Википедија

Полилинеарна алгебра

У математици, полилинеарна алгебра проширује методе линеарне алгебре.[1] Као што је линеарна алгебра изграђена на концепту вектора и развија теорију векторских простора, тако се полилинеарна алгебра надограђује на концепте p-вектора и поливектора[2][3] са Грасмановом алгебром.[4][5]

Порекло уреди

У векторском простору димензије n обично се разматрају само вектори. Према Херману Грасману и другима, овом претпоставком се избегава сложеност разматрања структура парова, триплета и општих мултиветора. Услед постојања неколико комбинаторних могућности, простор мултивектора заправо да има 2n димензија. Апстрактна формулација детерминанте је најнепосреднија примена. Полилинеарна алгебра такође има примену у механичком проучавању реакције материјала на стрес и напрезања са различитим модулима еластичности. Ова практична референца довела је до употребе речи тензор за описивање елемената полилинеарног простора. Додатна структура у полилинеарном простору довела је до тога да има важну улогу у разним студијама у вишој математици. Иако је Грасман покренуо овај предмет 1844. године својим делом Ausdehnungslehre, које је било поново објављено 1862. године, његов рад је наишао на споро прихватање, јер је већ обична линеарна алгебра пружала довољно изазова разумевању.

Тема полилинеарне алгебре примењена је у бројним истраживањима мултиваријантног рачуна и многострукости у којима је кориштена Јакобијанска матрица. Инфинитезимални диференцијали калкулуса са једном променљивом постају диференцијалне форме у мултиваријантном рачуну, а њихова манипулација се врши спољном алгебром.

Након Грасмана, развој полилинеарне алгебре наставио је Виктор Шлегел 1872. године када је објавио први део свог рада System der Raumlehre, као и Елвин Бруно Кристофел. Велики напредак у полилинеарној алгебри остварен је радом Грегорија Ричи-Курбастра и Тулио Леви-Кивита. Марсел Гросман и Мишел Бесо су увели су Алберта Ајнштајна у полилинеарну алгебру путем апсолутног диференцијалног калкулуса. Ајнштајнова публикација из 1915. године о општој релативности у којој се објашњава прецесија перихелија Меркура успоставила је полилинеарну алгебру и тензоре као физички важну математику.

Употреба у алгебарској топологији уреди

Око средине 20. века проучавање тензора је апстрактније преформулисано.[6][7][8][9][10] Расправа Полилинеарна алгебра Бурбакијеве групе била је посебно утицајна,[11][12][13][14][15][16][17] и термин полилинеарна алгебра је вероватно скован захваљујући њиховом раду. Један од разлога за ова догађања у то време била је нова област примене, хомолошка алгебра.[18] Развој алгебарске топологије током 1940-их година дао је додатни подстицај за развој чисто алгебарског третмана тензорског производа. Рачунање група хомологије производа два простора укључује тензорски производ; мада се само у најједноставнијим случајевима, попут торуса, директно израчунава на тај начин (види Кинетову теорему). Тополошки феномени били су довољно суптилни да је било неопходно да се формулишу боље утемељени концепти; технички говорећи, требало је дефинисати Тор функторе.

Материјал који је требало организовати био је прилично обиман, укључујући идеје које се враћају на Хермана Грасмана, идеје из теорије диференцијалних форми које су довеле до де Рамове кохомологије, као и елементарније идеје као што су спољашњи производ којим се генерализује векторски производ.

Резултирајућа прилично оштра обрада теме (Бурбакијеве групе) у потпуности је одбацила један приступ у векторском рачуну (руту квартериона, то јест, у општем случају, релацију са Лијевим групама). Уместо тога, они су примењивали нови приступ користећи теорију категорија, при чему се приступ Лијеве групе сматрао засебном ствари. Пошто ово доводи до много чистијег третмана, вероватно нема повратка у чисто математичком смислу. (Строго се позива на приступ универзалног својства; ово је донекле општије од теорије категорија, а истовремено се разјашњава и однос између два алтернативна приступа.)

Заправо, оно што је урађено омогућава да се објасни да су тензорски простори конструкције које су неопходне за редуковање мултилинеарних на линеарне проблеме. Овај чисто алгебарски приступ не пружа геометријску интуицију. Он је користан у смислу да поновним изражавањем проблема у контексту мултилинеарне алгебре постоје јасно и добро дефинисано најбоље решење: ограничења која решење поставља су управо она која су потребна у пракси. Генерално, нема потребе за позивањем на било коју ад хоц конструкцију, геометријску идеју или за прибегавањем координатним системима. У теоријском категоријском жаргону све је потпуно природно.[19][20][21][22]

Закључак о апстрактном приступу уреди

У принципу, апстрактни приступ може да поврати све што је учињено традиционалним приступом, мада у пракси то не мора да буде једноставно. С друге стране, појам природног се подудара са принципом опште коваријансе принципа опште релативности. Потоњи се бави тензорским пољима (тензори који се разликују од тачке до тачке на многострукости), док коваријанса постулира да је језик тензора кључан за правилно формулисање опште релативности.

Неколико деценија касније је прилично апстрактно гледиште из теорије категорија повезано са приступом који је 1930-их развио Херман Вајл (радећи кроз општу релативност путем апстрактне тензорске анализе и додатно у својој књизи Класичне групе).[23][24] На неки начин ово је заокружило теорију, повезујући још једном садржај старих и нових гледишта.

Теме у полилинеарној алгебри уреди

Такође постоји речник теорије тензора.

Апликације уреди

Неки од начина путем којих се примењују концепти мултилинеарне алгебре:

Референце уреди

  1. ^ Роналд Схаw (1983) "Мултилинеар алгебра анд гроуп репресентатионс", волуме 2 оф Линеар Алгебра анд Гроуп Репресентатионс, Ацадемиц Пресс ISBN 0-12-639202-1.
  2. ^ Јохн Снyгг (2012), А Неw Аппроацх то Дифферентиал Геометрy Усинг Цлиффорд’с Геометриц Алгебра, Биркхäусер, п.5 §2.12
  3. ^ Wенделл Флеминг (1977) [1965] Фунцтионс оф Северал Вариаблес, сецтион 7.5 Мултивецторс, паге 295, ISBN 978-1-4684-9461-7
  4. ^ R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1. 
  5. ^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. стр. 83. ISBN 0-7167-0344-0. 
  6. ^ Bourbaki, Nicolas (1939). Livre I: Théorie des ensembles [Book I: Set theory] (на језику: French). 
  7. ^ Bagemihl, F. (1958). „Review: Théorie des ensembles (Chapter III)” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 64 (6): 390—391. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10248-7. 
  8. ^ Bourbaki, Nicolas (1942). Livre II: Algèbre [Book II: Algebra] (на језику: French). 
  9. ^ Artin, E. (1953). „Review: Éléments de mathématique, by N. Bourbaki, Book II, Algebra, Chaps. I–VII” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 59 (5): 474—479. doi:10.1090/s0002-9904-1953-09725-7. 
  10. ^ Rosenberg, Alex (1960). „Review: Éléments de mathématiques by N. Bourbaki. Book II, Algèbre. Chapter VIII, Modules et anneaux semi-simples” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1): 16—19. doi:10.1090/S0002-9904-1960-10371-0. 
  11. ^ Kaplansky, Irving (1960). „Review: Formes sesquilinéairies et formes quadratiques by N. Bourbaki, Éléments de mathématique I, Livre II” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 66 (4): 266—267. doi:10.1090/s0002-9904-1960-10461-2. 
  12. ^ Bourbaki, Nicolas (1940). Livre III: Topologie [Book III: Topology] (на језику: French). 
  13. ^ Bourbaki, Nicolas (1949). Livre IV: Fonctions d'une variable réelle [Book IV: Functions of one real variable] (на језику: French). 
  14. ^ Bourbaki, Nicolas (1953). Livre V: Espaces vectoriels topologiques [Book V: Topological vector spaces] (на језику: French). 
  15. ^ Bourbaki, Nicolas (1952). Livre VI: Intégration [Book VI: Integration] (на језику: French). 
  16. ^ Halmos, Paul (1953). „Review: Intégration (Chap. I-IV) by N. Bourbaki” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 59 (3): 249—255. doi:10.1090/S0002-9904-1953-09698-7. 
  17. ^ Munroe, M. E. (1958). „Review: Intégration (Chapter V) by N. Bourbaki” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 64 (3): 105—106. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10176-7. 
  18. ^ History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999
  19. ^ Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd изд.), Springer-Verlag, стр. 16, ISBN 0-387-98403-8 
  20. ^ MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd изд.), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2 
  21. ^ Awodey, Steve (2010). Category theory. Oxford New York: Oxford University Press. стр. 156. ISBN 0199237182. 
  22. ^ Lane, Saunders (1992). Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory. New York: Springer-Verlag. стр. 13. ISBN 0387977104. 
  23. ^ Weyl, Hermann (1939), The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255 
  24. ^ Jacobson, N. (1940). „Review: The Classical Groups by Hermann Weyl” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 46 (7): 592—595. doi:10.1090/s0002-9904-1940-07236-2. 

Literatura уреди

Спољашње везе уреди

 
Полилинеарна алгебра на Викимедијиној остави.
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Polilinearna_algebra&oldid=27675731”