Kocka

Kocka (pravilni heksaedar, od grč. hexáedron - telo sa šest površina) je jedan od pet pravilnih poliedara. Omeđena je sa šest stranica, kvadratnih površi spojenih tako da obrazuju telo sa dvanaest duži (ivica) i osam temena. Kocka je specijalan slučaj kvadra kome su sve stranice jednake. Posebne vrste kocke za igranje jesu kockice i Rubikova kocka.

Uopštenje

Kocka K u prostoru Rⁿ se može definisati pomoću jedne tačke A = (a₁, ..., a_n) iz Rⁿ, dužine ivice kocke a, kao i sa n vektora v₁, ..., v_n koji čine jednu pozitivno orijentisanu ortonormiranu bazu Rⁿ. Recimo da je svaka ivica kocke K paralelna sa tačno jednim različitim vektorom te baze, kao i da tačka A predstavlja početak koordinatnog sistema koga grade ovi vektori.

Svaka tačka X = (x₁, ..., x_n) kocke K onda može biti predstavljena na sledeći način:

X:A+\sum _{k=1}^{n}{\alpha _{k}\cdot v_{k}},\;\alpha _{k}\in [0,a]

Ukoliko se za vektore v₁, ..., v_n uzmu vektori koji čine kanonsku bazu Rⁿ, dobija se:

X:\{x_{i}\in [a_{i},a_{i}+a],\;i=1,...,n\}

Formule

Slede neke od češće korišćenih formula koje se vezuju za kocku.

Važniji elementi kocke

Površina	$P=6a^{2}\,$
Zapremina	$V=a^{3}\,$
Mala dijagonala^[1]	$d=a{\sqrt {2}}$
Velika dijagonala	$D=a{\sqrt {3}}$
Poluprečnik upisane sfere	$r_{u}={\frac {a}{2}}$
Poluprečnik opisane sfere	$r_{o}={\frac {D}{2}}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Ortogonalne projekcije

Kocka ima četiri posebne ortogonalne projekcije, centrirane, na temenu, ivicama, licu i normalno na njenu figuru temena. Prvi i treći odgovaraju A₂ i B₂ Kokseterovim ravnima.

Ortogonalne projekcije
Centrirane sa	Lice	Teme
Kokseterove ravni	B₂	A₂
Projektivnoa simetrija	[4]	[6]
Nagnuti pogledi

Sferno popločavanje

Kocka se takođe može predstaviti kao sferna pločica, i projektovana na ravan putem stereografske projekcije. Ova projekcija je konformna, čuva uglove, ali ne i površine ili dužine. Prave na sferi se projektuju kao kružni lukovi na ravan.

Ortografska projekcija	Stereografska projekcija

Dekartove koordinate

Za kocku sa centrom u koordinatnom poreklu, sa ivicama paralelnim sa osama i sa dužinom ivice od 2, kartezijanske koordinate vrhova su

(±1, ±1, ±1)

dok se unutrašnjost sastoji od svih tačaka (x₀, x₁, x₂) sa −1 < x_i < 1 za svako i.

Ujednačene boje i simetrija

Stablo oktaedarske simetrije

Kocka ima tri ujednačene obojenja, nazvane bojama kvadrata oko svakog temena: 111, 112, 123.

Kocka ima četiri klase simetrije, koje se mogu predstaviti temeno-tranzitivnim bojenjem lica. Najviša oktaedarska simetrija O_h ima sva lica iste boje. Diedralna simetrija D_4h dolazi od toga što je kocka čvrsta, sa svih šest strana različite boje. Prizmatični podskup D_2d ima isto obojenje kao i prethodni, a D_2h ima naizmenične boje za svoje strane za ukupno tri boje, uparene sa suprotnih strana. Svaki oblik simetrije ima drugačiji Vitofov simbol.

Ime	Regularni heksaedar	Kvadratna prizma	Pravougaona trapezoprizma	Pravougaoni kuboid	Rombna prizma	Trigonalni trapezoedar
Kokseterov dijagram
Šaflijev simbol	{4,3}	{4}×{ } rr{4,2}	s₂{2,4}	{ }³ tr{2,2}	{ }×2{ }
Vajtofov simbol	3 \| 4 2	4 2 \| 2		2 2 2 \|
Simetrija	O_h [4,3] (*432)	D_4h [4,2] (*422)	D_2d [4,2⁺] (2*2)	D_2h [2,2] (*222)		D_3d [6,2⁺] (2*3)
Red simetrije	24	16	8	8		12
Slika (jednobrazno obojenje)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Geometrijski odnosi

Jedanaest mreža kocke.

Ove poznate šestostrane kockice su kuboidnog oblika.

Kocka ima jedanaest mreža (jedna prikazana iznad): to jest, postoji jedanaest načina da se šuplja kocka spljošti sečenjem sedam ivica.^[2] Da bi se obojila kocku tako da nijedna susedna lica nema istu boju, trebale bi najmanje tri boje.

Kocka je ćelija jedinog pravilnog popločavanja trodimenzionalnog euklidskog prostora. Takođe je jedinstven među Platonovim telima po tome što ima lica sa parnim brojem strana i, shodno tome, jedini je član te grupe koji je zonoedar (svako lice ima tačku simetriju).

Kocka se može iseći na šest identičnih kvadratnih piramida. Ako se ove kvadratne piramide zatim pričvrste na lica druge kocke, dobija se rombični dodekaedar (sa parovima komplanarnih trouglova kombinovanih u rombične površine).

Povezani poliedri

Dual kocke je oktaedar, koji se ovde vidi sa vrhovima u centru kvadratnih strana kocke.

Hemikub je koeficijent 2 prema 1 kocke.

Količnik kocke sa Antipodalom mapom daje projektivni poliedar, hemikub.

Ako originalna kocka ima dužinu ivice 1, njen dvostruki poliedar (oktaedar) ima dužinu ivice $\scriptstyle {\sqrt {2}}/2$ .

Kocka je poseban slučaj u različitim klasama opštih poliedara:

Ime	Jednake dužine ivica?	Jednaki uglovi?	Pravi uglovi?
Kocka	Da	Da	Da
Romboedar	Da	Da	Ne
Kuboid	Ne	Da	Da
Paralelepiped	Ne	Da	Ne
četvorougaono okrenut heksaedar\|Ne	Ne	Ne

Temena kocke se mogu grupisati u dve grupe po četiri, od kojih svaka formira pravilan tetraedar; uopštenije, ovo se naziva demikub. Ova dva zajedno formiraju pravilno spajanje, stela oktangula. Presek ova dva formira pravilan oktaedar. Simetrije pravilnog tetraedra odgovaraju simetriji kocke koja svaki tetraedar preslikava na sebe; ostale simetrije kocke preslikavaju to dvoje jedno na drugo.

Jednolično saće i polihori

To je element od 9 od 28 konveksnog jednolikog saća:

Kubično saće	Odsečeno kvadratno prizmatično saće	Okresani kvadratno prizmatično saće	Izduženo trouglasto prizmatično saće	Žiroizduženo trouglasto prizmatično saće

Kantelirano kubno saće	Kantizarubljeno kubično saće	Ransizarubljeno kubično saće	Ransinirano naizmenično kubično saće

Takođe je element pet četvorodimenzionalnih uniformnih polihora:

Teserakt	Kantelirana 16-ćelija	Ransinirani teserakt	Kantizarubljena 16-ćelija	Ransizarubljena 16-ćelija

Reference

^ Nekada se mala dijagonala obeležava sa d, a velika sa D. Ovde je mala obeležena sa d₁, a velika sa d₂, da bi se izbegla višeznačnost sa temenom D.
^ Weisstein, Eric W. „Cube”. MathWorld.

Literatura

Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.
Ljiljana Petruševski - Poliedri
Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
Grünbaum, B. (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ur.: Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. str. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4.
Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Arhivirano na sajtu Wayback Machine (3. avgust 2016))
Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
Whitney, Hassler (1932). „Congruent graphs and the connectivity of graphs”. Amer. J. Math. 54 (1): 150—168. JSTOR 2371086. doi:10.2307/2371086. hdl:10338.dmlcz/101067.
Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter (1987), „Puzzles and polytope isomorphisms”, Aequationes Mathematicae, 34 (2–3): 287—297, MR 921106, doi:10.1007/BF01830678
Kalai, Gil (1988), „A simple way to tell a simple polytope from its graph”, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, 49 (2): 381—383, MR 964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7
Kaibel, Volker; Schwartz, Alexander (2003). „On the Complexity of Polytope Isomorphism Problems”. Graphs and Combinatorics. 19 (2): 215—230. arXiv:math/0106093  . doi:10.1007/s00373-002-0503-y. Arhivirano iz originala 2015-07-21. g.
Büeler, B.; Enge, A.; Fukuda, K. (2000). „Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study”. Polytopes — Combinatorics and Computation. str. 131. ISBN 978-3-7643-6351-2. doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6.
Yao, Andrew Chi Chih (1981), „A lower bound to finding convex hulls”, Journal of the ACM, 28 (4): 780—787, MR 677089, doi:10.1145/322276.322289 ; Ben-Or, Michael (1983), „Lower Bounds for Algebraic Computation Trees”, Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '83), str. 80—86, doi:10.1145/800061.808735
Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd izd.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167 .
Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Duality of polyhedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617—642, doi:10.1080/00207390500064049 .
Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?”, Ur.: Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, str. 461—488, CiteSeerX 10.1.1.102.755  , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21 .
Grünbaum, Branko (2007), „Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs”, Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445—463, MR 2287486, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037 .
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), „Duality of polyhedra”, Ur.: Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, str. 211—216, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15 .
Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 .
Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688

Spoljašnje veze

Weisstein, Eric W. „Cube”. MathWorld.
Cube: Interactive Polyhedron Model*
Volume of a cube, with interactive animation
Cube (Robert Webb's site)

[1] Nekada se mala dijagonala obeležava sa d, a velika sa D. Ovde je mala obeležena sa d₁, a velika sa d₂, da bi se izbegla višeznačnost sa temenom D.

[2] Weisstein, Eric W. „Cube”. MathWorld.

[1]

[2]