Koši-Švarcova nejednakost
Koši-Švarcova nejednakost, poznata i kao nejednakost Koši-Švarc-Bunjakovskog, korisna je nejednakost koja se primenjuje u mnogim oblastima matematike kao što su linearna algebra, analiza, teorija verovatnoće i druge. Smatra se jednom od najvažnijih nejednakosti u matematici.[1]
Nejednakost za sume otkrio je Ogisten Luj Koši (1821), dok je odgovarajuću nejednakost za integrale prvi dokazao Viktor Bunjakovski (1859). Integralnu nejednakost nešto kasnije je otkrio, nezavisno od Bunjakovskog, i Herman Švarc (1888)[1].
Iskaz nejednakosti
urediKoši-Švarcova nejednakost tvrdi da za sve vektore i unitarnog vektorskog prostora važi
gde predstavlja unutrašnji proizvod. Ekvivalentno, korenovanjem obe strane prethodne nejednakosti, uz korišćenje norme vektora, nejednakost se može zapisati u obliku[2][3]
Specijalno, jednakost važi ako i samo ako su i linearno zavisni (što znači da su paralelni: jedan od vektora i je nula vektor, ili predstavlja skalarni umnožak drugog).[4][5]
Ako je i , i unutrašnji proizvod je standardni kompleksni unutrašnji proizvod, tada se nejednakost može eksplicitno izraziti na sledeći način (gde crta iznad označava kompleksnu konjugaciju):
odnosno
Dokazi
urediPrvi dokaz
urediNeka su i proizvoljni vektori vektorskog prostora nad sa unutrašnjim proizvodom, gde je polje realnih ili kompleksnih brojeva. Želimo da dokažemo nejednakost
kao i da jednakost važi ako i samo ako je jedan od vektora i skalarni umnožak drugog (specijalno, (bar) jedan od vektora je nula vektor).
Ako je , jasno je da tada važi jednakost, a takođe i da su i linearno zavisni (bez obzira na vektor ), tako da zaključujemo da u ovom slučaju tvrđenje važi. Analogno se pokazuje za slučaj . Pretpostavimo stoga da nije nula vektor.
Neka je
Tada, zbog linearnosti unutrašnjeg proizvoda po prvom argumentu, imamo da je
Odavde sledi da je vektor ortogonalan na (zaista, je projekcija vektora na ravan ortogonalnu na ). Stoga možemo da primenimo Pitagorinu teoremu na
- ,
što nam daje
odakle, nakon množenja sa i uzimanja kvadratnog korena obe strane, dobijamo Koši-Švarcovu nejednakost. Dodatno, ako u prethodnom izrazu umesto važi jednakost, tada je , odnosno ; tada nam definicija vektora daje linearnu zavisnost vektora i .
Sa druge strane, ako su i linearno zavisni, tada postoji tako da je (jer je ). Tada imamo
Ovime je tvrđenje dokazano.
Drugi dokaz
urediNeka su i proizvoljni vektori unitarnog vektorskog prostora nad .
U specijalnom slučaju tvrđenje trivijalno važi. Pretpostavimo sada da je . Neka je dato sa . Tada je
Dakle, imamo da važi , odnosno , što je i trebalo dokazati.
Ako u prethodnoj nejednakosti zapravo važi jednakost, onda je , odnosno , odakle sledi da su i linearno zavisni. Sa druge strane, ako su i linearno zavisni, tada se kao u prvom dokazu dobija da važi .
Više dokaza
urediPostoji još mnogo različitih dokaza Koši-Švarcove nejednakosti.[6] Pri razmatranju drugih izvora, često dolazi do zabune iz dva razloga. Prvo, neki autori definišu ⟨⋅,⋅⟩ kao operator koji je linearan po drugom argumentu, umesto po prvom. Drugo, neki dokazi važe samo u slučaju kada se radi nad poljem , a ne .[7]
Specijalni slučajevi
urediTituova lema
urediTituova lema (nazvana po matematičaru imena Titu Andreescu, poznata još i kao T2 lema, Engelova forma, ili Sedrakjanova nejednakost) tvrdi da za pozitivne realne brojeve važi
Ova lema je direktna posledica Koši-Švarcove nejednakosti, dobijena smenom i Ovaj oblik posebno je koristan kada se u nejednakosti pojavljuje razlomak čiji je brojilac potpun kvadrat.
R2 (standardni dvodimenzionalni prostor)
urediU običnom dvodimenzionalnom prostoru sa skalarnim proizvodom, neka je i . Koši-Švarcova nejednakost tada ima oblik
gde je ugao između vektora i
Ovaj oblik je verovatno i najjednostavniji za razumevanje nejednakosti, s obzirom da kvadrat kosinusa može biti najviše 1, a to se dešava kada su vektori istog ili suprotnog smera (dakle, kada su linearno zavisni). Prethodna nejednakost može se raspisati i preko koordinata vektora i , čime se dobija
pri čemu jednakost važi ako i samo ako je vektor istog ili suprotnog smera u odnosu na vektor ili ako je jedan od njih nula vektor.
Rn (n-dimenzionalni euklidski prostor)
urediU euklidskom prostoru sa standardnim unutrašnjim proizvodom, Koši-Švarcova nejednakost glasi
U ovom slučaju, data nejednakost se može dokazati i pomoću elementarne algebre. Naime, posmatrajmo sledeći kvadratni polinom po :
Kako je dati kvadratni polinom nenegativan, on može imati najviše jedan realan koren, odakle sledi da je njegova diskriminanta manja ili jednaka nuli. Dakle,
odakle neposredno sledi Koši-Švarcova nejednakost.
L2
urediZa unutrašnji proizvod prostora kvadratno integrabilnih funkcija sa kompleksnim vrednostima važi
Uopštenje ovoga predstavlja Helderova nejednakost.
Primene
urediAnaliza
urediNejednakost trougla za standardnu normu često se navodi kao posledica Koši-Švarcove nejednakosti. Naime, ako su dati vektori i , imamo da važi:
Uzimanjem kvadratnog korena obe strane nejednakosti dobijamo upravo nejednakost trougla:
Koši-Švarcova nejednakost se koristi i da se dokaže da je unutrašnji proizvod neprekidna funkcija, uzimajući u obzir topologiju koja je indukovana samim unutrašnjim proizvodom.[8][9]
Geometrija
urediKoši-Švarcova nejednakost omogućava da se pojam ugla između dva vektora uopšti na bilo koji realni prostor sa unutrašnjim proizvodom tako što se definiše[10][11]
Pomoću Koši-Švarcove nejednakosti dokazuje se da je data definicija dobra, tako što se pokaže da vrednost izraza sa desne strane pripada intervalu [−1, 1], i opravdava se tvrđenje da (realni) Hilbertovi prostori zapravo predstavljaju generalizaciju euklidskog prostora. Gorenavedena jednakost može se koristiti i za definisanje ugla u kompleksnim prostorima sa unutrašnjim proizvodom, uzimanjem modula ili realnog dela desne strane.[12][13]
Teorija verovatnoće
urediNeka su X i Y slučajne promenljive. Tada za njihovu kovarijansu važi nejednakost:[14][15]
gde označava varijansu, a kovarijansu datih slučajnih promenljivih.
Definisanjem unutrašnjeg proizvoda na skupu slučajnih promenljivih pomoću očekivanja njihovog proizvoda:
Koši-Švarcova nejednakost postaje
Da bismo dokazali nejednakost za kovarijansu pomoću Koši-Švarcove nejednakosti, označimo i ; tada je
Uopštenja
urediPostoje razna uopštenja Koši-Švarcove nejednakosti. Helderova nejednakost predstavlja njeno uopštenje na norme. Još opštije, ova nejednakost može se interpretirati kao specijalan slučaj definicije norme linearnog operatora u Banahovom prostoru (konkretno, kada je prostor Hilbertov). Dalje generalizacije su u kontekstu teorije operatora, na primer za algebre operatora u kojima su domen i/ili kodomen zamenjeni sa C*-algebrom ili W*-algebrom.
Unutrašnji proizvod se može koristiti za definisanje pozitivnog linearnog funkcionala. Na primer, ako je dat Hilbertov prostor , gde je konačna mera, pomoću standardnog unutrašnjeg proizvoda može se definisati pozitivni funkcional sa . Obratno, svaki pozitivni linearni funkcional na može se koristiti za definisanje unutrašnjeg proizvoda: , gde predstavlja tačka po tačka kompleksni konjugat od . U ovom slučaju Koši-Švarcova nejednakost postaje[16]
što se uopštava na pozitivne funkcionale u C*-algebrama:
Teorema (Koši-Švarcova nejednakost za pozitivne funkcionale na C*-algebrama):[17][18] Ako je pozitivni linearni funkcional na C*-algebri onda za sve važi
- .
Naredne dve teoreme predstavljaju dalja uopštenja Koši-Švarcove nejednakosti u algebri operatora.
Teorema (Kadison-Švarcova nejednakost,[19][20] nazvana po Ričardu Kadisonu): Ako je unitalna pozitivna mapa, tada za svaki normalni element iz njenog domena važi
- i .
Odavde sledi činjenica da je , ukoliko je linearni funkcional. Slučaj kada je samoadjungovan, tj. se nekad naziva Kadisonova nejednakost.
Teorema (Modifikovana Švarcova nejednakost za 2-pozitivne mape):[21] Ako je 2-pozitivna mapa između C*-algebri, tada za sve iz njenog domena važi:
Još jedno uopštenje se dobija interpolacijom obe strane Koši-Švarcove nejednakosti:
Teorema (Nejednakost Kalebauta):[22] Za realne brojeve važi:
Ovo se lako dokazuje korišćenjem Helderove nejednakosti.[23]
Vidi još
urediReference
uredi- ^ a b Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. str. 1. ISBN 978-0521546775. „...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.”
- ^ Strang, Gilbert (19. 7. 2005). „3.2”. Linear Algebra and its Applications (4th izd.). Stamford, CT: Cengage Learning. str. 154—155. ISBN 978-0030105678.
- ^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
- ^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (6. 12. 2012). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. str. 14. ISBN 9781461205050.
- ^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. str. 29. ISBN 0-387-98579-4. „Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.”
- ^ Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (april 2009). „Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality” (PDF). Octogon Mathematical Magazine. 17 (1): 221—229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Arhivirano iz originala (PDF) 09. 10. 2022. g. Pristupljeno 18. 5. 2016.
- ^ Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2. 5. 2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.
- ^ Bachman, George; Narici, Lawrence (26. 9. 2012). Functional Analysis. Courier Corporation. str. 141. ISBN 9780486136554.
- ^ Swartz, Charles (21. 2. 1994). Measure, Integration and Function Spaces. World Scientific. str. 236. ISBN 9789814502511.
- ^ Ricardo, Henry (21. 10. 2009). A Modern Introduction to Linear Algebra. CRC Press. str. 18. ISBN 9781439894613.
- ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (6. 6. 2014). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press. str. 181. ISBN 9781482248241.
- ^ Valenza, Robert J. (6. 12. 2012). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Springer Science & Business Media. str. 146. ISBN 9781461209010.
- ^ Constantin, Adrian (21. 5. 2016). Fourier Analysis with Applications. Cambridge University Press. str. 74. ISBN 9781107044104.
- ^ Mukhopadhyay, Nitis (22. 3. 2000). Probability and Statistical Inference. CRC Press. str. 150. ISBN 9780824703790.
- ^ Keener, Robert W. (8. 9. 2010). Theoretical Statistics: Topics for a Core Course. Springer Science & Business Media. str. 71. ISBN 9780387938394.
- ^ Faria, Edson de; Melo, Welington de (12. 8. 2010). Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. Cambridge University Press. str. 273. ISBN 9781139489805.
- ^ Lin, Huaxin (1. 1. 2001). An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras. World Scientific. str. 27. ISBN 9789812799883.
- ^ Arveson, W. (6. 12. 2012). An Invitation to C*-Algebras. Springer Science & Business Media. str. 28. ISBN 9781461263715.
- ^ Størmer, Erling (13. 12. 2012). Positive Linear Maps of Operator Algebras. Springer Monographs in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.
- ^ Kadison, Richard V. (1. 1. 1952). „A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras”. Annals of Mathematics. 56 (3): 494—503. JSTOR 1969657. doi:10.2307/1969657.
- ^ Paulsen, Vern (2002). Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 78. Cambridge University Press. str. 40. ISBN 9780521816694.
- ^ Callebaut, D.K. (1965). „Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality”. J. Math. Anal. Appl. 12 (3): 491—494. doi:10.1016/0022-247X(65)90016-8 .
- ^ Callebaut's inequality. Entry in the AoPS Wiki.
Literatura
uredi- Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015), „Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses”, Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275—295, doi:10.15352/afa/06-3-20
- Bityutskov, V. I. (2001). „Bunyakovskii inequality”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Bunyakovsky, V. (1859), „Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies” (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 9
- Cauchy, A.-L. (1821), „Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités”, Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377
- Dragomir, S. S. (2003), „A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities”, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, Arhivirano iz originala 20. 7. 2008. g.
- Grinshpan, A. Z. (2005), „General inequalities, consequences, and applications”, Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71—100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001
- Kadison, R. V. (1952), „A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras”, Annals of Mathematics, 56 (3): 494—503, JSTOR 1969657, doi:10.2307/1969657.
- Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities, Online e-book in PDF format
- Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press.
- Schwarz, H. A. (1888), „Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung” (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318
- Solomentsev, E. D. (2001). „Cauchy inequality”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Steele, J. M. (2004), The Cauchy–Schwarz Master Class, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X