Vijetova formula
U matematici, Vijetova formula (franc. formule de Viète) je sledeći beskonačni proizvod uklopljenih radikala koji predstavljaju dvostruku recipročnu vrednost matematičke konstante π:
Formula se može izvesti sabijanjem proizvoda ili obima ili površine uklopljenih mnogouglova koji konvergiraju u krug. Alternativno, ponovo korišćenje formule polovine ugla iz trigonometrije dovodi do uopštene formule koju je otkrio Leonard Ojler i u kojoj je Vijetova formula specijalni slučaj. Mnogo sličnih formula koje sadrže uklopljene korene ili beskonačne proizvode sada su poznate.
Značaj uredi
Fransoa Vijet (1540–1603) je bio francuski advokat, državni savetnik dvojice francuskih kraljeva i matematičar amater. On je ovu formulu objavio 1593. godine u šestoj knjizi svog dela Variorum de rebus mathematicis responsorum. U to vreme su metode za zaokrugljivanje π (u principu) arbitrarne preciznosti dugo bile poznate. Vijetova sopstvena metoda može se tumačiti kao varijacija Arhimedove ideje za zaokrugljivanje obima kruga obimom kompleksnog mnogougla[1] koju je on koristio da dođe do približne vrednosti[6]
Koristeći svoju formulu Vijet je izračunao π sa preciznošću od devet cifara.[4] Međutim, to nije bila najtačnija približna vrednost π u to vreme, jer je persijski matematičar Džamšid Al Kaši 1424. godine izračunao π sa preciznošću od devet seksagezimalnih i 16 decimalnih cifara.[12] Nedugo nakon što je Vijet objavio svoju formulu, Ludolf van Cojlen je iskoristo metodu sličnu Vijetovoj da izračuna 35 cifara π, što je objavljeno tek nakon van Cojlenove smrti 1610.[12]
Pored svog matematičkog i istorijskog značaja, Vijetova formula se može iskoristiti za objašnjenje različitih brzina talasa različitih frekvencija u beskrajnom lancu opruga i masa i za pojavu π u ograničavajućem ponašanju tih brzina.[5] Uz to, izvođenje ove formule kao proizvoda integrala uključenih u Rademaherov sistem, jednakog integralima proizvoda istih funkcija, pruža dobar primer za pojam statističke nezavisnosti.[13]
Tumačenje i konvergencija uredi
Vijetova formula se može ponovo napisati i shvatiti kao granični izraz[3]
Stopa konvergencije granice određuje broj članova izraza koji su potrebni za postizanje tačnosti datog broja cifara. U Vijetovoj formuli, broj članova i cifara je proporcionalan: proizvod prvih članova u granici daje izraz za π koji je jednak približno 0.6 cifara.[4][15] Ova stopa konvergencije se veoma povoljno poredi sa Volisovim proizvodom, kasnijoj formuli beskonačnog proizvoda za π. Iako je Vijet iskoristio svoju formulu da izračuna π sa preciznošću od samo devet cifara, izmenjena verzija njegove formule se koristila za izračunavanje stotine hiljada cifara π.[4]
Srodne formule uredi
Vijetova formula se može dobiti kao specijalan slučaj sinc-funkcije koja se više od jednog veka kasnije[1] često pripisivala Leonardu Ojleru:[16]
Takođe je moguće iz Vijetove formule izvesti sličnu formulu za π koja i dalje sadrži uklopljene kvadratne korene broja dva, ali se množenje koristi samo jednom:[18]
Izvođenje uredi
Vijet je do svoje formule došao poređenjem površina pravilnih mnogouglova sa 2n i 2n + 1 stranicama upisanim u krug.[1][2] Prvi član proizvoda, √2/2, jeste odnos površina kvadrata i osmougla, drugi je odnos površina osmougla i šesnaestougla itd. Stoga se proizvod teleskopira da bi dao odnos površina kvadrata (početnog mnogougla u nizu) krugu (ograničavajućem primeru 2n-ugla). Alternativno, uslovi u proizvodu se mogu tumačiti kao odnosi obima istog niza mnogouglova, počevši od odnosa obima dvougla (poluprečnik kruga ubrojen dva puta) i kvadrata, odnosa obima kvadrata i osmougla itd.[25]
Drugačije izvođenje je moguće na osnovu trigonometrijskih identiteta i Ojlerove formule. Koristeći formulu za dupli ugao u više navrata
Reference uredi
- ^ a b v g d Beckmann, Petr (1971). A History of π (na jeziku: engleski) (2. izd.). Boulder: The Golem Press. str. 94—95. ISBN 0-911762-12-4. MR 0449960.
- ^ a b v Maor, Eli (2013). Trigonometric Delights (na jeziku: engleski). Princeton: Princeton University Press. str. 50, 140. ISBN 978-0-691-15820-4.
- ^ a b Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). „2.1. Viète's infinite product”. The Number π (na jeziku: engleski). Prevod: Wilson, Stephen S. Providence: American Mathematical Society. str. 44—46. ISBN 0-8218-3246-8. MR 2036595.
- ^ a b v g Kreminski, Rick (2008). „π to Thousands of Digits from Vieta’s Formula”. Mathematics Magazine (na jeziku: engleski). 81 (3): 201—207. JSTOR 27643107. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549.
- ^ a b Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (decembar 2011). „Teaching wave propagation and the emergence of Viète’s formula”. Physics Education (na jeziku: engleski). 47 (1): 87—91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.
- ^ Beckmann 1971, str. 67.
- ^ de Smith, Michael J. (2006). Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing (na jeziku: engleski). Leicester: Matador. str. 165. ISBN 978-1-905237-81-4.
- ^ a b Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2013). „On Viète-like formulas”. Journal of Approximation Theory (na jeziku: engleski). 174: 90—112. MR 3090772. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006.
- ^ a b v Morrison, Kent E. (1995). „Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums”. The American Mathematical Monthly (na jeziku: engleski). 102 (8): 716—724. JSTOR 2974641. MR 1357488. arXiv:math/0411380 . doi:10.2307/2974641.
- ^ Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (na jeziku: engleski). New York: Springer. str. 15. ISBN 978-0-387-48806-6. doi:10.1007/978-0-387-48807-3.
- ^ Vrlo slični beskonačni trigonometrijski redovi za π pojavili su se ranije u indijskoj matematici, u delu Madhave iz Sangamagrame (oko 1340–1425), ali dugo vremena nisu bili poznati u Evropi. Vidi: Plofker, Kim (2009). „7.3.1. Mādhava on the circumference and arcs of the circle”. Mathematics in India (na jeziku: engleski). Princeton and Oxford: Princeton University Press. str. 221—234. ISBN 978-0-691-12067-6.
- ^ a b v Borwein, Jonathan M. (2014). „The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond” (PDF). Ur.: Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen. From Alexandria, Through Baghdad (na jeziku: engleski). Berlin & Heidelberg: Springer. str. 531—561. ISBN 978-3-642-36735-9. doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24. Arhivirano iz originala 07. 03. 2011. g. Pristupljeno 09. 12. 2023.
- ^ a b Kac, Mark (1959). „Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence”. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (na jeziku: engleski). New York: John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America. str. 1—12. MR 0110114.
- ^ Rudio, Ferdinand (1891). „Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung” [O konvergenciji jednog specijalnog razvoja proizvoda što potiče od Vijete]. Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik (na jeziku: nemački). 36: 139—140. JFM 23.0263.02.
- ^ Osler, Thomas J. (2007). „A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (na jeziku: engleski). 38 (1): 136—142. doi:10.1080/00207390601002799.
- ^ Euler, Leonhard (1738). „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi” [O različitim metodama za izražavanje kvadrature kruga graničnim brojevima]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (na jeziku: latinski). 9. Prevod: Polaski, Thomas W. str. 222—236. Vidi poslednju formulu. Ista formula se nalazi i u Euler, Leonhard (1783). „Variae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes” [Različita zapažanja o uglovima koji se razvijaju u geometrijskim progresijama]. Opuscula Analytica (na jeziku: latinski). 1. Prevod: Bell, Jordan. str. 345—352. arXiv:1009.1439 . Vidi formulu u numerisanom paragrafu 3.
- ^ Wilson, Robin J. (2018). Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics (PDF) (na jeziku: engleski) (1. izd.). Oxford: Oxford University Press. str. 57—58. ISBN 978-0-19-879492-9.
- ^ a b Servi, L. D. (2003). „Nested Square Roots of 2”. The American Mathematical Monthly (na jeziku: engleski). 110 (4): 326—330. JSTOR 3647881. MR 1984573. doi:10.2307/3647881.
- ^ Nyblom, M. A. (2012). „Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals”. Rocky Mountain Journal of Mathematics (na jeziku: engleski). 42 (2): 751—758. MR 2915517. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-751.
- ^ Levin, Aaron (2006). „A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant”. The American Mathematical Monthly (na jeziku: engleski). 113 (6): 510—520. JSTOR 27641976. MR 2231136. doi:10.2307/27641976.
- ^ Levin, Aaron (2005). „A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for π”. The Ramanujan Journal (na jeziku: engleski). 10 (3): 305—324. MR 2193382. doi:10.1007/s11139-005-4852-z.
- ^ Osler, Thomas J. (2007). „Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers”. Fibonacci Quarterly (na jeziku: engleski). 45 (3): 202—204. MR 2437033.
- ^ Stolarsky, Kenneth (1980). „Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products”. Pacific Journal of Mathematics (na jeziku: engleski). 89 (1): 209—227. ISSN 0030-8730. MR 0596932. doi:10.2140/pjm.1980.89.209.
- ^ Allen, Edward J. (1985). „Continued radicals”. The Mathematical Gazette (na jeziku: engleski). 69 (450): 261—263. JSTOR 3617569. doi:10.2307/3617569.
- ^ Rummler, Hansklaus (1993). „Squaring the Circle with Holes”. The American Mathematical Monthly (na jeziku: engleski). 100 (9): 858—860. JSTOR 2324662. MR 1247533. doi:10.2307/2324662.
Spoljašnje veze uredi
- Šesta knjiga Vijetovog Variorum de rebus mathematicis responsorum (1593). Formula se nalazi na drugoj polovini 30. stranice.