional Euclidean space The term "vector calculus" is sometimes used as a synonym for the broader subject of multivariable calculus, which spans vector calculus as well as partial differentiation and multiple integration.
Najveću primenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednačinama, a od ostalih grana nauke, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.
Osnovni objekti
urediSkalarna polja
urediSkalarno polje pridružuje skalarnu vrednost svakoj tački u prostoru. Skalar je matematički broj koji predstavlja fizičku veličinu. Primeri skalarnih polja u aplikacijama uključuju distribuciju temperature u prostoru, raspodelu pritiska u fluidu i kvantna polja sa spinom nula (poznata kao skalarni bozoni), kao što je Higsovo polje. Ova polja su predmet teorije skalarnog polja.
Vektorska polja
urediVektorsko polje je dodeljivanje vektora svakoj tački u prostoru.[1] Vektorsko polje u ravni, na primer, može se vizualizovati kao kolekcija strelica sa datom veličinom i smerom, svaka vezana za tačku u ravni. Vektorska polja se često koriste za modelovanje, na primer, brzine i pravca fluida koji se kreće kroz prostor, ili jačine i smera neke sile, kao što je magnetna ili gravitaciona sila, kako se menja od tačke do tačke. Ovo se može koristiti, na primer, za izračunavanje rada obavljenog duž linije.
Vektori i pseuvektori
urediU naprednijim tretmanima, dalje se razlikuju pseudovektorska polja i pseudoskalarna polja, koja su identična vektorskim poljima i skalarnim poljima, osim što menjaju predznak pod mapom koja menja orijentaciju: na primer, rotor vektorskog polja je pseudovektorsko polje, a ako se odražava vektorsko polje, rotor je usmeren u suprotnom smeru. Ova razlika je razjašnjena i razrađena u geometrijskoj algebri, kao što je opisano u nastavku.
Vektorska algebra
urediAlgebarske (nediferencijalne) operacije u vektorskom računu nazivaju se vektorskom algebrom, definišu se za vektorski prostor i zatim se globalno primenjuju na vektorsko polje. Osnovne algebarske operacije se sastoje od:[2]
Operacija | Notacija | Opis |
---|---|---|
Sabiranje vektora | Sabiranje dva vektora, dajući vektor. | |
Množenje vektora | Množenje skalara i vektora, dajući vektor. | |
Skalarni proizvod vektora | Množenje dva vektora, dajući skalar. | |
Vektorski proizvod | Množenjem dva vektora u dobija se (pseudo)vektor. |
Takođe se često koriste dva trostruka proizvoda:
Operacija | Notacija | Opis |
---|---|---|
Skalarni trostruki proizvod | Skalarni proizvod vektorskog proizvoda dva vektora. | |
Vektorski trostruki proizvod | Vektorski proizvod vektorskog proizvoda dva vektora. |
Operatori i teoreme
urediDiferencijalni operatori
urediVektorski račun proučava različite diferencijalne operatore definisane na skalarnim ili vektorskim poljima, koji se obično izražavaju u vidu del operatora ( ), takođe poznatog kao „nabla”. Tri osnovna vektorska operatora su:[3][4]
Operacija | Notacija | Opis | Notacija analogija |
Domen/opseg |
---|---|---|---|---|
Gradijent | Meri brzinu i smer promene u skalarnom polju. | Skalarno množenje | Preslikava skalarna polja u vektorska polja. | |
Divergencija | Meri skalar izvora ili ponora u datoj tački u vektorskom polju. | Skalarni proizvod vektora | Preslikava vektorska polja u skalarna polja. | |
Rotor | Meri tendenciju rotacije oko tačke u vektorskom polju u . | Vektorski proizvod | Preslikava vektorska polja u (pseudo)vektorska polja. | |
f označava skalarno polje i F označava vektorsko polje |
Takođe se često koriste dva Laplasova operatora:
Operacija | Notacija | Opis | Domen/opseg |
---|---|---|---|
Laplasijan | Meri razliku između vrednosti skalarnog polja sa njegovim prosekom na infinitezimalnim kuglama. | Mape između skalarnih polja. | |
Vektorski Laplasijan | Meri razliku između vrednosti vektorskog polja sa njegovim prosekom na infinitezimalnim kuglama. | Mape između vektorskih polja. | |
f označava skalarno polje i F označava vektorsko polje |
Kvantitet koji se naziva Jakobijanska matrica je koristan za proučavanje funkcija kada su domen i opseg funkcije multivarijabilni, kao što je promena promenljivih tokom integracije.
Teoremi integrala
urediTri osnovna vektorska operatora imaju odgovarajuće teoreme koje generalizuju osnovnu teoremu računa na više dimenzije:
Teorema | Iskaz | Opis | ||
---|---|---|---|---|
Teorema gradijenta | Krivolinijski integral gradijenta skalarnog polja duž krive L jednak je promeni skalarnog polja između krajnjih tačaka p i q krive. | |||
Teorema divergencije | Integral divergencije vektorskog polja nad n-dimenzionalnim čvrstim telom V jednak je fluksu vektorskog polja kroz (n−1)-dimenzionalnu zatvorenu graničnu površinu tela. | |||
Teorema rotoara (Kelvin–Stouks) | Integral krivulje vektorskog polja preko površine Σ u jednak je kruženju vektorskog polja oko zatvorene krive koja ograničava površinu. | |||
označava skalarno polje i F označava vektorsko polje |
U dve dimenzije, teoreme o divergenciji i uvijanju svode se na Grinovu teoremu:
Teorema | Iskaz | Opis | ||
---|---|---|---|---|
Grinova teorema | Integral divergencije (ili zavoja) vektorskog polja preko nekog regiona A u jednak je fluksu (ili cirkulaciji) vektorskog polja preko zatvorene krive koja ograničava region. | |||
Za divergenciju, F = (M, −L). Za rotor, F = (L, M, 0). L i M su funkcije od (x, y). |
Reference
uredi- ^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. str. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
- ^ „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-25. Pristupljeno 2020-09-17.
- ^ „List of Calculus and Analysis Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-05-11. Pristupljeno 2020-09-17.
- ^ „Differential Operators”. Math24 (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-09-17.[mrtva veza]
Literatura
uredi- Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
- Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 978-0-486-67910-5.
- J.E. Marsden (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
- H. M. Schey (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
- Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
- Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
- Wilson, Edwin Bidwell; Gibbs, Josiah Willard (1901). Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics & Physics: Founded Upon the Lectures of J. W. Gibbs. Scribner.
- Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. str. 775. ISBN 0-387-90985-0.
- Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley College. str. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
- Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus . Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. str. 118. ISBN 0-7641-2382-3.
- Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7.
- Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H. (1982). Practical Optimization. London: Academic Press. ISBN 0-12-283952-8.
- Lee, Jon (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8.
- Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd izd.). Berlin: Springer. ISBN 0-387-30303-0.
- Snyman, J. A.; Wilke, D. N. (2018). Practical Mathematical Optimization : Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algorithms (2nd izd.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-319-77585-2.
- Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). Engineering Design Optimization (na jeziku: engleski). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417.
- Du, D. Z.; Pardalos, P. M.; Wu, W. (2008). „History of Optimization”. Ur.: Floudas, C.; Pardalos, P. Encyclopedia of Optimization. Boston: Springer. str. 1538—1542.
- Battiti, Roberto; Mauro Brunato; Franco Mascia (2008). Reactive Search and Intelligent Optimization. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-09623-0. Arhivirano iz originala 2012-03-16. g.
- Vereshchagin, A.F. (1989). „Modelling and control of motion of manipulation robots”. Soviet Journal of Computer and Systems Sciences. 27 (5): 29—38.
- Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M. (2017). „A cosmological inflationary model using optimal control”. Gravitation and Cosmology. 23 (3): 236—239. Bibcode:2017GrCo...23..236H. ISSN 1995-0721. S2CID 125980981. doi:10.1134/S0202289317030069.
- Dorfman, Robert (1969). „An Economic Interpretation of Optimal Control Theory”. American Economic Review. 59 (5): 817—831. JSTOR 1810679.
- Sargent, Thomas J. (1987). „Search”. Dynamic Macroeconomic Theory. Harvard University Press. str. 57—91. ISBN 9780674043084.
- Rotemberg, Julio; Woodford, Michael (1997). „An Optimization-based Econometric Framework for the Evaluation of Monetary Policy” (PDF). NBER Macroeconomics Annual. 12: 297—346. JSTOR 3585236. doi:10.2307/3585236 .
Spoljašnje veze
uredi- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Vector analysis”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Vector algebra”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Vector Calculus Video Lectures
- A survey of the improper use of ∇ in vector analysis
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis