Википедија

Radijan

U matematici i fizici, radijan je merna jedinica ugla. To je SI izvedena jedinica za ugao.[1] Definisana je kao ugao kod centra kruga zatvoren lukom kružnice koji je jednak u dužini poluprečniku kruga. Mere ugla u radijanima su često date bez ikakve eksplicitne jedinice. Kada se da jedinica, koristi se skraćenica rad, a ponekad simbol c (za cirkularni).

Radijan
SistemIzvedene jedinice SI sistema
JedinicaUgao
Simbolrad ili c 
U jedinicamaBez dimenzija sa dužinom luka jednakom poluprečniku, tj. 1 m/m
Jedinična pretvaranja
1 rad u ...... je jednak sa ...
   miliradijani   1000 mrad
   obrt   1/2π obrt
   stepena   180/π ≈ 57,296°
   grada   200/π ≈ 63,662g
Luk kruga iste dužine kao i poluprečnik tog kruga obuhvata ugao od 1 radijana. Obim obuhvata ugao od 2π radijana.

Definicija uredi

 
Potpuna revolucija je 2π radijana (ovde je prikazana krugom poluprečnika jedan, a time i obimom 2π).

Jedan radijan se definiše kao ugao formiran od centra kruga koji preseca luk jednake dužine poluprečniku kruga.[2] Uopštenije, magnituda tog ugla u radijanima jednaka je odnosu dužine luka i poluprečnika kruga; to jest, θ = s/r, gde je θ ugao u radijanima, s je dužina luka, a r je poluprečnik. Suprotno tome, dužina presečenog luka jednaka je poluprečniku pomnoženom sa veličinom ugla u radijanima; odnosno s = rθ.

Kao odnos dve dužine, radijan je čist broj.[a] U SI, radijan je definisan kao da ima vrednost 1.[6] Kao posledica toga, u matematičkom pisanju, simbol „rad“ se skoro uvek izostavlja. Kada se kvantifikuje ugao u odsustvu bilo kog simbola, pretpostavljaju se radijani, a kada se misli na stepene, koristi se znak stepena °.

Iz toga sledi da je veličina u radijanima jednog potpunog obrtaja (360 stepeni) dužina celog obima podeljena poluprečnikom, ili 2πr / r, ili 2π. Tako je 2π radijana jednako 360 stepeni, što znači da je jedan radijan jednak 180/π ≈ 57,295779513082320876 stepeni.[7]

Relacija 2π rad = 360° se može izvesti korišćenjem formule za dužinu luka,  , i korišćenjem kruga poluprečnika 1. Pošto je radijan mera ugla koji spaja luk dužine jednake poluprečniku kruga, sledi  . Ovo se dalje može pojednostaviti na  . Množenje obe strane sa 360° daje 360° = 2π rad.

Istorija uredi

Koncept radijanske mere, za razliku od stepena ugla, obično se pripisuje Rodžeru Kotsu 1714. godine.[8][9] On je opisao radijan u svemu osim u imenu i prepoznao njegovu prirodnost kao jedinicu ugaone mere. Pre nego što je termin radijan postao široko rasprostranjen, jedinica se obično zvala kružna mera ugla.[10]

Ideju o merenju uglova dužinom luka već su koristili drugi matematičari. Na primer, al-Kaši (oko 1400) koristio je takozvane delove prečnika kao jedinice, gde je jedan deo prečnika bio 1/60 radijana. Takođe su koristili seksagezimalne podjedinice dela prečnika.[11]

Termin radijan se prvi put pojavio u štampi 5. juna 1873. u ispitnim pitanjima koje je postavio Džejms Tomson (brat lorda Kelvina) na Kvins koledžu u Belfastu. On je koristio taj termin još 1871. godine, dok je 1869. Tomas Mjur, tada sa Univerziteta Sent Endruz, kolebao između pojmova rad, radial, i radian. Godine 1874, nakon konsultacija sa Džejmsom Tomsonom, Mjur je usvojio radijan.[12][13][14] Ime radijan nije bilo univerzalno usvojeno neko vreme nakon ovoga. Longmansova školska trigonometrija je i koristila naziv radijanska kružna mera kada je objavljena 1890.[15]

Simbol jedinice uredi

Međunarodni biro za tegove i mere[16] i Međunarodna organizacija za standardizaciju[17] navode rad kao simbol radijana. Alternativni simboli koji su korišćeni pre 100 godina su c (nadnaslovno napisano slovo c, za „kružnu meru“), slovo r ili superskript R,[18] ali se ove varijante retko koriste, jer mogu biti pomešane sa simbolom stepena (°) ili poluprečnikom (r). Stoga bi vrednost od 1,2 radijana najčešće bila zapisana kao 1,2 rad; druge oznake uključuju 1,2 r, 1,2rad, 1,2c, ili 1,2R.

Konverzije uredi

Postoje 2π (oko 6,283185) radijana u punom krugu, pa:

2π rad = 360°
1 rad = 360°/2π = 180°/π (približno 57,29578°).

ili:

 
 

U matematičkoj analizi, uglovi moraju da se predstave u radijanima u trigonometrijskim funkcijama, da bi identiteti i rezultati bili što prostiji i prirodniji. Na primer, upotreba radijana vodi do prostog identiteta

 ,

koji je osnova za mnoge druge elegantne identitete u matematici, uključujući

 .

Radijan je pre bio SI dopunska jedinica, ali je ova kategorija ukinuta iz SI sistema 1995. godine.

Treba naglasiti da, iako je radijan jedinica za meru, sve mereno u radijanima je bezdimenzionalno. Ovo može lako da se uoči u tome da je odnos dužine luka i poluprečnika u stvari ugao luka, meren u radijanima; a ipak količnik dva rastojanja je bez dimenzija. Veličine uglova su naprosto brojevi—u matematičkom smislu—a ne fizičke veličine merene u odnosu na izvestan fiksan etalon. Veličina ugla, u radijanima, stepenima ili ma kojoj drugoj jedinici, nezavisna je od jedinice koja se koristi za izražavanje dužina i drugih fizičkih merljivih veličina.

Za merenje prostornih uglova, vidite steradijan.

Prednosti merenja u radijanima uredi

 
Neki uobičajeni uglovi, mereni u radijanima. Svi veliki poligoni u ovom dijagramu su pravilni poligoni.

U kalkulusu i većini drugih grana matematike izvan praktične geometrije, uglovi se univerzalno mere u radijanima. To je zato što radijani imaju matematičku „prirodnosti” koja dovodi do elegantnije formulacije brojnih važnih rezultata. Što je najvažnije, rezultati u analizi koja uključuje trigonometrijske funkcije mogu se elegantno navesti, kada su argumenti funkcija izraženi u radijanima. Na primer, upotreba radijana dovodi do jednostavne formule limita

 

što je osnova mnogih drugih identiteta u matematici, uključujući

 [7]
 

Zbog ovih i drugih svojstava, trigonometrijske funkcije se pojavljuju u rešenjima matematičkih problema koji nisu očigledno povezani sa geometrijskim značenjima funkcija (na primer, rešenja diferencijalne jednačine:  , izračunavanja integrala   i tako dalje). U svim takvim slučajevima, nađeno je da su argumenti funkcija najprirodnije napisani u obliku koji odgovara, u geometrijskom kontekstu, radijanskom merenju uglova.

Trigonometrijske funkcije takođe imaju jednostavna i elegantna proširenja serije kada se koriste radijani. Na primer, kada je x u radijanima, Tejlorov niz za sin x postaje:

 

Ako je x izraženo u stepenima, onda bi serija sadržala nepregledne faktore koji uključuju stepene π/180: ako je x broj stepeni, broj radijana je y = πx / 180, tako da

 

U sličnom duhu, matematički važni odnosi između sinusnih i kosinusnih funkcija i eksponencijalne funkcije (pogledajte, na primer, Ojlerovu formulu) mogu se elegantno izraziti, kada su argumenti funkcija u radijanima (a inače neuredni).

Dimenzionalna analiza uredi

Iako je radijan jedinica mere, on je bezdimenzionalna veličina. Ovo se može videti iz ranije date definicije: ugao vezan za centar kruga, meren u radijanima, jednak je odnosu dužine zatvorenog luka i dužine poluprečnika kruga. Pošto se merne jedinice poništavaju, ovaj odnos je bezdimenzionalan.

Iako polarne i sferne koordinate koriste radijane za opisivanje koordinata u dve i tri dimenzije, jedinica se izvodi iz radijusne koordinate, tako da je mera ugla i dalje bezdimenzionalna.[19]

Vidi još uredi

Napomene uredi

  1. ^ While the radian is normally defined as the ratio of two lengths (it is a "pure number"), Mohr and Phillips[3] and others [4] [5] point out that problems can arise if angles are defined to be dimensionless.

Reference uredi

  1. ^ „Resolution 8 of the CGPM at its 20th Meeting (1995)”. Bureau International des Poids et Mesures. Arhivirano iz originala 2018-12-25. g. Pristupljeno 2014-09-23. 
  2. ^ Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, str. APP-4, LCCN 76087042 
  3. ^ Mohr, J. C.; Phillips, W. D. (2015). „Dimensionless Units in the SI”. Metrologia. 52 (1): 40—47. Bibcode:2015Metro..52...40M. S2CID 3328342. arXiv:1409.2794  . doi:10.1088/0026-1394/52/1/40. 
  4. ^ Mills, I. M. (2016). „On the units radian and cycle for the quantity plane angle”. Metrologia. 53 (3): 991—997. Bibcode:2016Metro..53..991M. doi:10.1088/0026-1394/53/3/991. 
  5. ^ „SI units need reform to avoid confusion”. Editorial. Nature. 548 (7666): 135. 7. 8. 2011. PMID 28796224. doi:10.1038/548135b  . 
  6. ^ ISO 80000-3:2006
  7. ^ a b Weisstein, Eric W. „Radian”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-31. 
  8. ^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (februar 2005). „Biography of Roger Cotes”. The MacTutor History of Mathematics. Arhivirano iz originala 2012-09-24. g. Pristupljeno 2006-04-21. 
  9. ^ Roger Cotes died in 1716. By 1722, his cousin Robert Smith had collected and published Cotes' mathematical writings in a book, Harmonia mensurarum … . In a chapter of editorial comments by Smith, he gives, for the first time, the value of one radian in degrees. See: Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, top of page 95. From page 95: After stating that 180° corresponds to a length of π (3.14159…) along a unit circle (i.e., π radians), Smith writes: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. " (Whence the unit of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.)
  10. ^ Isaac Todhunter, Plane Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, p. 10, Cambridge and London: MacMillan, 1864 OCLC 500022958
  11. ^ Luckey, Paul (1953) [Translation of 1424 book]. Siggel, A., ur. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi [Treatise on the Circumference of al-Kashi]. Berlin: Akademie Verlag. str. 40. 
  12. ^ Cajori, Florian (1929). History of Mathematical Notations . 2. Dover Publications. str. 147–148. ISBN 0-486-67766-4. 
  13. ^ Muir, Thos. (1910). „The Term "Radian" in Trigonometry”. Nature. 83 (2110): 156. Bibcode:1910Natur..83..156M. S2CID 3958702. doi:10.1038/083156a0  . Thomson, James (1910). „The Term "Radian" in Trigonometry”. Nature. 83 (2112): 217. Bibcode:1910Natur..83..217T. S2CID 3980250. doi:10.1038/083217c0. Muir, Thos. (1910). „The Term "Radian" in Trigonometry”. Nature. 83 (2120): 459—460. Bibcode:1910Natur..83..459M. S2CID 3971449. doi:10.1038/083459d0. 
  14. ^ Miller, Jeff (23. 11. 2009). „Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics”. Pristupljeno 30. 9. 2011. 
  15. ^ Frederick Sparks, Longmans' School Trigonometry, p. 6, London: Longmans, Green, and Co., 1890 OCLC 877238863 (1891 edition)
  16. ^ 2019 BIPM Brochure
  17. ^ ISO 80000-3:2006 Quantities and Units - Space and Time
  18. ^ Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (januar 1909). „Chapter VII. The General Angle [55] Signs and Limitations in Value. Exercise XV.”. Napisano na Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. str. 73. Pristupljeno 2017-08-12. 
  19. ^ For a debate on this meaning and use see:Brownstein, K. R. (1997). „Angles—Let's treat them squarely”. American Journal of Physics. 65 (7): 605—614. Bibcode:1997AmJPh..65..605B. doi:10.1119/1.18616. , Romain, J.E. (1962). „Angles as a fourth fundamental quantity”. Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 66B (3): 97. doi:10.6028/jres.066B.012  . , LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). „Dimensional angles and universal constants”. American Journal of Physics. 66 (9): 814—815. Bibcode:1998AmJPh..66..814L. doi:10.1119/1.18964. , and Romer, Robert H. (1999). „Units—SI-Only, or Multicultural Diversity?”. American Journal of Physics. 67 (1): 13—16. Bibcode:1999AmJPh..67...13R. doi:10.1119/1.19185. 

Literatura uredi

Spoljašnje veze uredi

 
Radijan na Vikimedijinoj ostavi.
Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Радијан&oldid=27549180”