Kružnica

Kružnica je matematički pojam koji se koristi u geometriji i nije sinonim za krug. Uobičajeno je da se kružnica zove linija koju opisuje šestar, a krug je površina unutar kružnice. Tako kružnica ima svoju dužinu, koja se često zove obim, a krug ima površinu.

Krug
Krug (crno), koji se određuje njegovim obimom (C), prečnikom (D) u cijanu, i poluprečnikom (R) u crvenom; njegov centar (O) je u margenti.

Definicije

Kružnica je zatvorena kriva linija u ravni čije sve tačke leže na istom odstojanju od neke tačke O u istoj ovoj ravni i koja se zove centar kružnice. Odstojanje svake tačke kružnice od njenog centra meri se segmentom prave koji se naziva poluprečnik (radijus) r. Kružnica k s centrom О i poluprečnikom r označava se k(O,r), ponekad sa O(r).

Kružnica sa centrom О i poluprečnikom r može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka u ravni na datom odstojanju r od date tačke О koja leži u istoj ravni.

Jednačina kružnice u pravouglim Dekartovim koordinatama glasi:

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}\,$,

gde su (p,q) koordinate centra, a r poluprečnik. Iz prethodne jednačine sledi da je kružnica kriva drugog reda. Prethodna jednačina kružnice se koristi u rešavanju konstruktivnih zadataka, u grafičkom rešavanju jednačina i nejednakosti. Ova je jednačina drugog reda. Jednačina kružnice može se napisati i na sledeći način

${\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}=1$. Ovo je segmentna jednačina.

Kružnica sa središtem u tački $S(p,q)$ i poluprečnikom $r$ određena je jednačinom:

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}={r^{2}}\,$

ili

${\frac {(x-p)^{2}}{r^{2}}}+{\frac {(y-q)^{2}}{r^{2}}}=1$

U svakoj tački kružnice njena krivina je konstantna, jednaka ${\frac {1}{r}}$. Tangenta na kružnicu je normalna na poluprečnik u tački dodira.

Obim kružnice O(r) je $2r\pi \,$, a kružnica se naziva i periferijom kruga.

Površina omeđena kružnicom je $r^{2}\pi \,$.

Tetiva je duž koja spaja dve tačke na kružnici.

Centralni ugao je ugao iz centra kruga pod kojim se vidi data tetiva.

Periferni ugao je ugao iz tačke na kružnici pod kojim se vidi data tetiva.

Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu (u jednoj tački).

Ostale definicije

Kružna transformacija ravni je transformacija u kojoj svaka kružnica ili prava prelazi u kružnicu ili pravu. Kružna transformacija je proizvod dve transformacije: inverzije i sličnosti. Primeri kružnih transformacija su: kretanje, sličnost, inverzija. Kružna transformacija je (jedno od) konformnih preslikavanja.

Kružni cilindar (elementarna geometrija) je cilindar, tj. valjak čija je direktrisa (vodilja) kružnica. Ako je izvodnica К. c. normalna na njegovu osnovu, К. c. se naziva pravi; ako je pak izvodnica kosa prema osnovi, К. c. je kos.

Obično, pod pojmom kružni cilindar podrazumeva se prav kružni cilindar. Prav kružni cilindar se može zamisliti kao figura obrazovana obrtanjem pravougaonika oko njegove stranice.

Kružni konus (u elementarnoj geometriji) je konus (kupa) čija je direktrisa (vodilja) kružnica. Vrh pravog kružnog konusa se u ortogonalnoj projekciji projektuje u centar njegove osnove. Prav kružni konus se dobije obrtanjem pravouglog trougla oko katete. Prav kružni konus se naziva jednostavno konus.

Vrh kosog kružnog konusa se u ortogonalnoj projekciji ne projektuje u centar osnove.

Ako se kružni konus preseče sa ravni koja nije paralelna osnovi, može se u preseku dobiti i krug.

Apolonijeva kružnica je geometrijsko mesto tačaka М ravni čiji je odnos odstojanja od dve date tačke A i B, koje leže u istoj ovoj ravni, konstantna veličina $k(k\not =0,k\not =1):AM:BM=k$. Apolonijeva kružnica se koristi u rešavanju geometrijskih konstruktivnih zadataka metodom geometrijskih mesta tačaka. Na primer: konstrukcija trougla ako je zadata stranica, visina na tu stranicu i odnos ostale dve stranice trougla; stranica, njeno teme datog trougla i odnos ostale dve stranice; kada je pored ostalih dat odnos dve visine trougla. Apolonijeva kružnica je nazvana po starogrčkom naučniku Apoloniju iz Perga, koji ju je izučavao u 3. veku p. n. e.

Kružnica devet tačaka je kružnica na kojoj leže sredine strana trougla, podnožja njegovih visina i sredine segmenata visina između temena i ortocentra. Centar kružnice devet tačaka se poklapa sa sredinom duži koja spaja ortocentar trougla s centrom opisane kružnice. Poluprečnik kružnice devet tačaka je jednak polovini prečnika opisane kružnice datog trougla. Kružnica devet tačaka se naziva i Ojlerova kružnica.

Kružnica krivine krive u prostoru u tački M je kružnica koja leži u oskulatornoj ravni krive u tački M, čiji je radijus jednak ${\frac {1}{k}}$ gde je k krivina krive u tački M, na rastojanju $MO={\frac {1}{k}}$. Kružnica krivine ne postoji u tački u kojoj je krivina krive jednaka nuli. Kružnica krivine ima s krivom u tački M dodir čiji red nije manji od 2. Kružnica krivine se naziva i oskulatorna kružnica.

Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju zajednički centar i leže u istoj ravni.

Nekoncentrične kružnice nazivaju se i ekscentrične.

Konfokalne krive su krive 2. reda (konusni preseci) koje imaju zajedničke žiže (fokuse).

Elementarna (Euklidska) geometrija

1. Teorema

Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog nad istom tetivom.

Dokaz

Data su kružnica k tetiva $A,B\in k$ centralni ugao $ACB=\theta$ i periferni ugao $APB=\phi$.

Duži CA, CB i CP su jednake (poluprečnici), pa je trougao BCP jednakokraki. Isto tako i trougao ACP je jednakokraki. PP' je prečnik kruga, a AP’ i BP’ su takođe tetive.

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja njemu nesusedna ugla, tj. $\theta _{1}=2\phi _{1}$, i otuda:

$\theta =\theta _{1}+\theta _{2}=2\phi _{1}+2\phi _{2}=2\phi$.

2. Teorema

Periferni ugao nad prečnikom je prav.

Dokaz

Iz prethodne teoreme, jer je centralni ugao nad prečnikom 180°, a pola od toga je pravi ugao.

3. Teorema

Ugao između tetive i tangente povučenih iz iste tačke kružnice jednak je perifernom nad tom tetivom.

Dokaz

Dat su krug k, tangenta t i tetiva AB. AP je prečnik kruga pa je ugao u B prav. Uglovi BAt i APB imaju okomite krake, tj. jednaki su!

4. Teorema

Periferni uglovi nad istom tetivom jednaki su ili su suplementni. Ako su sa različitih strana tetive oni su suplementni.

Rastojanje tačke od kružnice

Definicija 1

Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo kružnica s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.

Spojimo li se tačka C sa tačkama kružnice K(O,r) dobija se beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž. Postavlja se pitanje postojanja u ovom skupu duži od koje ni jedna duž skupa nije manja, i takve duži koja nije manja ni od jedne duži skupa. To su duži CA i CB, gde su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je sa one strane tačke O sa koje je C, a B je sa suprotne strane.

Definicija 2

Element m skupa E (u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maksimum (najveći) element skupa E.

U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maksimumu u skupu duži.

Definicija 3

Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.

Teorema 1

Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka kružnice tačka A ima najmanje, a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je

CA = │CO - r│ i CB = CO + r

Beskonačni skupovi ne moraju da imaju minimum i maksimum.

Primer

Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maksimum, a nema minimum

Zajedničke tačke kružnica

Neka su zadane dve kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a sa B tačku druge kružnice.

Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa

1. $CO>R+r$
2. $CO=R+r$
3. $R-r<CO<R+r$
4. $CO<R-r(R>r)$
5. $CO=R-r(R>r)$

Presek kružnica prazan skup

• Za $CO>R+r<=>CO-r>R<=>CA>R$

Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice.

• $O<R-r<=>CO-r<R<=>CB<R$

Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.

Tangenta kružnice

Tangenta kružnice sa središtem $S(0,0)$

Tangenta kružnice koja ima središte u koordinatnom početku koordinatnog sistema i koja prolazi točkom $T(x_{0},y_{0})$

na kružnici, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

${2xdx+2ydy}={0}\,$

odakle sledi da je

$y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,=-{\frac {x_{0}}{y_{0}}}$

jednačina tangente na kružnicu

$y-y_{0}=-{{\frac {x_{0}}{y_{0}}}(x-x_{0})}$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}\,$.

Tangenta kružnice sa središtem u $S(p,q)$

Tangenta kružnice koja ima središte u tački $S(p,q)$ i koja prolazi tačkom $T(x_{0},y_{0})$ na kružnici određena je koordinatama tačke T i koeficijentom smera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

${2(x-p)dx+2(y-q)dy}={0}\,$

odakle sledi da je

$y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,=-{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednačina tangente kružnice

$y-y_{0}=-{{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}(x-x_{0})}$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

$(x_{0}-p)(x-p)+(y_{0}-q)(y-q)=r^{2}\,$.

Tangiranje kružnica

• $CO=R+r<=>CO-r<R<=>CA=R$

Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju spolja u tački A.

• $CO=R-r(R>r)<=>CO-r=R<=>CB=r$

Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dve kružnice imaju dijametralno raspoređene dve zajedničke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dve tačke koje leže na pravoj. Za svaku od te dve kružnice pa se one poklapaju.

Presek kružnica

R – r < CO < R + r ( R < r)

• A je u, B izvan K(C,R)
• R – r < CO => CB > R

B je van K (C,R)

CO < R + r => CA < RA ne u kružnici.

Od dve dijametralno raspoređene tačke jedna je u, a druga van kružnice. Tačke A, B dele kružnicu na dva dela.

Aksiom 2

Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici, a drugi izvan je onda taj luk sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajedničku tačku.

Teorema 2

Zajednička tačka dve kružnice koje se dodiruju leži na njihovoj zajedničkoj centralnoj pravoj, i obratno dve različite kružnice koje imaju zajedničku tačku na centralnoj pravoj se dodiruju. Ako dve kružnice imaju zajedničku tačku koja ne leži na centralnoj pravoj, imaju još jednu zajedničku tačku.

Teorema 3

Dve kružnice K(C,R) i k(O,r)

• odakle se sređivanje nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice
  • CO > R + r (svaka od kružnica je izvan druge kružnice)
  • CO < R - r (kružnica manjeg prečnika je unutar kružnice većeg prečnika)
• Imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku koja leži na zajedničkoj centralnoj pravoj
  • CO = R + r sve tačke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice
• R – r < CO < R + r imaju dve i samo dve zajedničke tačke koje leže sa raznih strana centralne prave.

Teorema 4

Da bi dve kružnice imale zajedničkih tačaka u slučaju da se centar prve kružnice nalazi

1. na drugoj kružnici
2. u drugoj kružnici

potrebno je i dovoljno da bude

1. R ≤ 2r
2. CA < R < CB

gde su CA i CB odsečci na koje centar O deli dijametar AB kružnice k(O, r).

Polara kružnice

Konjugovane tačke u odnosu na kružnicu

Tačke P i P₁ su konjugovane u odnosu na kružnicu ako zadovoljavaju formulu

${\overrightarrow {OM}}$ ${\overrightarrow {ON}}$ = $R^{2}$

Ovo je jednačina polare kružnice. Skup konjugovanih tačaka kružnice je prava.

1. Polara seče kružnicu ako je tačka M van križnice.
2. tangenta je kružnice ako je M na kružnici
3. Nema zajedničkih tačaka ako je M u kružnici
4. Prolazi kroz centar kružnice ako je M u beskonačnosti
5. Ako je $O\equiv M$ onda je polara u beskonačnosti.

${\overrightarrow {OM}}$ ${\overrightarrow {OP}}$ = $R^{2}$

$OA$= -$OB$

$OA^{2}$=$OB^{2}$

($OA^{2}$-$OB^{2}$)=0

($AO$+ $OM$)($BO$+ $OM$)=0

$AM$ $BM$=0

Apolonijeva kružnica

Geometrijsko mesto tačaka ravni koje imaju osobinu da je odnos udaljenosti tih tačaka stalan broj je kružnica – Apolonijeva kružnica

${\frac {MA}{MB}}=$=$k$ $\Rightarrow$$MA$ =$kMB$$\Rightarrow$$MA^{2}$ =$k^{2}MB^{2}$

$(MA+kMB)$$(MA-kMB)$=0

${\dfrac {MA-kMB}{1-k}}$ ${\dfrac {MA+kMB}{1+k}}$ =0

Za njenom

${\dfrac {MA-kMB}{1-k}}$ sa $MC$ i

${\dfrac {MA+kMB}{1+k}}$ sa $MD$

Imamo $MC$ $MD$=0 kružnica sa prečnikom CD.

Kružnice u p-normama i brojevi $\pi _{p}$

Dosad je udaljenost računata pomoću metrike $d_{2}$. Za definisanje pojma kružnice se može umesto metrike $d_{2}$ uzeti neka druga metrika d.

Skup

$S={(x,y)\in R^{2}:d((x,y),(x_{0},y_{0}))=r}$

predstavlja kružnicu radijusa r sa središtem u ($x_{0},y_{0}$) s obzirom na metriku d.

Kružnica radijusa r sa središtem u koordinatnom početku s obzirom na $d_{p}$ je skup

$S_{p}={(x,y)\in R^{2}:x^{p}+y^{p}=r^{p}}$ za $p\geq 1$

Na ovoj slici prikazane su kružnice $S_{1},S_{2}iS_{\infty }$

Kada bi se nacrtale i ostale kružnice $S_{p}$, sve bi one bile smeštene između $S_{1}$ i $S_{\infty }$, i što bi p bio veći, to bi kružnica $S_{p}$ bila bliže kružnice $S_{\infty }$.

To je jasno iz teorema za maksimalnu normu.

Uzmimo $r=1$. Neka je

$(x,y)\in R^{2}(x,y)\neq (0,0)$

Tada tačka

${\frac {1}{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}}(x,y)$ leži na kružnici $S_{1}$, jer je

${\begin{Vmatrix}{\frac {1}{{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{1}}}(x,y)\end{Vmatrix}}=1$

Sa slike se vide da kružnica $S_{1}$ leži unutar kružnice $S_{2}$ pa je tačka

${\frac {1}{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}}(x,y)$ unutar kružnice $S_{2}$ tj

${\begin{Vmatrix}{\frac {1}{{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{1}}}(x,y)\end{Vmatrix}}\leq 1$

vredi

${\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{2}\leq {\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{1}$

Kada bi se nacrtala kružnicu radijusa ${\sqrt {2}}$ u odnosu na metriku $d_{1}$ odnosno ${\sqrt {2}}S_{1}$ kružnica $S_{2}$ bi bila smeštena unutar nje.

${\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{1}\leq {\sqrt {2}}{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{2}$ ${\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{2}\leq {\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{1}\leq {\sqrt {2}}{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{2}$

Propozicija

Za sve $p,q\geq 1$

${\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{\infty }\leq {\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{p}\leq {\sqrt[{p}]{\sqrt {2}}}{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{\infty }$

${\sqrt[{p}]{^{-1}}}{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{q}\leq {\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{p}\leq {\sqrt[{p}]{2}}{\begin{Vmatrix}(x,y)\end{Vmatrix}}_{q}$

Geometrijski oblik kružnice zavisi od odabrane metrike.

Izračunajmo obim $O_{p}$ kružnice $S_{p}$.

Obim kružnice $S_{2}$ je $O_{2}=2r\pi$

$O_{1}=4d_{2}((r,0)(0,r))=4(|r-0|+|0-r|)=8r$

$O_{\infty }=4d_{\infty }((r,-r),(r,r))=max(|r-r||-r-r|)=8r$

U oba $O_{1}$ i $O_{\infty }$ ne pojavljuje se $\pi$.

Neka je $c_{p}$ četvrtina kružnice $S_{p}$ koja pripada prvom kvadrantu. Tada je

$\int _{c_{p}}ds_{p}\,dx$

$ds_{p}$ je element dužine

$ds_{p}={\sqrt[{p}]{|dx|^{p}+|dy|^{p}}}={\sqrt[{p}]{|x'(t)|^{p}+|y'(t)|^{p}}}dt$

Za $p=2$ je

$ds_{2}={\sqrt {(dx)^{2}+)(dy)^{2}}}$

Za parametrizaciju krive $c_{p}$ uzima se

$x(t)=r{\sqrt[{p}]{t}}$

$y(t)=r{\sqrt[{p}]{1-t}}$ za $t\in [0,1]$

$ds_{p}={\frac {r}{p}}{\sqrt[{p}]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}}dt$

Za $p\neq \infty$

$O_{p}={\frac {4r}{p}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{p}]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}}\,dt$

Pošto su iznosi za $O_{1}$ i $O_{2}$ poznati, gornja formula se može proveriti utvrđivanjem $p=1$ i $p=2$.

Za $p=1$

$O_{1}=4r\int _{0}^{1}({t^{1-1}+(1-t)^{1-1})}\,dt=4r\int _{0}^{1}2\,dt=8r$

Za $p=2$

$O_{2}={\frac {4r}{2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{2}]{t^{1-2}+(1-t)^{1-2}}}\,dt$

$O_{2}=2r\int _{0}^{1}{\sqrt[{2}]{{\frac {1}{t}}-{\frac {1}{1-t}}}}\,dt$

$O_{2}=2r\int _{0}^{1}{\sqrt[{2}]{\frac {1}{({\frac {1}{2}})^{2}-(t-{\frac {1}{2}})^{2}}}}\,dt=2r\arcsin(2t-1)|_{0}^{1}$

$O_{2}=2r\arcsin(1)-2r\arcsin(1)=2r\pi$

Za svaki $p$ razmera ${\frac {O_{p}}{2r}}$ obima $O_{p}$ i prečnika $2r$ kružnice je konstantna. Ta razmera se označava sa $\pi _{p}$ i iznosi

$\pi _{p}={\frac {2}{p}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{p}]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}}\,dt$

Očito je

$\pi _{1}=4$, $\pi _{2}=\pi$, $\pi _{\infty }=4$

Literatura

• Pedoe, Dan (1988). Geometry: a comprehensive course. Dover. 
• "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Circle”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Circle (PlanetMath.org website)
• Weisstein, Eric W. „Circle”. MathWorld. 
• Interactive Java applets
• Interactive Standard Form Equation of Circle
• Munching on Circles at cut-the-knot