Usponska funkcija

Usponska funkcija (ili rampa funkcija) je unarna funkcija nad poljem realnih brojeva. Definiše se kao prosek ulazne promenljive i njene apsolutne vrednosti.

Grafik usponske funkcije

Ova funkcija se dosta koristi u inženjerstvu (npr. u teoriji obrade signala). Ime je dobila zbog izgleda njenog grafika.

Definicije

Usponska funkcija ($R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$) se analitički može definisati na više načina. Neke od definicija su:

• Preko sistema jednačina:

  $R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$

• Preko funkcije maksimuma:

  $R(x):=\operatorname {max} (x,0)$

• Kao prosek ulazne promenljive i njene apsolutne vrednosti:

  $R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

do čega se može doći i gledajući definiciju funkcije $\operatorname {max} (a,b)$,

$\operatorname {max} (a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$

za $a=x$ i $b=0$

• Množenjem ulazne promenljive sa :

  $R\left(x\right):=xH\left(x\right)$

• Konvolucijom Hevisajdove funkcije sa samom sobom:

  $R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)$

• Integracijom Hevisajdove funkcije:

  $R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi$

Analitička svojstva

Nenegativnost

Usponska funkcija je nenegativna na celom njenom domenu, pa joj je apsolutna vrednost jednaka samoj sebi.

$\forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0$

i

$\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)$

Izvod

Izvod usponske funkcije je Hevisajdova funkcija:

$R'(x)=H(x)$ za $x\neq 0$

Drugi izvod

Usponska funkcija $R(x)$ zadovoljava sledeću diferencijalnu jednačinu:

${\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),$

gde je $\delta (x)$ Dirakova delta funkcija. Ovo znači da je usponska funkcija $R(x)$ zapravo Grinova funkcija za operator drugog izvoda. To znači da svaka neprekidna funkcija $f(x)$, sa drugim izvodom $f''(x)$, zadovoljava jednačinu:

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-x_{0})f''(x_{0})\operatorname {d} x_{0},$

za $a<x<b$.

Furijeova transformacija

${\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)$ $=$ $\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ ${\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},$

gde je $\delta (x)$ Dirakova delta funkcija (u jednačini iznad se pojavljuje njen izvod).

Laplasova transformacija

Jednostrana Laplasova transformacija usponske funkcije $R(x)$ je data kao:

${\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.$

Vidi još

• Hevisajdova funkcija
• Dirakova delta funkcija

Spoljašnje veze

• Članak o usponskoj funkciji na sajtu Mathworld (jezik: engleski)