Градијент

У векторској анализи, градијент скаларног поља је векторско поље које има правац највећег пораста скаларног поља, односно, чији је интензитет највећа промена у пољу.

На горњим сликама, скаларно поље приказано је црним и белим подручјима, с тим да црна одговарају већим вредностима, а његов одговарајући градијент је представљен плавим стрелицама.

Генерализација градијента, за фунцкије у Банацховом простору које имају векторске вредности, је Јакобијан.

Интерпретација градијента

Замислимо собу у којој је температура дата са скаларним пољем $\phi$, тако да је у свакој тачки $(x,y,z)$ температура $\phi (x,y,z)$ (претпоставићемо да се температура не мења са временом). Тада, у свакој тачки у соби, градијент у тој тачки показаће смер у којем температура расте најбрже. Интензитет градијента ће одредити како се брзо температура повећава у том правцу.

Градијент се, такође, може користити да се измери како се скаларно поље мења у другим смеровима (а не само у правцу највеће промене) коришћењем скаларног производа вектора. Замислимо брдо са највећим нагибом од 40 %. Ако пут иде равно узбрдо, тада је најстрмији нагиб, такође, 40 %. Ако, међутим, пут иде око брда са углом у смеру успона (вектор градијента), тада ће имати мањи нагиб. На пример, ако је угао између пута у правцу успона, пројектован на хоризонталну раван, 60°, тада ће најстрмији нагиб, који се протеже дуж пута, бити 20 %, што се добило из производа 40 % пута косинус од 60°.

Формална дефиниција

Градијент (или градијент векторског поља) скаларне функције $f(x)$ по векторској варијабли $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ се означава као $\nabla f$ или ${\vec {\nabla }}f$ где $\nabla$ (набла симбол) означава векторски диференцијални оператор, набла оператор. Ознака $\operatorname {grad} (f)$ се, такође, користи за означавање градијента.

Према дефиницији, градијент је векторско поље чије су компоненте парцијални изводи функције $f$. То јест:

$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).$

Скаларни производ векора $(\nabla f)_{x}\cdot v$ градијента у тачки x са вектором в даје извод по правцу функције ф у x у правцу в.

Градијент је неротационо векторско поље, те су линијски интерграли кроз градијентно поље независни и могу се израчунати помоћу градијентне теореме. Супротно, неротационо векторско поље у једноствно повезаном региону је увек градијент функције.

Изрази за градијент у 3 димензије

Форма градијента зависи од изабраног координатног система.

У правоуглим координатама, горњи израз се прошири на

$\nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

У цилиндричним координатама:

$\nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

(где је $\theta$ азимутални угао, а $z$ је осна координата).

У сферним координатама:

$\nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}$

(где је $\theta$ азимутни угао, а $\phi$ је зенитни угао).

Својства

$\ \nabla (\alpha \phi +\psi )=\alpha \nabla \phi +\nabla \psi$

$\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\$

${\frac {1}{2}}\nabla A^{2}=\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A}$

Пример

На пример, градијент у правоуглим координатама

$f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)$

је:

$\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.$

Градијент и извод или диференцијал

Линеарна апроксимација функције

Градијент функције $f$ из Еуклидовог простора $\mathbb {R} ^{n}$ у $\mathbb {R}$ и било којој тачки x₀ у $\mathbb {R} ^{n}$ карактерише најбољу линеарну апроксимацију од ф у x₀. Та апроксимација се записује на следећи начин:

$f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})$

за $x$ које је близу $x_{0}$, гдје је $(\nabla f)_{x_{0}}$ градијент функције ф израчунат у $x_{0}$, где тачка означава да се ради о скаларном производу $\mathbb {R} ^{n}$.

Види још

• Ротор
• Дивергенција
• Лапласов оператор
• Електрохемијски градијент
• Музички изоморфизам
• Оператор набла
• Оператор Собел
• Степен (нагиб)
• Нагиб
• Површински градијент

Литература

1. Корн, Тхереса M.; Корн, Гранино Артхур (2000). Матхематицал Хандбоок фор Сциентистс анд Енгинеерс: Дефинитионс, Тхеоремс, анд Формулас фор Референце анд Ревиеw. Неw Yорк: Довер Публицатионс. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.