Divergencija

Divergencija u vektorskoj analizi predstavlja vektorski diferencijalni operator, koji meri intenzitet izvora ili ponora vektorskoga polja u određenoj tački i za rezultat ima skalarno polje. Divergencija vektorskoga polja $\ \mathbf {F}$ označava se kao:

$\ \operatorname {div} \mathbf {F}$ ili $\ \nabla \cdot \mathbf {F}$.

Definicija

Fizikalna predstava

Divergencija vektorskoga polja u trodimenzionalnom prostoru može da se predstavi ako uzmemo malu okolinu oko neke tačke:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} (p)=\lim _{V\rightarrow \{p\}}\iint _{S(V)}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \over |V|}\;dS$

U slučaju da je fluks vektorskoga polja iz te zapremine veći od nula radi se o pozitivnoj divergenciji, a ako je manji od nula o negativnoj divergenciji. Ako je fluks polja nula tada je i divergencija jednaka nuli. Neka vektorsko polje predstavlja, na primer, brzinu širenja vazduha. Ako se vazduh zagrijava oko date tačke tada se širi, pa je divergencija pozitivna. Ako se vazduh hladi tada se skuplja, pa je divergencija negativna.

U Dekartovom sistemu

Divergencija vektorskoga polja F = U i + V j + W k jednaka je:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.$

Definicija u krivolinijskim sistemima

$\operatorname {div} (\mathbf {A} )=\operatorname {div} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=$

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{1}H_{2}H_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{2}H_{3}H_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{3}H_{1}H_{2})\right]$, gde su $H_{i}$ Lameovi koeficijenti.

U slučaju Rimanovoga krivolinijskoga prostora definisanoga metričkim tenzorom $g_{ij}$ divergencija je dana sa: $\operatorname {div} (\mathbf {A} )={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\sqrt {|g|}}A^{k}\right)$ a metrika prostora definisana je sa:

$ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ .

Cilindrične koordinate

Za cilindrični koordinatni sistem imamo Lameove koeficijente:

${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{matrix}}$.

Dobija se:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{r}r)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{\theta })+{\frac {\partial }{\partial z}}(A_{z})$

Sferne koordinate

Za sferni koordinatni sistem imamo Lameove koeficijente:

${\begin{matrix}H_{r}=1\\H_{\theta }=r\\H_{\phi }=r\sin {\theta }\end{matrix}}$.

Divergencija je:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[A_{r}r^{2}\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[A_{\theta }\sin {\theta }\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\big [}A_{\phi }{\big ]}$

Parabolične koordinate

Za parabolični koordinatni sistem imamo Lameove koeficijente:

${\begin{matrix}H_{1}={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\xi }}}}\\H_{2}={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\eta }}}}\\H_{3}={\sqrt {\eta \xi }}\end{matrix}}$.

Divergencija je:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (\xi ,\eta ,\phi )={\frac {4}{\xi +\eta }}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[A_{\xi }{\frac {\sqrt {\xi ^{2}+\xi \eta }}{2}}\right]+{\frac {4}{\xi +\eta }}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left[A_{\eta }{\frac {\sqrt {\eta ^{2}+\xi \eta }}{2}}\right]+{\frac {1}{\sqrt {\xi \eta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\Big ]}$

Sferoidne koordinate

Za izduženi sferoidni koordinatni sistem imamo Lameove koeficijente:

${\begin{matrix}H_{1}=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2}}{\xi ^{2}-1}}}\\H_{2}=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}}}\\H_{3}=\sigma {\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\end{matrix}}$.

Divergencija je:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (\xi ,\eta ,\phi )={\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[A_{\xi }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(\xi ^{2}-1)}}\right]+$

${\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left[A_{\eta }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(1-\eta ^{2})}}\right]+{\frac {1}{\sigma {\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\Big ]}$

Svojstva

• Divergencija je linerani operator, tako da vredi:

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

• Ako je φ — skalяrno polje, a F — vektorsko polje tada vredi:

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),$ ili

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

• Vektorska polja F i G povezana su sa rotorom

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} ),$ ili

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

• Divergencija gradijenta je laplasijan:

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} (\varphi ))={\mathcal {4}}\varphi$

• Divergencija rotora je nula:

$\operatorname {div} (\operatorname {rot} (\mathbf {F} ))=0$

Generalizacija

Za N-dimenzionalno vektorsko polje:

$\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}),$

divergenciju u N-dimenzionalnom Euklidovom sistemu gde je $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ i $d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n})$ možemo da definišemo kao:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.$

Literatura

• Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. str. 157—160. ISBN 978-0-486-41147-7.