Википедија

Dekadni sistem

Dekadni sistem (takođe decimalni sistem ili u starijim udžbenicima desetični sistem)[1] je način zapisivanja brojeva koji koristi deset različitih cifara (znamenki) i decimalnu zapetu (decimalnu tačku) za zapis veličine broja.[2] Način označavanja brojeva u decimalnom sistemu se često naziva decimalnim zapisom.[3]

Decimalni broj (takođe često samo decimalni ili, manje tačno, decimalni broj) se generalno odnosi na zapis broja u decimalnom brojevnom sistemu. Decimale se ponekad mogu identifikovati decimalnim separatorom (obično „.” ili „,” kao u 25.9703 ili 3,1415).[4] Decimala se takođe može specifično odnositi na cifre posle decimalnog separatora, kao što je u „3,14 aproksimacija π na dve decimale“. Cifre nule posle decimalnog separatora služe za označavanje preciznosti vrednosti.

Decimalna notacija uredi

Ovo su znakovi koji se koriste za zapisivanje u dekadnom sistemu:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dekadni brojni sistem je pozicioni, što znači da u njemu i znak i njegov položaj određuju vrednost u zapisu broja. Negativni brojevi se označavaju predznakom „-“. Predznak „+“ za pozitivne brojeve se obično izostavlja.

Decimalna zapeta označava početak razlomljenog dela broja. U zapisu brojeva bez razlomljenog dela, odnosno celih brojeva, decimalna zapeta se izostavlja. U ekonomiji (knjigovodstvu) se koristi tačka, ali ne da razdvoji ceo od razlomljenog dela broja, već da se u velikim brojevima tačkom vizuelno razdvajaju grupe od po tri cifre.

Cifra 0 označava nultu a cifra 1 jediničnu vrednost. Ostale vrednosti cifara su izvedene po sledećem sistemu. U nastavku teksta koristimo znak + da označimo vrednost koja se dobija dodavanjem leve vrednosti desnoj, a znak = označava da je leva vrednost jednaka desnoj.

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
1 + 5 = 6
1 + 6 = 7
1 + 7 = 8
1 + 8 = 9

Da bi se zapisala vrednost 1 + 9 koristi se oznaka 10. Cifra 1 se nalazi na drugoj poziciji u zapisu što znači da se njena početna vrednost uveličava 1 + 9 odnosno 10 puta. Broj 10 puta veći od broja 10 se označava sa 100, prvobitna vrednost cifre se množi sa 10 za svaku poziciju levo od decimalnog zareza. Analogno važi za zapise 1000, 10000, 100000 itd. Isto pravilo važi i za ostale cifre. Zapis 123 se odnosi na jednu stotinu, dve desetice i tri jedinice. Na srpskom jeziku se ovaj broj čita odnosno piše „sto dvadeset i tri“. Razlomljeni deo se koristi za zapisivanje veličine manje od 1 a veće od 0. Na primer, deseti deo jedinice se piše 0, 1, stoti deo 0,01 itd. Dakle za svaku poziciju desno od decimalne zapete nominalna vrednost cifre se deli na deset. Tako broj 0,003 predstavlja tri hiljadita dela jedinične vrednosti.

Dekadni sistem je najrasprostranjeniji sistem za zapis brojeva na svetu. Ovo je verovatno posledica činjenice da ljudi imaju deset prstiju na rukama. U istoriji su poznati razni drugi brojevni sistemi. Na primer, Vavilonci su koristili sistem sa šezdeset različitih cifara, a Maje sa dvadeset.

Simboli uobičajeno korišćeni za cifre se u Evropi zovu arapske cifre. Ovaj sistem zapisa su Indijci preneli Arapima, koji su potom isti sistem doneli u Evropu. Arapi i Evropljani, međutim danas koriste nešto drugačiji zapis za određene cifre.

Decimalna tačka ili decimalni zarez uredi

Decimalni zapis je u Evropi definitivno utemeljio Simon Stevin, flamanski matematičar, koji pored indoarapskih cifara prihvata i decimalnu tačku kakvu je već par godina ranije upotrebio Kristofero Klavijus. Stevin 1585. godine objavljuje knjigu „Desetice“ („La Theinde“) i od tada se ustalio način zapisa brojeva u Evropi.

Nedoumica oko toga da li se piše decimalna tačka ili decimalna zapeta je novijeg datuma. U pitanju je isključivo pripadnost određenoj školi onog ko je autor knjiga i udžbenika. Pripadnici francuske i nemačke škole koriste decimalnu zapetu, dok angloamerička škola koristi tačku. Decimalna tačka je istorijski prva.

I računarska industrija ima problema sa mešanjem tačke i zapete. Čak je u programskom jeziku Kobolu u jednoj od uvodnih sekcija mogla da se navede naredba DECIMAL-POINT IS COMA što je značilo da se pri radu sa brojevima koristi zapeta za razdvajanje celobrojnog od razlomljenog dela, a u suprotnom se koristi tačka. Ostali programski jezici koriste isključivo tačku.

Istorija uredi

 
Najranija tabela decimalnog množenja na svetu napravljena je bila napravljena od bambusovih listića, i datira iz 305. p. n. e, tokom perioda Zaraćenih država u Kini.

Mnoge drevne kulture računale su brojevima na osnovi deset. Ponekad se isticalo stanovište da je razlog tome što ljudske ruke obično imaju deset prstiju.[5] Standardizovane težine korišćene u civilizaciji doline Inda (oko 3300–1300. p. n. e.) zasnivale su se na odnosima: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 i 500, dok je njihov standardizovani lenjir – Mohendžo-daro lenjir – podeljen na deset jednakih delova.[6][7][8] Egipatske hijeroglife, koje potiču od oko 3000. p. n. e, koristile su čisto decimalni sistem,[9] kao i kritske hijeroglife (oko 1625−1500. p. n. e.) Minojaca čiji su brojevi blisko zasnovani na egipatskom modelu.[10][11] Decimalni sistem je prenet uzastopnim kulturama iz bronzanog doba u Grčkoj, uključujući linear A (oko 18. vek p. n. e. – 1450. p. n. e.) i linear B (oko 1375–1200. p. n. e.) – brojni sistem klasične Grčke je takođe koristio stepen deset, uključujući rimske brojeve, srednje osnove od 5.[12] Primetno je da je polimat Arhimed (oko 287–212. p. n. e.) izumeo decimalni pozicioni sistem u svom peščanom računaru koji se zasnivao na 108[12] i kasnije je naveo nemačkog matematičara Karla Fridriha Gausa da žali do kojih bi visina nauka već dosegla u njegovom vremenu da je Arhimed u potpunosti shvatio potencijal svog genijalnog otkrića.[13] Hetitski hijeroglifi (od 15. veka p. n. e.) su takođe bili strogo decimalni.[14]

Neki nematematički drevni tekstovi kao što su Vede, koji datiraju iz 1700–900. p. n. e, koriste decimale i matematičke decimalne razlomke.[15]

Egipatski hijeratski brojevi, brojevi grčkog alfabeta, brojevi hebrejskog alfabeta, rimski brojevi, kineski brojevi i rani indijski brahmi brojevi su nepozicioni decimalni sistemi i zahtevaju veliki broj simbola. Na primer, egipatski brojevi su koristili različite simbole za 10, 20 do 90, 100, 200 do 900, 1000, 2000, 3000, 4000, do 10 000.[16] Najraniji pozicioni decimalni sistem na svetu bio je kineski štapni račun[17]

 
najraniji pozicioni decimalni sistem na svetu
Vertikalni forma gornjeg reda
Horizontalna forma donjeg reda

Istorija decimalnih razlomaka uredi

 
Decimalni razlomak 1/7 izražen putem brojevnih štapića

Decimalne razlomke su prvi razvili i koristili Kinezi krajem 4. veka pre nove ere,[18] a zatim su se proširili na Bliski istok, a odatle u Evropu.[17][19] Napisani kineski decimalni razlomci nisu bili pozicioni.[19] Međutim, frakcije štapova za brojanje su bile pozicione.[17]

Ćin Đušao u svojoj knjizi Matematički traktat u devet sekcija (1247[20]) označio je 0,96644 sa

寸
           , sa značenjem
寸
096644

Dž. Lenart Bergren primećuje da se pozicioni decimalni razlomci prvi put pojavljuju u knjizi arapskog matematičara Abul-Hasana el-Uklidisija napisanoj u 10. veku.[21] Jevrejski matematičar Imanuel Bonfils je koristio decimalne razlomke oko 1350. godine, anticipirajući Simona Stevina, ali nije razvio nikakvu notaciju koja bi ih predstavljala.[22] Persijski matematičar Jamšid al-Kaši je tvrdio da je on otkrio decimalne razlomke u 15. veku.[21] Muhamed el Horezmi je uveo razlomke u islamske zemlje početkom 9. veka; jedan kineski autor je tvrdio da je njegova prezentacija razlomaka bila tačna kopija tradicionalnog kineskog matematičkog razlomka iz Suenci Suanđinga.[17] Ovaj oblik razlomka sa brojilcem na vrhu i imeniocem na dnu bez horizontalne trake su takođe koristili el-Uklidisi i el-Kaši u svom delu „Aritmetički ključ”.[17][23]

Preteču modernog evropskog decimalnog zapisa uveo je Simon Stevin u 16. veku.[24]

Džon Napier je uveo korišćenje tačke (.) za odvajanje celog dela decimalnog broja od razlomka u svojoj knjizi o konstruisanju tabela logaritama, objavljenoj posthumno 1620. godine.[25]‍:p. 8, archive p. 32)

Vidi još uredi

Reference uredi

  1. ^ „denary”. Oxford English Dictionary (3rd izd.). Oxford University Press. septembar 2005.  (Potrebna je pretplata ili članska kartica javne biblioteke UK.)
  2. ^ Cajori, Florian (februar 1926). „The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski”. Isis. University of Chicago Press. 8 (1): 231—232. ISSN 0021-1753. doi:10.1086/358384. 
  3. ^ Yong, Lam Lay; Se, Ang Tian (april 2004). Fleeting Footsteps. World Scientific. 268. ISBN 978-981-238-696-0. doi:10.1142/5425. Pristupljeno 17. 3. 2022. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (10. 3. 2022). „Decimal Point”. Wolfram MathWorld (na jeziku: engleski). Pristupljeno 17. 3. 2022. 
  5. ^ Dantzig, Tobias (1954), Number / The Language of Science (4th izd.), The Free Press (Macmillan Publishing Co.), str. 12, ISBN 0-02-906990-4 
  6. ^ Sergent, Bernard (1997), Genèse de l'Inde (in French), Paris: Payot, p. 113, ISBN 2-228-89116-9
  7. ^ Coppa, A.; et al. (2006). „Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population”. Nature. 440 (7085): 755—56. Bibcode:2006Natur.440..755C. PMID 16598247. S2CID 6787162. doi:10.1038/440755a. 
  8. ^ Bisht, R. S. (1982), "Excavations at Banawali: 1974–77", in Possehl, Gregory L. (ed.), Harappan Civilisation: A Contemporary Perspective, New Delhi: Oxford and IBH Publishing Co., pp. 113–24
  9. ^ Georges Ifrah: From One to Zero. A Universal History of Numbers, Penguin Books. 1988. ISBN 0-14-009919-0. str. 200–13.(Egyptian Numerals)
  10. ^ Graham Flegg: Numbers: their history and meaning, Courier Dover Publications. 2002. ISBN 978-0-486-42165-0. str. 50.
  11. ^ Georges Ifrah: From One to Zero. A Universal History of Numbers, Penguin Books. 1988. ISBN 0-14-009919-0. str. 213–18.(Cretan numerals)
  12. ^ a b „Greek numbers”. Pristupljeno 2019-07-21. 
  13. ^ Menninger, Karl: Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl, Vandenhoeck und Ruprecht, 3rd. ed.. 1979. ISBN 3-525-40725-4. str. 150–53.
  14. ^ Georges Ifrah: From One to Zero. A Universal History of Numbers, Penguin Books. 1988. ISBN 0-14-009919-0. str. 218.f. (The Hittite hieroglyphic system)
  15. ^ (Atharva Veda 5.15, 1–11)
  16. ^ Lam Lay Yong et al. The Fleeting Footsteps pp. 137–39
  17. ^ a b v g d Lam Lay Yong, "The Development of Hindu–Arabic and Traditional Chinese Arithmetic", Chinese Science, 1996 p. 38, Kurt Vogel notation
  18. ^ „Ancient bamboo slips for calculation enter world records book”. The Institute of Archaeology, Chinese Academy of Social Sciences (na jeziku: engleski). Pristupljeno 10. 5. 2017. 
  19. ^ a b Joseph Needham (1959). „Decimal System”. Science and Civilisation in China, Volume III, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Cambridge University Press. 
  20. ^ Martzloff, Jean-Claude (20. 7. 2006). A History of Chinese Mathematics. Springer. ISBN 3-540-33782-2. 
  21. ^ a b Berggren, J. Lennart (2007). „Mathematics in Medieval Islam”. Ur.: Katz, Victor J. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. str. 530. ISBN 978-0-691-11485-9. 
  22. ^ Gandz, S.: The invention of the decimal fractions and the application of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.
  23. ^ Lay Yong, Lam. „A Chinese Genesis, Rewriting the history of our numeral system”. Archive for History of Exact Sciences. 38: 101—08. 
  24. ^ B. L. van der Waerden (1985). A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether. Berlin: Springer-Verlag. 
  25. ^ Napier, John (1889). The Construction of the Wonderful Canon of Logarithms. Prevod: Macdonald, William Rae. Edinburgh: Blackwood & Sons — preko Internet Archive. „In numbers distinguished thus by a period in their midst, whatever is written after the period is a fraction, the denominator of which is unity with as many cyphers after it as there are figures after the period.” 

Literatura uredi

Spoljašnje veze uredi

 
Dekadni sistem na Vikimedijinoj ostavi.
Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Декадни_систем&oldid=27549529”