Kvadratna jednačina

Kvadratna jednačina je u matematici polinomijalna jednačina drugog stepena. Implicitni oblik potpune kvadratne jednačine glasi:

$ax^{2}+bx+c=0,\,\!$

gde je a ≠ 0. (Za a = 0, jednačina postaje linearna.)

Slova a, b, i c se nazivaju koeficijentima: kvadratni koeficijent a je koeficijent uz x², linearni koeficijent b je koeficijent uz x, a c je slobodan član.

Kvadratna jednačina uvek ima dva rešenja.

Grafici realnih kvadratnih funkcija ax² + bx + c. Svaki koeficijent varira zasebno

Kvadratna formula

Glavni članak: Kvadratna formula

Kvadratna jednačina sa realnim (ili kompleksnim) koeficijentima ima dva (ne obavezno različita) rešenja, koja se nazivaju korenima. Rešenja mogu biti realna ili kompleksna, a data su formulom:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

gde ± označava da su i

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

i

$\ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

rešenja date kvadratne jednačine.

Diskriminanta

Primeri različitih znakova diskriminante
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

U gornjoj formuli, ispod kvadratnog korena prisutan izraz:

$\Delta =b^{2}-4ac,\,\!$

se naziva diskriminantom kvadratne jednačine.

Kvadratna jednačina sa realnim koeficijentima može imati jedan ili dva različita realna korena, ili dva različita kompleksna korena. U ovom slučaju, diskriminanta određuje broj i prirodu korena. Postoje tri slučaja:

• Ako je diskriminanta pozitivna dobijaju se realna i različita rešenja. Kod kvadratnih jednačina sa celobrojnim koeficijentima, ako je diskriminanta savršen kvadrat, onda su koreni racionalni brojevi, dok u ostalim slučajevima mogu biti iracionalni.
• Ako je diskriminanta jednaka nuli, postoji samo jedno rešenje jednačine, i ono je realan broj. On se nekada naziva dvostrukim korenom, a njegova vrednost je:

  $x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

• Ako je diskriminanta negativna, rešenja su kompleksni brojevi, i postoje dva različita kompleksna korena, koji su kompleksni konjugati jedan drugog:

  ${\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}i,\\x&={\frac {-b}{2a}}-{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}i,\\i^{2}&=-1.\end{aligned}}$

Dakle, koreni su različiti ako i samo ako je diskriminanta različita od nule, a realni su ako i samo ako diskriminanta nije negativna.

Geometrija

Za kvadratnu funkciju:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) realne promenljive x, x-koordinate tačaka gde grafik dodiruje x-osu, x = −1 i x = 2, su koreni kvadratne jednačine: x² − x − 2 = 0.

Koreni kvadratne jednačine

$ax^{2}+bx+c=0,\,$

su takođe nule kvadratne funkcije:

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\,$

jer su to vrednosti x za koje je

$f(x)=0.\,$

Ako su a, b i c realni brojevi, i domen funkcije f je skup realnih brojeva, onda su nule funkcije f tačno x-koordinate tačaka gde grafik funkcije dodiruje x-osu.

Iz ovoga sledi da ako je diskriminanta pozitivna, grafik dodiruje x-osu u dve tačke, ako je diskriminanta jednaka nuli, onda je dodiruje u jednoj tački, a ako je negativna, onda grafik ne dodiruje x-osu.

Kvadratna faktorizacija

Vrednost

$x-r,\,$

deli polinom

$ax^{2}+bx+c,\$

ako i samo ako je r koren kvadratne jednačine

$ax^{2}+bx+c=0.\$

Iz kvadratne formule sledi da

$ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).\$

U posebnom slučaju kada kvadratna jednačina nema dva različita korena (to jest, kada je diskriminanta jednaka nuli), kvadratni polinom se može faktoristi kao

$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.\,\!$

Primena na jednačine višeg reda

Određene jednačine višeg reda se mogu lako rešiti pomoću kvadratnih jednačina. Na primer:

$2x^{6}-3x^{3}+5=0,\,$

se može zapisati kao

$2u^{2}-3u+5=0,\$

gde je

$u=x^{3}\$.

Najveći eksponent mora biti dvostruko veći od eksponenta srednjeg sabirka. Ova jednačina se može rešiti direktno ili korišćenjem jednostavne smene, pomoću metoda za rešavanje kvadratnih jednačina.

Uopšteno govoreći, ako je polinom kvadratni za neku promenljivu u gde je

$u=x^{n}\,\;$

onda se kvadratna jednačina može koristiti za lakše pronalaženje rešenja.

Istorija

Vavilonski matematičari su znali da reše zadatke u kojima se tražila površina ili stranice pravougaonika, već oko 1800. godine pr. n. e, kao što pokazuju sačuvane glinene tablice iz vremena Starog vavilonskog carstva. Postoje dokazi na osnovu kojih se taj postupak datira čak u vreme vladavine III dinastije Ura. U savremenoj notaciji, zadaci su, obično, podrazumevali rešavanje sistema koji su činile dve jednačine oblika:

$x+y=p,\ \ xy=q$

a koje su ekvivalentne jednačini:

$x^{2}+q=px$

Vavilonski pisari navode sledeće korake za rešavanje spomenutog problema određivanja nepoznatih elemenata pravougaonika:

1. Izračunati polovinu od p.
2. Kvadrirati dobijeni rezultat.
3. Oduzeti q.
4. Odrediti kvadratni koren dobijenog broja korišćenjem tablice kvadrata.
5. Sabrati rezultate dobijene u koracima (1) i (4) kako bi se dobilo x. U suštini, ovaj postupak je ekvivalentan korišćenju formule $x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$.

Geometrijske metode za rešavanje kvadratnih jednačina korišćene su u Vavilonu, Egiptu, Grčkoj, Kini i Indiji. Egipatski papirus koji datira negde iz vremena Srednjeg kraljevstva (od 2050. p. n. e. do 1650. p. n. e.) a danas se čuva u Berlinu, pa je poznat kao Berlinski papirus, daje rešenje nepotpune kvadratne jednačine koja ima dva člana. U indijskim spisima Šulba sultre, oko 8. veka p. n. e., kvadratne jednačine oblika ax² = c and ax² + bx = c su ispitivane korišćenjem geometrijskih metoda. U Starom Vavilonu oko 400. p. n. e. i u Kini oko 200. p. n. e. u upotrebu ulazi geometrijska metoda disekcije za rešavanje kvadratnih jednačina sa pozitivnim korenima. Pravila za rešavanje kvadratnih jednačina mogu se naći u starokineskom matematičkom tekstu pod nazivom Devet knjiga o matematičkoj veštini. Ni u jednom od tih ranih geometrijskih metoda korišćenih za određivanje rešenja kvadratne jednačine nema naznaka opšte formule. Grčki matematičar Euklid našao je, oko 300. p. n. e., apstraktniji geometrijski način za rešavanje. Zahvaljujući čisto geometrijskom pristupu Pitagora i Euklid zaslužni su za pronalaženje opšteg načina određivanja rešenja kvadratne jednačine. Grčki matematičar Diofant rešio je kvadratnu jednačinu u svojoj Aritmetici, ali je dao samo jedan koren, čak i u situacijama kada su oba korena pozitivna.

Godine 628., Bramagupta je dao prvo eksplicitno (mada još uvek ne potpuno opšte) rešenje kvadratne jednačine:

$\ ax^{2}+bx=c$

„ Apsolutnom broju pomnoženim četiri puta [koeficijentom] kvadrata, dodaj kvadrat [koeficijenta] srednjeg člana; kvadratni koren ovoga, manje [koeficijent] srednjeg člana podeljen dvostrukim [koeficijentom] kvadrata je vrednost. (Brahmasphutasiddhanta (Colebrook translation. 1817. pp. 346) ”

Ovo je ekvivalentno sa:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

Obrazac za računanje korena kvadratne jednačine

Način izvođenja obrasca za pronalaženje rešenja kvadratne jednačine može se videti u sledećem primeru:

Data je kvadratna jednačina sa realnim koeficijentima :$a,b,c\,$

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Sada ćemo podeliti celu jednačinu sa prvim koeficijentom (odnosno podelićemo je sa :$a\,$)

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\,$

U sledećem koraku je potrebno napraviti kvadrat binoma:

$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0\,$

Zatim se poznate prebace na desnu stranu:

$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\,$

Sredi se desna strana:

$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,$

Sada je potrebno izraziti $x+{\frac {b}{2a}}\,$:

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\,$

Odnosno, to je:

$x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

I kada se prebaci ${\frac {b}{2a}}\,$ na desnu stranu:

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\,$

I na kraju kada se sredi, dobija se poznati obrazac za izračunavanje korena kvadratne jednačine:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

Bakšali rukopis iz Indije, datiran u 7. vek je sadržavao algebarsku formulu za rešavanje kvadratnih jednačina. Muhamed Al Horezmi (Persija, 9. vek) je razvio skup formula koje su radile za pozitivna rešenja. Abraham bar Hija (poznat i pod latinskim imenom Savasorda) je u Evropi uveo kompletno rešenje u svojoj knjizi Liber embadorum iz 12. veka. Baskara II (1114. – 1185), indijski matematičar i astronom, je dao prvo opšte rešenje kvadratne jednačine sa dva korena.

Spisi kineskog matematičara Jang Huija (1238—1298) su prvi u kojima se pojavljuju kvadratne jednačine sa negativnim koeficijentima od 'x', mada on ovo pripisuje Liu Jiu.

Vidi još

• Linearna jednačina
• Kubna jednačina
• Osnovna teorema algebre
• Parabola
• Kvadratna funkcija
• Čakravalin metod
• Dopuna do potpunog kvadrata

Literatura

• Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. str. 380. ISBN 978-0-486-20430-7. 
• The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. str. 530. ISBN 978-0-521-07791-0. 
• Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. str. 542,86. ISBN 978-0-387-95336-6. 
• Boyer, Carl Benjamin (1949). . Hafner. Dover edition. Boyer, Carl Benjamin (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover. ISBN 978-0-486-60509-8. 
• Courant, Richard. ISBN 978-3-540-65058-4. Introduction to calculus and analysis 1.
• Robert A. Adams. 1999. ISBN 978-0-201-39607-2. Calculus: A complete course.
• Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985–1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7.
• Cliff Pickover. 2003. ISBN 978-0-471-26987-8. Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
• Michael Spivak. (September 1994). ISBN 978-0-914098-89-8. Calculus. Publish or Perish publishing.
• Tom M. Apostol. 1967. ISBN 978-0-471-00005-1. Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
• Tom M. Apostol. 1969. ISBN 978-0-471-00007-5. Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley.
• Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. 1998. ISBN 978-0-312-18548-0. Calculus Made Easy.
• Mathematical Association of America. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
• Thomas/Finney. 1996. ISBN 978-0-201-53174-9. Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
• Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis:"Calculus", John Willey and Sons Pte. Ltd. 2002. ISBN 978-81-265-1259-1.
• Larson, Ron, Bruce H. Edwards Calculus, , Brooks Cole Cengage Learning. (9th изд.). 2010. ISBN 978-0-547-16702-2. 
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers. University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5. 
• Salas, Saturnino L.; Hille, Einar; Etgen, Garret J. (2007). Calculus: One and Several Variables (10th izd.). Wiley. ISBN 978-0-471-69804-3. 
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano Calculus, , Addison-Wesley. (11th изд.). 2008. ISBN 978-0-321-48987-6. 
• Boelkins, M. (2012). Active Calculus: a free, open text (PDF). Arhivirano iz originala 30. 5. 2013. g. Pristupljeno 1. 2. 2013. 
• Crowell, B. (2003). "Calculus". Light and Matter, Fullerton. Pristupljeno 6 May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
• Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus". University of Minnesota. Pristupljeno 6 May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
• Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus". Pristupljeno 6 May 2007 from UnderstandingCalculus.com, URL http://www.understandingcalculus.com (HTML only)
• Keisler, H.J. (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals". Pristupljeno 29 August 2010 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" (pdf). California Institute of Technology. Pristupljeno 6 May 2007 from https://web.archive.org/web/20070614183657/http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
• Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Pristupljeno 6 May 2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm Arhivirano na sajtu Wayback Machine (25. februar 2010)
• Smith, William V. (2001). "The Calculus". Pristupljeno 4 July 2008 [1] (HTML only).

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Quadratic equation”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Quadratic equations”. MathWorld. 
• 101 uses of a quadratic equation Архивирано на сајту Wayback Machine (10. новембар 2007)
• 101 uses of a quadratic equation: Part II Архивирано на сајту Wayback Machine (22. октобар 2007)