Karl Fridrih Gaus

Johan Karl Fridrih Gaus (nem. Johann Carl Friedrich Gauß; Braunšvajg, 30. april 1777 — Getingen, 23. februar 1855) bio je nemački matematičar i naučnik koji je dao značajan doprinos u mnogim poljima, uključujući teoriju brojeva, analizu, diferencijalnu geometriju, geodeziju, elektrostatiku, astronomiju i optiku. Poznat kao „princ matematičara“ i „najveći matematičar od davnina“, Gaus je ostavio trag na mnogim poljima matematike i nauke i smatra se jednim od najuticajnijih matematičara u istoriji.

Karl Fridrih Gaus
Gausov portret, slika Kristijana Jensena
Lični podaci
Datum rođenja	(1777-04-30)30. april 1777.
Mesto rođenja	Braunšvajg, Nemačka
Datum smrti	23. februar 1855.(1855-02-23) (77 god.)
Mesto smrti	Getingen, Hanover, Nemačka
Obrazovanje	Univerzitet u Helmštetu, Univerzitet u Getingenu
Naučni rad
Polje	matematika, fizika
Institucija	Univerzitet Georg-August, Getingen
Učenici	Ričard Dedekind Bernard Riman
Poznat po	Teorija brojeva, magnetizam
Nagrade	Koplijeva medalja (1838)
Potpis

Disquisitiones Arithmeticae (1801)

Crvena kriva prestavlja standardiziranu normalnu raspodelu.

Izvanrednu matematičku darovitost pokazao već u detinjstvu, a prve naučne rezultate postigao kao student matematike u Getingenu. U vezi s teorijom deljenja kruga rešio je (1796) problem konstrukcije pravilnih poligona lenjirom i šestarom, dokazavši da se za neki prosti broj n može na taj način konstruisati pravilni n-trougao onda i samo onda kada je n Fermaov broj, to jest broj oblika 2^k + 1, a kao takvi su danas poznati samo 3, 5, 17, 257 i 65 537. Promovisan je 1799. godine na temelju doktorske disertacije, u kojoj je dokazao izvanredno značajan fundamentalni teorem algebre. Delom istraživanja u aritmetici (lat. Disquisitiones arithmeticae, 1801) postavio je osnove savremenoj teoriji brojeva. Njegova Opšta istraživanja zakrivljenih površina (lat. Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828) nova su etapa u razvoju diferencijalne geometrije i osnovica njenog napretka sve do danas. U tome delu on uvodi sistematsku upotrebu parametarskog predstavljanja površina, dve osnovne kvadratne forme, sferno preslikavanje i na osnovi toga pojam zakrivljenosti u tački površine. Dokazana je i osnovna teorema o invarijantnosti zakrivljenosti površine pri njenom izometričkom preslikavanju (lat. Theorema egregium). Značajan je i njegov prilog teoriji grešaka pri merenju, izložen kao teorija najmanjih kvadrata u delu Teorija kombinovanja uz najmanje greške opažanja (lat. Theoria combinationis observantium erroribus minimis obnoxiae, I–III, 1821—1826), prema kojoj je najpogodnija vrednost merene veličine ona za koju je zbir kvadrata grešaka najmanji.

Otkrića nastala prilikom proučavanja Zemljinoga magnetskoga polja izložio je u delu Opšta teorija magnetizma Zemlje (nem. Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus, 1839). Primenjivao je matematiku na opisivanje električnih i magnetnih pojava (na primer Gausov zakon za magnetno polje i Gausov zakon za električno polje). Bavio se optikom (Gausova aproksimacija). Posebno su značajna njegova istraživanja u području osnova geometrije, premda o tome nije ništa objavio. Još i pre N. I. Lobačevskoga i Janoša Boljaja spoznao je logičku mogućnost geometrije različite od euklidske geometrije i otkrio u njoj niz osnovnih činjenica. Posmrtno objavljena njegova naučna ostavština podstaknula je zanimanje za neeuklidske geometrije i doprinela je njihovom bržem razvoju. Po njemu su nazvani krater na Mesecu (Gausov krater) i planetoid (1001 Gausija).

Biografija

Statua Gausa u njegovom rodnom mestu, Braunšvajgu

Johan Karl Fridrih Gaus je rođen 30. aprila 1777. godine u Braunšvajgu, u grofoviji Braunšvajg-Volfenbitela (sada delu Donje Saksonije, Nemačka), kao sin siromašnih roditelja iz radničke klase. Njegova majka je bila nepismena. Datum njegovog rođenja nije zapisan, mada je bilo poznato da se rodio u sredu, osam dana pre Vaskrsa. Gaus je kasnije rešio zagonetku svog datuma rođenja u kontekstu nalaženja datuma Vaskrsa, izvodeći metode za izračunavanje datuma u prošlim i budućim godinama. On je bio kršten u crkvi u blizini škole koju je pohađao kao dete.

Već su u osnovnoj školi bili iznenađeni njegovim brzim sabiranjem brojeva od 1 do 100, kada je zaključio da zbir 50 parova brojeva (prvi i poslednji, drugi i pretposlednji, itd.) iznosi 101: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 itd. Proučavao je antičke jezike u gimnaziji Martino-Katharineum. U njegovoj 17 godini grof od Braunšvajg-Volfenbitela mu daje stipendiju, te se ulaskom u kolegijum Karolinum zainteresovao za matematiku i samostalno otkrio Bodeov zakon proporcija, doprineo teoriji kvadratnih formi, aritmetičkoj sredini, geometrijskoj sredini, zakonu kvadratne recipročnosti, te teoremi o prostim brojevima. S tim otkrićima odustao je od proučavanja jezika i okrenuo se matematici.

Matematika

Studirao je na Getingenskom univerzitetu od 1795. do 1798, gde mu je učitelj bio Kestner kojeg je često ismejavao; a doktorirao je 1799, dokazavši da svaka algebarska jednačina ima najmanje jedno rešenje. Ta teorema se naziva osnovnom teoremom algebre. Tu je pokušao da konstruiše pravilni sedmougao pomoću lenjira i šestara. Ne samo da je došao do zaključka da je to nemoguće, već je otkrio metode konstrukcije pravilnog 17, 257, 65537 – ugla. Tako je dokazao da je konstrukcija pravilnog mnogougla, lenjirom i šestarom, moguća samo kada su stranice prim brojevi serije 3, 5, 17, 257, 65537 i tako dalje; to je opisao u knjizi o teoriji brojeva, Disqvisitiones Arithmeticae (Pitanja o aritmetici, 1801), koje je klasično delo na polju matematike.

Gausova raspodela

Glavni članak: Normalna raspodela

Normalna raspodela, Gausova raspodela ili Gaus-Laplasova raspodela je najvažnija statistička teorijska raspodela (distribucija). Prvi ju je objasnio Abram de Moavr (1753) kao granični oblik binomne raspodele. Normalna raspodela je apsolutno neprekidna raspodela čija gustina je oblika:

$f(x\;|\;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

Ona je dvoparametarska funkcija. Parametri su joj matematičko očekivanje μ i standardna devijacija σ. Standardizovana normalna raspodela ima matematičko očekivanje $\mu =0$ i standardnu devijaciju $\sigma =1$, a beleži se kao $N(0,1)$. Normalna kriva (to jest graf normalne raspodele) zvonolikog je oblika i simetrična je, pa su svi neparni momenti oko matematičkog očekivanja raspodele jednaki 0. Matematičko očekivanje, medijana i modus normalne raspodele međusobno su jednaki, što je posledica svojstva simetričnosti gustine ove raspodele. Koeficijenti asimetrije jednaki su 0, a koeficijent zaobljenosti je 3.

Gausova kriva

Glavni članak: Gausova kriva

Gausova kriva je kriva određena jednačinom:

$y=e^{-x^{2}}$

simetrična je s obzirom na y-osu, asimptotski se približuje ka x-osi, kada x teži prema + ∞ i – ∞. Ta se kriva, zbog njene primene u računu verovatnoće, naziva i krivom verovatnoće.

Gausov algoritam

Glavni članak: Gausov algoritam

Gausov algoritam je niz matematičkih operacija, koje je predložio Gaus za rešavanje sistema linearnih jednačina. Način na koji se poništavaju (eliminišu) pojedine nepoznate u jednačinama poznat je i pod imenom Gausove eliminacije.

Astronomija

Gaus se nakon toga posvetio astronomiji te je po njegovim proračunima planetoid Ceres, otkriven 1801. Dao je takođe novu metodu izračunavanja putanja ili orbita nebeskih tela. Godine 1807, nakon smrti Grofa od Brunsvika, postao je matematički profesor i direktor opservatorije u Getingenu, gde je ostao sve do svoje smrti 1855. Nakon niza porodičnih tragedija, 1809. izdaje svoju drugu knjigu u dva dela Theoria motus corporum celestium in sectionibus concis Solem ambientum, o kretanju nebeskih tela. U prvom delu raspravlja o diferencijalnim jednačinama, delovima kupe i eliptičnim orbitama, dok u drugom, glavnom delu pokazuje kako se može naći i izračunati orbita planeta. Gausov doprinos teorijskoj astronomiji prestaje nakon 1817, iako nastavlja s posmatranjima. Iako u opservatoriji provodi većinu vremena, nalazi vremena i za rad na drugim područjima nauke. Njegova dela iz tog perioda su: Disquisitiones generales circa seriem infinitam, uvod u teoriju hipergeometrijskih funkcija; Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, praktični esej o integralnom računu, Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen, rasprava o statističkim procenama, te Theoria attractions corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova teactata, inspirisana geometrijskim problemima.

Geodezija

Gaus se tokom 1820-ih sve više interesovao za geodeziju. Godine 1818. sprovodio je geodetska istraživanja za državu Hanover, o spajanju s danskom željezničkom mrežom, te je izumeo heliotrop (spravu za signalizaciju na daljinu), koji je radio na načelu reflektovanja sunčevih zraka pomoću teleskopa i ogledala. Od 1820. do 1830. izdao je više od 70 članaka. Godine 1822. osvojio je nagradu Kopenhagenskog univerziteta s delom Theoria attractions corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova teactata. Gaus je prvi razvio neeuklidsku geometriju, diskutujući sa Farkašom Boljajom, Janošom Boljajom i Lobačevskim. Proučavao je diferencijalnu geometriju, te je o toj temi napisao delo Disquisitiones generales circa superfices curva (1828), njegovo najvažnije delo na tom području, koje sadrži ideje kao Gausova kriva (normalan graf verovatnoće) i teorem egregrium. Po Gausu je nazvan i Gaus-Krigerov koordinatni sistem koji je usvojen kao zvanična državna kartografska projekcija u Kraljevini SHS 1924. godine i korišćen u Republici Srbiji do 2011. godine.

Fizika

Sa nemačkim fizičarom Vilhelm Eduard Veberom, Gaus je sproveo opširno istraživanje o magnetizmu, a njegovo primenjivanje matematike na magnetizam i elektricitet je jedno od njegovih važnijih doprinosa (u čast njemu jedinica intenziteta magnetskog polja dobila je naziv gaus). O toj je temi napisao mnoga dela kao: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832), Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (1839) i Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs - und Abstossungskräfte (1840). Gaus i Veber su otkrili Kirhofove zakone, konstruisali primitivni telegraf te stvorili vlastite novine Magnetischer Verein. Među njegovim zadnjim delima je rasprava s Gerlingom o Fukoovom klatnu (1854). Doživeo je otvorenje hanoverske železničke mreže, te je preminuo 23. februara 1855. u Getingenu, a da retko koje polje matematike, astronomije i matematičke fizike nije ostalo dotaknuto njegovim doprinosima. Njegov mozak je sačuvan i izučavao ga je Rudolf Vagner, koji je utvrdio da je njegova masa 1.492 grama (nešto iznad proseka) i da je cerebralna oblast jednaka 219.588 kvadratna milimetra Visoko razvijene konvolucije su isto tako uočene, što je u ranom 20. veku smatrano objašnjenjem njegovog genija.

Gausov zakon električnoga polja

Glavni članak: Gausov zakon

Gausov zakon električnoga polja je fizički zakon prema kojem su linije električnoga polja otvorene krive što izlaze iz pozitivnih električnih naboja, a završavaju u negativnim električnim nabojima, odnosno tok električnoga polja kroz zamišljenu zatvorenu površinu jednak je zbiru svih električnih naboja koji se nalaze unutar te površine podeljene s dielektričnom permitivnošću vakuuma. U integralnom obliku zakon glasi:

$\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

gde je: Φ_E - tok električnog polja, Q - električni naboj, ε₀ - dielektrična konstanta vakuuma. Tok se nadalje može povezati sa električnim poljem:

$\Phi _{E}=\int _{s}E\cdot dA$

gde je: E - vektor električnog polja, a dA - element površine S po kojoj se integriše. Tok električnoga polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu koja ne sadrži električni naboj jednak je nuli, to jest električni naboj izvor je električnog polja.

Gausov zakon magnetskoga polja

Glavni članak: Gausov zakon magnetskoga polja

Gausov zakon magnetskoga polja je fizički zakon prema kojemu su linije magnetskoga polja zatvorene linije, odnosno magnetski tok (tok vektora magnetske indukcije) kroz zamišljenu zatvorenu površinu jednak je nuli:

$\iint \mathbf {B} \cdot dS=0$

gde je: B - magnetski tok, a S - zatvorena površina. Tim je zakonom potvrđeno da u prirodi ne postoje magnetski monopoli.

Gausov sistem jedinica

Glavni članak: CGS sisem

Gausov sistem jedinica je sistem mernih jedinica koji je na temelju predloga Gausa i V. Vebera prihvaćen na 1. međunarodnom elektrotehničkom kongresu u Parizu 1881. i smatran jedinstvenim sistemom jedinica sveukupne nauke. Osnovne su mu jedinice bile centimetar, gram i sekunda, po čemu je nazvan CGS-sistemom. Zbog krivih tumačenja zamisli njegovih osnivača, u primeni je toga sistema bilo mnogo teškoća, posebno u području elektromagnetizma. Električne su se veličine izražavale jedinicama CGSe-sistema (elektrostatički sistem jedinica), a magnetske jedinicama CGSm-sistema (elektromagnetski sistem jedinica). Za takav mešoviti, nekoherentni sistem predložio je Herman fon Helmholc 1882. naziv Gausov sistem jedinica. Uz druge sisteme primenjivao se sedamdesetak godina, posebno u fizici. Sva su 3 sistema danas zamenjena Međunarodnim sistemom mernih jedinica (SI).

Literatura

• Ostdiek, Vern J.; Bord, Donald J. (2007). Inquiry into Physics. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-11943-2. 
• Bardi, Jason (2008). The Fifth Postulate: How Unraveling A Two Thousand Year Old Mystery Unraveled the Universe. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-470-46736-7. 
• Monastyrsky, Michael (1987). Riemann, Topology, and Physics. Birkhäuser. str. 21–22. ISBN 978-0-8176-3262-5. 
• Krantz, Steven G. (2010). An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture through Problem Solving. MAA. str. 171. ISBN 978-0-88385-766-3. Pristupljeno 9. 2. 2013. 
• Zeidler, Eberhard (2004). Oxford Users' Guide to Mathematics. Oxford, UK: Oxford University Press. str. 1188. ISBN 978-0-19-850763-5. 
• Bass, Michael; DeCusatis, Casimer; Enoch, Jay; Lakshminarayanan, Vasudevan (2009). Handbook of Optics. McGraw Hill Professional. str. 17.7. ISBN 978-0-07-149889-0. 
• Bühler, Walter Kaufmann (1987). Gauss: A Biographical Study. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-10662-5. 
• Dunnington, G. Waldo. (2003). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-547-8. OCLC 53933110. 
• Gauss, Carl Friedrich (1965). Disquisitiones Arithmeticae. tr. Arthur A. Clarke. Yale University Press. ISBN 978-0-300-09473-2. 
• Hall, Tord (1970). Carl Friedrich Gauss: A Biography. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0-262-08040-8. OCLC 185662235. 
• Kehlmann, Daniel (2005). Die Vermessung der Welt. Rowohlt. ISBN 978-3-498-03528-0. OCLC 144590801. 
• Sartorius von Waltershausen, Wolfgang (1856). Gauss: A Memorial. S. Hirzel. 
• Simmons, J. (1996). The Giant Book of Scientists: The 100 Greatest Minds of All Time. Sydney: The Book Company. 
• Tent, Margaret (2006). The Prince of Mathematics: Carl Friedrich Gauss. A K Peters. ISBN 978-1-56881-455-1. 

Spoljašnje veze

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Karl Fridrih Gaus”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Gausova biografija
• Kompletna dela
• Karl Friedrich Gauss na sajtu Projekat Gutenberg (jezik: engleski)
• Karl Fridrih Gaus na sajtu Internet Archive (jezik: engleski)
• Gauss and his children
• Karl Fridrih Gaus na sajtu MGP (jezik: engleski)
• Carl Friedrich Gauss
• Gauss: mathematician of the millennium
• English translation of Waltershausen's 1862 biography
• MNRAS 16 (1856) 80 Obituary
• Carl Friedrich Gauss on the 10 Deutsche Mark banknote
• "Carl Friedrich Gauss"
• Grimes, James. „5050 And a Gauss Trick”. Numberphile. Brady Haran. Arhivirano iz originala 15. 7. 2017. g. Pristupljeno 30. 7. 2017.