Trougao Sjerpinjskog

Trougao Sjerpinjskog, koji se naziva i Sjerpinjski konopac za jedro ili Sjerpinjsko sito, je fraktal i nepokretna tačka sa oblikom jednakostraničnog trougla, podeljena rekurzivno u manje istostranične trouglove. Prvobitno je konstruisan kao krivina, ovo je jedan od osnovnih primera samo-sličnih setova, odnosno, to je matematički obrazac koji može biti reproduktivan u bilo kom uvećanju ili smanjenju. Nazvan je po poljskom matematičaru, Vaclav Sjerpinjski ali pojavio se kao dekorativni obrazac mnogo vekova pre rada Sjerpinjskog.  

trougao Sjerpinjskog

Generisano korišćenje slučajnog algoritma

trougao Sjerpinjskog u logici: Prvih 16 logičkih konstrukcija Leksikografičkog reda argumenata Polja se prevode kao binarni brojevi koji daju 1, 3, 5, 15, 17, 51... (posledica A001317 u OESIS)

Konstrukcije

Postoji mnogo različitih načina izgradnje trougla Sjerpinjskog.

Uklanjanje trouglova

Trougao Sjerpinjskog može biti izgrađen od jednakostraničnog trougla ponavljanim uklanjanjem trougaonih podskupova:

1. Počni sa jednakostraničnim trouglom
2. Podeli ga u četiri manja podudarna jednakostranična trougla i ukloni centralno mesto
3. Ponovite korak 2 sa svakim od preostalih manjih trouglova

Evolucija trougla Sjerpinjskog

Svaki uklonjen trougao je topološki otvoren skup. Ovaj proces rekurzivnog uklanjanja trouglova je primer konačnog deobnog pravila.

Skupljanje i umnožavanje

Istom sekvencom oblika, konvergiranje do šerpinskog trougla, može alternativno da se generiše u sledećim koracima:

1. Počnite sa svakim trouglom u ravni (bilo koji zatvoren, ograničen region u ravni će zapravo da radi). Pravilan trougao Sjerpinjskog koristi jednakostranični trougao sa bazom paralelnom sa horizontalnom osom (prva slika)
2. Skupljanje trougla do ½ visine i širine ½, čine tri primerka, i postavi tri skupljena trougla tako da svaki trougao dotakne druga dva trougla na uglu (Slika 2). Obratite pažnju na pojavu središnje rupe - jer tri skupljena trougla mogu da pokriju samo 3/4 područja originala. (Rupe su važna karakteristika trougla Sjerpinjskog.)

1. Ponovite korak 2 sa svakim od manjih trouglova (Slika 3 i tako dalje)

Imajte na umu da je ovaj beskrajni proces ne zavisi od početnog oblika koji predstavlja trougao-to je samo jasnije na taj način. Prvih nekoliko početnih koraka, na primer, kvadrat takođe ima tendenciju ka trouglu Sjerpinjskom. Majkl Barnsli koristi sliku ribe da ovo ilustruje u svom radu "V-promenljiva fraktala i superfraktala.".

Stvarni fraktal je šta će se dobiti nakon beskonačnog broja ponavljanja. Više formalno, jedan opisuje u smisao funkcija na zatvorenim skupovima tačaka. Ako pustimo d_a obratite pažnju na dilataciju sa faktorom od ½ tačke A, onda je trougao Sjerpinjskog sa uglovima A, B i C fiksni skup transformacije d_a U d_b U d_c.

Ovo je nepokretna tačka, tako da kada se operacija primenjuje na bilo koji drugi set više puta, slike konvergiraju ka trouglu Sjerpinjskom. To je ono što se dešava sa trouglom iznad, ali bilo koji drugi skup bi bilo dovoljan.

Igra zbrke

Ako se uzme tačka i primeni se svaka od transformacija d_a, d_b i d_c na nju slučajno, dobijene tačke će biti guste u trouglu Sjerpinjskog, tako da sledeći algoritam će ponovo generisati samovoljno bliske aproksimacije na njih:

Počnite sa etiketiranjem P₁, P₂ i P₃ kao uglovima trougla Sjerpinjskog, i slučajnih tačke V₁. Komplet V_n+1 = ½ (V_n + P_gn), gde je r_n je slučajni broj 1, 2 ili 3. Nacrtajte tačke V₁ do V_∞. Ako je prva tačka V₁ bila tačka na trouglu Sjerpinjskom, onda sve tačke V_n leže na trouglu Sjerpinjskog. Ako prva tačka V₁ koja leži u krugu trougla nije tačka na trouglu Sjerpinjskog, onda nijedna od tačaka V_n neće ležati na trouglu Sjerpinjskog, ali one će konvergirati ka trouglu. Ako je V₁ izvan trougla, jedini način da V_n sleti na stvarne trouglove, je ako je V_n deo trougla, da je trougao beskonačno veliki.

Animirano stvaranje trougla Sjerpinjskog pomoću igre zbrke

Animirana izgradnja trougla Sjerpinjskog

Ili mnogo jednostavnije:

1. Uzmite 3 tačke u ravni da formirate trougao, ali ne morate ga nacrtati
2. Slučajno izaberite bilo koju tačku unutar trougla koju ćemo smatrati vašim trenutnim položajem
3. Slučajno izaberite jednu od 3 najviše tačke
4. Pomerite pola udaljenosti od vaše trenutne pozicije do najviše
5. Skicirajte trenutnu poziciju
6. Ponovite od koraka 3

Napomena: Ovaj metod se naziva igra zbrke, i predstavlja primer sistema iterirane funkcije. Možete početi sa bilo koje tačke izvan ili unutar trougla, i to bi na kraju formiralo trougao Sjerpinjskog sa nekoliko tačaka od preostalih (ako polazna tačka leži na okviru trougla, ne postoje preostale tačke). Zanimljivo je da to uradite sa olovkom i papirom. Kratak pregled se formira nakon postavljanja oko stotinu tačaka, a detalj počinje da se pojavljuje posle nekoliko stotina.

Trougao Sjerpinjskog korišćenjem sistema iterirane funkcije

Strelica krive

Konstrukcija Sjerpinjske krive strelice

Druga konstrukcija za trougao Sjerpinjskog pokazuje da može biti konstruisan kao kriva u ravni. Formirana je postupkom ponovljenih modifikacija jednostavnijih krivina, analogno izgradnji Kohovih pahulja :

1. Počnite sa jednim segmentom linije u ravni
2. Neprekidno zamenjujte svaki red segmenta krive sa tri kraća segmenta, formirajući ugao od 120° na svakoj raskrsnici između dva uzastopna segmenta, sa prvim i poslednjim segmentima krive ili paralelno na originalnom delu ili formirajući ugao od 60° sa njom.

Dobijeni fraktal kriva se zove Sjerpinjska strelica krive, a njegov oblik je ograničen trouglom Sjerpinjskim

Celularni automat

trougao Sjerpinjskog takođe se pojavljuje u određenom celularnom automatu (kao što je pravilo 90), uključujući one koji se odnose na Konvejevu igru života. Na primer, život nalik Celularnom automatu B1/S12 kada se primenjuje na jednoj ćeliji će generisati četiri aproksimacije na trouglu Sjerpinjskom. Vremensko-prostorni dijagram replikatora obrasca u celularnom automatu često podseća na trougao Sjerpinjskog.

Paskalov trougao

Ako se uzme Paskalov trougao sa 2ⁿ redova i bele boje parni brojevi , a neparni crni brojevi , rezultat je približan trouglu Sjerpinjskom. Tačnije, granična vrednost n koja se približava beskonačnosti ovog parnog i neparnog obojenog Paskalovog trougla sa 2ⁿ-reda je trougao Sjerpinjskog.

Hanojska kula

Hanojska kula podrazumeva kretanje diskova različitih veličina između tri klina, održavanjem osobine da nijedan veći disk ne sme biti postavljen na vrh manjeg diska. Stanja slagalice sa N-diskova , i dozvoljeno kretanje iz jednog stanja u drugi, formiraju grafikon koji može biti geometrijski predstavljen kao raskrsnica preseka grafikona seta trouglova preostalih posle n-tog koraka u izgradnji trougla Sjerpinjskog. Tako u granici gde n ide u beskonačnost ova sekvenca grafikona može se tumačiti kao diskretna analogija trougla Sjerpinjskog.

Svojstva

Za ceo broj dimenzija d, kada udvostručujemo 2^d objekat, stvaramo 2 d kopije, odnosno 2 kopije za 1-dimenzionalni objekat, 4 kopije za 2-dimenzionalni objekat i 8 primeraka za 3-dimenzionalni objekat. Za trougao Sjerpinjskog, kada udvostručujemo njegovu stranu stvaramo 3 kopije njega. Trougao Sjerpinjskogima Hausdorfovu dimenziju log(3)/log(2)≈ 1.585 što proizlazi iz rešavanja 2^d=3 za d

Područje trougla Sjerpinjskog je nula (u lebegovoj meri). Oblast koja preostane nakon svake iteracije je jasno 3/4 područja iz prethodne iteracije, i beskonačan broj iteracija dovodi do nule.

Tačke trougla Sjerpinjskog imaju jednostavnu karakterizaciju u Baricentričnim koordinatama. Ako tačka ima koordinate (0..u₁u₂u₃…,0.b₁b₂b₃…,0.v₁v₂v₃…), izražene kao binarni brojevi, onda je tačka u trouglu Sjerpinjskom samo i samo ako je u₁+v₁+b₁=1 za svako i.

Generalizacija na druge module

Generalizacija trougla Sjerpinjskog može da se generiše korišćenjem Paskalov trougao ako se drugi Modul koristi. Iteracija n može se generisati uzimajući Paskalov trougao sa Pn redova i bojenjem brojeva od njihove vrednosti za x mod P=R. Kako se N približava beskonačnosti, fraktal se generiše.

Isti fraktal se može postići deljenjem trougao u mozaik P² sličnih trouglova i uklanjanjem trouglova koji su naopako od originala, zatim iterativno ovaj korak sa svakim manjim trouglom.

S druge strane, fraktal može da se generiše na početku sa trouglom i to umnožavanjem i uređivanjem n(n+1)/2 novih figura u istoj orijentaciji u veći slični trougao sa temenima koji dodiruju prethodnu figuru, a zatim iterativni taj korak.

Analogija u višim dimenzijama

Sjerpinjska piramida zasnovana na kvadratu i njena 'inverzna'

Sjerpinjski tetraedar ili tetriks je trodimenzionalna analogija trougla Sjerpinjskog, formirana u više navrata smanjujući redovne tetraedre do jedne polovine prvobitne visine, stavljajući zajedno četiri kopije ovog tetraedra sa dodirivanjem uglovima, a zatim ponoviti proces. Ovo se može uraditi sa kvadratnom piramidom i pet primeraka. Tetriks konstruisan od početnog tetraedra od strane dužine L ima svojstvo da ukupna površina ostaje konstantna sa svakim ponavljanjem.

Početni površina (verzija-0) tetraedar sporednih dužina L je $L^{2}{\sqrt {3}}$. Na sledećoj verziji, strana dužine je prepolovljena

$L\rightarrow {L \over 2}$

i postoje 4 takva manja tetraedra. Stoga, ukupna površina nakon prve verzije je:

$4\left(\left({L \over 2}\right)^{2}{\sqrt {3}}\right)=4{{L^{2}} \over 4}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}.$

Ovo ostaje slučaj nakon svakog ponavljanja. Iako je površina svakog sledećeg tetraedra 1/4 svih tetraedara u prethodnim ponavljanjima, postoji 4 puta više-čime se održava konstantna ukupna površina.

Ukupan zatvoreni volumen, međutim, geometrijski se smanjuje (faktor 0,5) sa svakim ponavljanjem i asimptotski teži 0 kako se broj iteracija povećava. U stvari, može se pokazati da, iako imaju fiksiranu površinu, nemaju 3-dimenzionalni karakter. Hausdorofova dimenzija takve konstrukcije je ln4/ln2=2 koja se slaže sa konačnom oblasti sa slike (A Hausdorfova dimenzija strogo između 2. i 3. bi ukazivala 0 volumen i beskrajno područje.)

Istorija

Vaclav Sjerpinjski opisao je trougao Sjerpinjskog 1915 godine. Međutim, slični obrasci se pojavljuju već u 13. veku, Kosmati mozaici u katedrali Ananji, Italija, i drugim mestima centralne Italije, za tepihe u mnogim mestima kao što su brod rimske Bazilike Santa Marija u Kozmedina, i za izolovane trouglove pozicionirane u nekoliko crkava i Bazilika. U slučaju izolovanog trougla, interesantno je primetiti da je ponavljanje najmanje tri nivoa.

Vidi još

• Apolonijeva mreža skup međusobno tangentnih krugova sa istom kombinatornom strukturom kao i trougao Sjerpinjskog
• Spisak fraktala Hausdorfove dimenzije
• Tepih Sjerpinjskog drugi fraktal nazvan po Sjerpinjskom i formiran više navrata uklanjanja kvadrata od većeg kvadrata

Literatura

• Haugeland, John (1997). Mind Design II: Philosophy, Psychology, Artificial Intelligence. MIT Press. ISBN 978-0-262-08259-4. 
• Helmberg, Gilbert (2007). Getting Acquainted with Fractals. Walter de Gruyter. str. 41. ISBN 978-3-11-019092-2. 
• Stewart, Ian (2006). How to Cut a Cake: And other mathematical conundrums. Oxford: Oxford University Press. str. 145. ISBN 978-0-19-150071-8. 
• Feldman, David P. (2012). Chaos and Fractals: An Elementary Introduction. Oxford: Oxford University Press. str. 178—180. ISBN 978-0-19-956644-0. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Sierpinski gasket”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Sierpinski Sieve”. MathWorld. 
• Paul W. K. Rothemund, Nick Papadakis, and Erik Winfree, „Algorithmic Self-Assembly of DNA Sierpinski Triangles”. doi:10.1371/journal.pbio.0020424. , PLoS Biology, volume 2, issue 12, 2004.
• Sierpinski Gasket by Trema Removal at cut-the-knot
• Sierpinski Gasket and Tower of Hanoi at cut-the-knot
• 3D printed Stage 5 Sierpinski Tetrahedron