Laplasova transformacija
Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu.[1] Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.
Pojam originala uredi
Funkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove:
- 1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose
- 2. za svako t<0, f(t)=0
- 3. postoje M i s0, tako da je
Definicija Laplasove transformacije uredi
Funkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t).
Za slučaj da je dobija se jednostrana Furijeova transformacija:
Osobine uredi
Linearnost uredi
Teorema sličnosti uredi
- Ako je , tada je , pri čemu je
Diferenciranje originala uredi
- Ako je i , tada je
Diferenciranje slike uredi
- Ako je , tada je , odnosno indukcijom se potvrđuje da važi
Integracija originala uredi
- Ako je i , tada je
Integracija slike uredi
- Ako postoji integral , tada je
Teorema pomeranja uredi
Teorema kašnjenja uredi
Laplasova transformacija konvolucije funkcija uredi
Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. Napomena: definicija konvolucije je:
Laplasova transformacija periodičnih funkcija uredi
- Ako ima osobinu , tada važi
Dokaz uredi
Odakle sledi:
Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija uredi
Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti t, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom.
ID | Funkcija | Vremenski domen |
Laplasov s-domen (frekventni domen) |
Oblast konvergencije za kauzalne sisteme | ||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | idealno kašnjenje | |||||
1a | jedinični impuls | |||||
2 | zakašnjeni n-ti stepen sa frekvencijskim pomeranjem |
|||||
2a | n-ti stepen (za ceo broj n) |
|||||
2a.1 | q-ti stepen (za realno q) |
|||||
2a.2 | Hevisajdova funkcija | |||||
2b | zakašnjena Hevisajdova funkcija | |||||
2c | rampa funkcija | |||||
2d | frekvencijsko pomeranje n-tog reda | |||||
2d.1 | eksponencijalno opadanje | |||||
3 | eksponencijalno približavanje | |||||
4 | sinus | |||||
5 | kosinus | |||||
6 | sinus hiperbolikus | |||||
7 | kosinus hiperbolikus | |||||
8 | eksponencijalno opadajući sinus |
|||||
9 | eksponencijalno opadajući kosinus |
|||||
10 | n-ti koren | |||||
11 | prirodni logaritam | |||||
12 | Beselova funkcija prve vrste, reda n |
| ||||
13 | modifikovana Beselova funkcija prve vrste, reda n |
|||||
14 | Beselova funkcija druge vrste, nultog reda |
|||||
15 | modifikovana Beselova funkcija druge vrste, nultog reda |
|||||
16 | funkcija greške | |||||
Objašnjenja:
|
Inverzna Laplasova transformacija uredi
U opštem slučaju, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala:
gde je realni deo bilo kog singulariteta funkcije .
S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.
Diskretna Laplasova transformacija uredi
Za funkciju celobrojne promenljive njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao:
Konvergencija ovog reda zavisi od .
Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.
Primena uredi
U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.
Reference uredi
- ^ Korn & Korn 1967, §8.1
Literatura uredi
- Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (2nd izd.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4
- Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd izd.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
- Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403
- Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd izd.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1
- Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923
- Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5
- Takacs, J. (1953), „Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal”, Magyar Hiradastechnika (na jeziku: Hungarian), IV (7–8): 93—96
- Euler, L. (1744), „De constructione aequationum” [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), 22: 150—161
- Euler, L. (1753), „Methodus aequationes differentiales” [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), 22: 181—213
- Euler, L. (1992) [1769], „Institutiones calculi integralis, Volume 2” [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN 978-3764314743, Chapters 3–5
- Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (na jeziku: latinski), II, Paris: Petropoli, str. 57—153 Pronađeni su suvišni parametri:
|at=
i|pages=
(pomoć) - Grattan-Guinness, I (1997), „Laplace's integral solutions to partial differential equations”, Ur.: Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
- Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, str. 171—234
- Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3.
- Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (Third izd.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4
- Deakin, M. A. B. (1981), „The development of the Laplace transform”, Archive for History of Exact Sciences, 25 (4): 343—390, doi:10.1007/BF01395660
- Deakin, M. A. B. (1982), „The development of the Laplace transform”, Archive for History of Exact Sciences, 26 (4): 351—381, doi:10.1007/BF00418754
- Doetsch, Gustav (1974), Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, ISBN 978-0-387-06407-9
- Mathews, Jon; Walker, Robert L. Mathematical methods of physics , New York: W. A. Benjamin. (2nd изд.). 1970. ISBN 978-0-8053-7002-7.
- Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
- Schwartz, Laurent (1952), „Transformation de Laplace des distributions”, Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] (na jeziku: French), 1952: 196—206, MR 0052555
- Schwartz, Laurent (2008) [1966], Mathematics for the Physical Sciences, Dover Books on Mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46662-0 - See Chapter VI. The Laplace transform.
- Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3
- Widder, David Vernon (1945), „What is the Laplace transform?”, The American Mathematical Monthly, 52 (8): 419—425, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305640, MR 0013447, doi:10.2307/2305640
Spoljašnje veze uredi
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Laplace transform”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Wolfram, Laplace Transform
- Laplace-Transformation
- Laplace-Transformation
- Laplace-Transformation – Definition und Rechenregeln Архивирано на сајту Wayback Machine (6. март 2016)
- Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (AMS55)
- Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
- Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Weisstein, Eric W. „Laplace Transform”. MathWorld.
- Good explanations of the initial and final value theorems Архивирано на сајту Wayback Machine (8. јануар 2009)
- Laplace Transforms at MathPages
- Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.
- Laplace Calculator Архивирано на сајту Wayback Machine (17. март 2018) to calculate Laplace Transforms online easily.